Cours sur les extensions de corps

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Chapitre 6Extensions de corps :g´en´eralit´esTous les corps consid´er´es dans ce chapitre et le suivant sont commutatifs.6.1 Th´eorie de baseRappel : La caract´eristique d’un corps est soit z´ero, soit un nombre premier.D´efinition 6.1.1. Si K et L sont des corps, on appelle morphisme de corpstout morphisme d’anneau f :K→L. Un tel morphisme est injectif et aussiappel´e extension deK. Le degr´e de l’extension, not´e [L :K] est la dimensionde L comme espace vectoriel sur K.Proposition 6.1.2. a) Si K est un corps de caract´eristique nulle, alors ilexiste une unique extension f :Q→K.b) Si K est un corps de caract´eristique p > 0, alors il existe une uniqueextension f :F =Z/pZ→K.pD´efinition 6.1.3. L’image de l’homorphisme pr´ec´edent s’appelle le sous-corps premier deK : c’est le plus petit sous-corps deK.0Proposition 6.1.4 (Tour d’extensions). Soit f : K → L, g : L → L unetour d’extension, alors :0 0[L :K] = [L :L][L :K] .416.2 Construction d’extensions6.2.1 Corps de rupture d’un polynˆome irr´eductibleSoit P ∈K[X] un polynˆome irr´eductible, alors K[X]/(P) est un corps.Proposition 6.2.1. L’extension K→K[X]/(P), avec P ∈K[X] polynˆ omeirr´eductible, est une extension de degr´e deg(P).6.2.2 Adjonction d’´el´ementsSoit f : K → L une extension de corps, et α ∈ L. On note K(α) le pluspetit sous-corps de L qui contient f(K) et α; on l’appelle extension de Kengendr´ee par α. On d´efinit de mˆeme l’extension K → K(A) engendr´ee parune partie A⊂L ...

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Extrait

Chapitre 6

Extensions de corps : g´en´eralit´es

Touslescorpsconside´r´esdanscechapitreetlesuivantsontcommutatifs.

6.1The´oriedebase Rappel:Lacaract´eristiqued’uncorpsestsoitze´ro,soitunnombrepremier.

De´finition6.1.1.SiKetLsont des corps, on appelle morphisme de corps tout morphisme d’anneauf:K→L. Un tel morphisme est injectif et aussi appel´eextensiondeKxe’lede´,noisnete[not´grdeLe.L:K] est la dimension deLcomme espace vectoriel surK. Proposition 6.1.2.a) SiKlsirola,elluneuqitsract´eriorpsdecaseutcn existe une unique extensionf:Q→K. b) SiKorrapcstdteunccastieqs´erieup >0, alors il existe une unique extensionf:F p =Z/pZ→K. D´efinition6.1.3.hirpepsmecr´de´e’stneppalelluosesLi’ameged’lohom corps premier deK: c’est le plus petit souscorps deK. ′ Proposition 6.1.4(Tour d’extensions).Soitf:K→L,g:L→Lune tour d’extension, alors : ′ ′ [L:K] = [L:L][L:K].

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6.2 Constructiond’extensions 6.2.1Corpsderuptured’unpolynoˆmeirr´eductible SoitP∈K[Xiemoe´rropnuˆnyl],alorsductibleK[X]/(P) est un corps. Proposition 6.2.1.L’extensionK→K[X]/(P), avecP∈K[X]moeylˆnop irre´ductible,estuneextensiondedegr´edeg(P).

6.2.2Adjonctiond’´el´ements Soitf:K→Lune extension de corps, etα∈L. On noteK(α) le plus petit souscorps deLqui contientf(K) etα; on l’appelle extension deK engendre´eparα.tdemˆemeOnd´efinioin’lxeetsnK→K(Aep´earng)edren une partieA⊂L. De´finition6.2.2.Une extension est de type finie si et seulement si elle est engendr´eeparunepartiefinie.Uneextensionestsimplesietseulementsi elleestengendre´eparune´le´ment(appele´´ele´mentprimitif).

