Cours sur les fonctions de 2 et 3 variables

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Fonctions de 2 et 3 variables
Jean-Philippe NICOLAS
Departement de Mathematiques,
Universite de Bretagne Occidentale, 6 avenue Victor Le Gorgeu,
29200 Brest, France.
email : [e-mail]2Table des matieres
1 Continuite des fonctions de plusieurs variables 5
n1.1 De nitions dans R , n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Limite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Derivees partielles 9
2.1 Derivees premieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Derivees partielles d’ordre superieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Derivation de fonctions composees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Cadre general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Formule de Taylor et extrema locaux 21
3.1 Fonctions a deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 F a trois v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Gradient, rotationnel, divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
34 TABLE DES MATIERESChapitre 1
Continuite des fonctions de plusieurs
variables
n1.1 De nitions dans R , n 2
De nition 1.1 (Norme et distance euclidienne).
n1. Soit M = (x ;x ;:::;x )2R , sa norme euclidienne est donnee par :1 2 n
1=22 2 2kMk = x +x +::: +x :1 2 n
0 0 0 02. La distance euclidienne entre deux pointsM = (x ;x ;:::;x ) etM = (x ;x ;:::;x )1 2 n 1 2 n
n 0 0deR est d(M;M ) =kM Mk, i.e.
1=2
2 2 20 0 0 0d(M;M ) = (x x ) + (x x ) +::: + (x x ) :1 2 n1 2 n
3. On voit donc que la norme de M est sa distance a l’origine O = (0; 0;:::; 0).
nDe nition 1.2. Soit M 2R et R > 0, on appelle boule ouverte de centre M et de0 0
rayon R l’ensemble
nB(M ;R) =fM2R ; d(M ;M)<Rg :0 0
La boule fermee de centre M et de rayon R est0
nB(M ;R) =fM2R ; d(M ;M)Rg :0 0
nDe nition 1.3. Soit D une partie deR , soit M 2D, on dira que D est un voisinage0
de M s’il existe R> 0 tel que B(M ;R)D. (Voir gure 1.1)0 0
n nDe nition 1.4. Un ouvert deR est une partie deR qui est un voisinage de chacun de
ses points.
56 CHAPITRE 1. CONTINUITE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
Figure 1.1: Illustration de la notion de voisinage de M0
nC’est un peu l’analogue surR d’un intervalle ouvert surR (ou d’une reunion d’inter-
valles ouverts). Intuitivement, il s’agit simplement d’un ensemble sans son bord. Une
boule ouverte est un ouvert, pas une boule fermee. Un plan, une droite ou un point dans
3 3
R ne sont pas ouverts. En revanche, le complementaire dansR d’un plan, d’une droite
3ou d’un point est un ouvert deR .
1.2 Limite et continuite
nDans tout le paragraphe, on considerera
un ouvert deR et M 2 .0
Soit f :
! R une fonction. On dira que f admet une limite l2 R en M si0
lorsqu’un pointM se rapproche deM dans , la valeur de f(M) se rapproche del. Plus0
precisement, on a la de nition suivante :
De nition 1.5. Soit f :
!R et l2R. On dit que f admet la limite l en M si et0
seulement si
8"> 09> 0 ; 8M2
d(M;M )< =) jf(M) lj<":0
Ceci nous permet de de nir la notion de continuite, en un point ou sur tout .
De nition 1.6. Soit f :
!R.
1. On dit que f est continue en M si et seulement si0
lim f(M) =f(M );0
M!M0
c’est- a-dire si et seulement si
8"> 09> 0 ; 8M2
d(M;M )< =) jf(M) f(M )j<":0 0
2. On dit que f est continue sur
si et seulement si f est continue en tout point de