6.3Alg´ebricite´ Proposition 6.3.1.Soitf:K→L=K(α)une extension simple, alors il yae´quivalenceentre: a)l’extensionestdedegre´finie; b) l’anneauK[α]st´eealagrocuspK(α); c)l’ide´alannulateurdeα:I α ={P∈K[X], P(α) = 0}est non trivial. 22/11/2010 Remarques6.3.2.nnaltaludrueeLo1.qurs’ielead´αest non trivial, il est engendre´parunpolynˆomeirre´ductibleP α demenimilaopylˆnmoaele´leppα etK[X]/(P α a`eh)esositpromK(α). 2. Siαetβexteslesalormal,iminoˆemlonymepentomˆlesnoisnK→K(α) etK→K(β) sont isomorphes. D´efinition6.3.3.aevA)selcopyhth`esespr´ec´edetnsel,´’lee´emtnαest alg´ebriquesurKeneladsetsteistnemeluesatis’iltlessfaitioiocdnuqvisne´ la proposition; dans le cas contraire,αest dit transcendant. b) Une extensionf:K→Lesquriebg´alsteisotemtnueeleistnts´emes´elusle deLrseusntalsoriqug´ebK. Th´eor`eme6.3.4.Ledstneeml´´eesLuaessurqirbe´glKforment un sous corps deL.

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6.4Corpsdede´composition De´finition6.4.1.SoitQ∈K[Xu]nyoˆpnloitaimeuntre,ef:K→Lune extension. On dit queLcnroseutednotisipoomecd´depsQsi et seulement si : a)f(Qs)estscni´ddenaLet b) l’extensionLelracarsrdnepee´esngteedniseQ. The´ore`me6.4.2.SoitQ∈K[X]ale,irtaxilesiorylopnuinuemoˆntsueen extensionquiestuncorpsdede´compositiondeK, et deux telles extensions sont isomorphes.

6.5 Corpscyclotomiques i2π On noteζ n =e∈C. n Proposition 6.5.1.Le corpsQ(ζ n )ompositipsded´ecltserocenoudop n lynoˆmeX−1. De´finition6.5.2.Le corpsQ(ζ n ep´ltspaspycceroomiqclotsracuedeseni)e n`iseme’leditun.´e

Polynˆomescyclotomiques D´efinition6.5.3.On appelle racine primitiveninu’te´ttuoi`emedel ge´n´erateurdugroupeU n ⊂Cdes racinesnme´le´seistnesde1`emeontl.Ces ∗ d’ordrendeC. D´efinition6.5.4.LepolynΦtomoqieuoˆemyclc n ∈C[Xlestlypomoˆn]ee unitaire dont les racines sont les racines primitivesn:e1sdme`ei Y k Φ n = (X−ζ). n 0≤k<n P GCD(k,n)=1 The´ore`me6.5.5.ueLolepnyoˆemyclctomoqiΦ n est`acoefficieeitnestntesr ilestirr´eductiblesurQ. Corollaire 6.5.6.edegLel’er´edenxtonsiQ→Q(ζ)est l’indicateur d’Euler × φ(n) = card((Z/nZ) )= deg(Φ n ).

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6.6 Corpsfinis SoitFpsorncufinidecaract´erisituqep, et de cardinalq, alorsFest une m extension deF p =Z/pZ. On aq=po`u,m= [F:F p ]. m The´ore`me6.6.1.Un corps fini de cardinalq=pest corps de q d´ecompositionsurF p updlonyoˆemX−X. m Corollaire 6.6.2.Deux corps finis de cardinalq=psont isomorphes. Remarque6.6.3.rphisomoL’iptseacsainon.euqepsmecr´de´en’nt L’hypoth`esedecommutativite´n’estpasne´cessaire: The´ore`me6.6.4(Wedderburn).Tout corps fini est commutatif. Exercice6.6.5.a) Montrer que tout sousgroupe fini du groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique. b) Montrer que toute extension entre corps finis est primitive. ′ Exercice6.6.6.a) Montrer que s’il existe une extensionF→Fentre deux d′n corpsfinisdecaracte´ristiquep, de cardinaux respectifsq=petq=p, alorsddivisen. n c) SoitF q ct´ecarapsdencorseuttsireuqipa`q=pMos.rent´eelntme´qreu d siddivisen, alorsF q a`soueiqunpsorcusntientuncop´le´.stneme

Polynˆomesirr´eductiblessurF p Proposition 6.6.7.loptoˆnyriemde´rouTuctiblededegr´eda`ocffieicnestadsn d p le corpsF p =Z/pZdiviseX−X. Proposition 6.6.8.Pourppremier etd >0, soitn p (d)le nombre de po lynˆomesirr´eductiblesunitairesdedegr´edsurF p =Z/pZ, alors : X n p=d n p (d). d|n 6.7Corpsalge´briquementclˆos,cloˆture alg´ebrique De´finition6.7.1.a) Un corps commutatifLtnemeuqirbe´glatessolcteis seulementsitoutpolynˆomea`coefficientsdansLa au moins une racine dans L. b)Uncloˆturealg´ebriqued’uncorpscommutatifKest une extension alge´briquequiestalge´briquementclose. 44