.
Proposition 1.1 (Exemple fondamental). Les projections sur les axes de coordonnees,
appelees projections canoniques :
n
R ! R;
p : i = 1; 2;:::;n;i
M = (x ;x ;:::;x )7 !x ;1 2 n i
nsont continues surR .6
6
1.2. LIMITE ET CONTINUITE 7
2Veri cation dans un cas simple. Soit la fonction f : R ! R de nie par
2f(x;y) = y, i.e. f est la projection sur le deuxieme axe de coordonnees dansR . Soit
2 2M = (x ;y )2R . Pour M = (x;y)2R , on a0 0 0
f(M) f(M ) = y y ;0 0
1=22 2
jf(M) f(M )j = jy yj (x x ) + (y y ) =d(M;M ):0 0 0 0 0
2Donc pour tout "> 0, il existe ="> 0 tel que pour tout M2R
d(M;M )< =) jf(M) f(M )j<":0 0
2 2f est donc continue en tout point deR , i.e. f est continue surR .
Proprietes. Soit deux fonctions f :
!R, g :
!R.
1. On suppose que f et g sont continues en M 2 . Alors :0
Pour tout ; 2R, f + g est continue en M .0
fg est continue en M .0
Si f(M ) = 0, alors 1=f est de nie au voisinage de M et est continue en M .0 0 0
Si g(M ) = 0, alors f=g est de nie au v de M et est continue en M .0 0 0
2. On suppose que f et g sont continues sur . Alors :
Pour tout ; 2R, f + g est continue sur .
fg est continue sur
.
Si f ne s’annule pas sur , alors 1 =f est de nie et continue sur
.
Si g ne s’annule pas sur , alors f=g est de nie et continue sur .
n nApplication : tout polyn^ ome surR est continu surR car c’est une combinaison
lineaire de produits de projections canoniques.
3Exemple : soit la fonction f : R !R de nie par
2 3f(x;y;z) = 6xz + 2yz +y :
3C’est un polyn^ ome surR . Nous notons p , p et p les trois projections canoniques :1 2 3
p (x;y;z) =x; p (x;y;z) =y; p (x;y;z) =z:1 2 3
2 3 3Nous avons alors f = 6p p + 2p p +p et comme p , p et p sont continues surR , f1 3 2 1 2 33 2
3est continue surR .
2Autre exemple d’application : f : R !R de nie par :
2 4x +y +xy +x
f(x;y) =
2 2 2 42 +x +y +x y
2est continue surR comme quotient de polyn^ omes, le denominateur ne s’annulant pas sur
2
R .8 CHAPITRE 1. CONTINUITE DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
Proprietes. Soit f :
!R, soit I un intervalle deR, soit g : I!R. On suppose que
f( ) I et on note y =f(M )2I.0 0
Si f est continue en M et g continue en y , alors gf est continue en M .0 0 0
Si f est continue sur
et g continue sur I, alors gf est continue sur .
3Exemple : f : R !R, f(x;y;z) = sin(xyz), est la composee de (x;y;z)7! xyz
3continue surR car c’est un polyn^ ome et det7! sint continue surR. Doncf est continue
3surR .Chapitre 2
Derivees partielles
2.1 Derivees partielles premieres
n 0 0Soit
un ouvert deR , M 2 , M = (x ;:::;x ).0 0 1 n
De nition 2.1. Soit f :
!R, on dit que f admet en M une derivee partielle par0
rapport a x si l’applicationi

0 0 0 0F : t7 !f x ;:::;x ;t;x ;:::xi 1 i 1 i+1 n
0est derivable en x . On appelle alors derivee partielle de f par rapport a x en M , et oni 0i
note
@f
(M );0
@xi
0le nombre derive de cette application en x , c’est- a-direi
0 0@f F (x +h) F (x )i ii i(M ) = lim :0
h!0@x hi
2Illustration dans le cas de deux variables :
est un ouvertR , soit f :
!R et
M = (x ;y )2 .0 0 0
@f f(x +h;y ) f(x ;y )0 0 0 0
(M ) = lim si elle existe:0
@x h!0 h
@f f(x ;y +h) f(x ;y )0 0 0 0
(M ) = lim si elle existe:0
@y h!0 h
3 2Exemple : f : R !R, f(x;y;z) = x siny +z, f admet des derivees partielles par
3rapport a x, y et z en tout point deR . On a :
@f @f @f2(x;y;z) = 2x siny; (x;y;z) =x cosy; (x;y;z) = 1:
@x @y @z
(On derive simplement par rapport a la variable choisie en considerant les autres comme
des parametres xes.)
9 10 CHAPITRE 2. DERIVEES PARTIELLES
1De nition 2.2. Une fonction f :
!R est de classeC sur
si elle admet en tout
point M de
des derivees partielles par rapport a toutes les variables :
@f @f @f
(M); (M); :::; (M);
@x @x @x1 2 n
et si les fonctions
@f @f @f
; ; :::; ;
@x @x @x1 2 n
1 1sont continues sur
. On dit aussi f2C ( ) ou f estC sur
.
Proposition 2.1.
1f2C ( ) = ) f continue sur
:
2Retour sur l’exemple : f(x;y;z) =x siny +z. Les derivees partielles existent en
3tout point deR et les fonctions
@f @f @f
; ; et
@x @y @z
3 1 3sont continues surR . Donc f est de classeC surR .
2.2 Derivees partielles d’ordre superieur
De nition 2.3. Si f :
!R admet des derivees partielles par rapport a toutes
@fles variables en tout point de
, il se peut que les fonctions , 1in, admettent
@xi
elles-m^emes des derivees partielles en un point, ou m^eme sur tout
. On notera
2@ f @fla derivee partielle de par rapport a x ; on dira qu’il s’agit d’une deriveej@x @x @xj i i
partielle seconde de f.
2@ f Si f admet des derivees partielles secondes pour tous i;j2f1; 2;:::;ng et en
@x @xi j
tout point de
et si toutes ces derivees partielles secondes sont continues sur
, on
2 1dira que f2C ( ) . Ceci implique f2C ( ) .
On peut de nir des derivees partielles d’ordre quelconque. Si f admet des derivees
partielles jusqu’ a l’ordre k2N et si toutes ses derivees partielles d’ordre k sont
k pcontinues sur
, on dit que f2C ( ) . Ceci implique f2C ( ) ,8pk.
1 k On dit que f2C ( ) si f2C ( ) pour tout k2N.
0 Pour k = 0, la notation f2C ( ) signi e simplement que f est continue sur
.
2Theoreme 2.1 (Theoreme de Schwarz). Si la fonction f :
!R est de classeC sur

, alors :
2 2@ f @ f
(M) = (M) 8M2
; 8i;j2f1;::;ng:
@x@x @x @xi j j i