Dedekind et le programme de Riemann. Suivi de la traduction de Analytische Untersuchungen zu Bernhard Riemann's Abhandlungen uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen par R. Dedekind - article ; n°2 ; vol.43, pg 221-296

Mohammed Allalsinaceur

Description

Revue d'histoire des sciences - Année 1990 - Volume 43 - Numéro 2 - Pages 221-296
SUMMARY. — In the work by R. Dedekind which I examine in this article and which has never been published for reasons explained in the introduction, Dedekind developed B. Riemann 's ideas concerning the concept of n-dimensional magnitude, or, in modern language, the notion of a différentiable manifold with a metric. Dedekind studied specific problems in connection with such magnitudes: for instance, how the infinitesimal element ds is transformed by changing coordinates; the direction of an infinitesimal element; the angle formed by two different directions, directions that are independent of each other; the derivative of a function along a particular direction; a generalization of Green's Theorem; and curvature. Dedekind's unpublished investigation is evidence of his having been the first mathematician to provide the technical means needed to elaborate Riemann 's ideas.
RÉSUMÉ. — Dans ces recherches inédites pour des raisons historiques examinées dans l'Introduction, R. Dedekind développe les idées de B. Riemann concernant le concept de grandeur à n dimensions, ou, en langage moderne, le concept de variété différentiable dotée d'une métrique. R. Dedekind étudie des questions précises en relation avec de telles grandeurs, par exemple : transformation de l'élément infinitésimal de longueur ds par un changement de coordonnées, direction d'un élément infinitésimal, angle formé par deux directions, directions indépendantes les unes des autres, dérivée d'une fonction le long d'une direction, généralisation du théorème de Green, courbure. R. Dedekind apparaît ici comme le premier mathématicien à avoir formulé le complément technique indispensable au développement mathématique des idées de Riemann.
76 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES
• Publié le: 01 janvier 1990
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

M Mohammed Allal. Sinaceur
Dedekind et le programme de Riemann. Suivi de la traduction
de Analytische Untersuchungen zu Bernhard Riemann's
Abhandlungen uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu
Grunde Liegen par R. Dedekind
In: Revue d'histoire des sciences. 1990, Tome 43 n°2-3. pp. 221-296.
Abstract
SUMMARY. — In the work by R. Dedekind which I examine in this article and which has never been published for reasons
explained in the introduction, Dedekind developed B. Riemann 's ideas concerning the concept of n-dimensional magnitude, or, in
modern language, the notion of a différentiable manifold with a metric. Dedekind studied specific problems in connection with
such magnitudes: for instance, how the infinitesimal element ds is transformed by changing coordinates; the direction of an
infinitesimal element; the angle formed by two different directions, directions that are independent of each other; the derivative of
a function along a particular direction; a generalization of Green's Theorem; and curvature. Dedekind's unpublished investigation
is evidence of his having been the first mathematician to provide the technical means needed to elaborate Riemann 's ideas.
Résumé
RÉSUMÉ. — Dans ces recherches inédites pour des raisons historiques examinées dans l'Introduction, R. Dedekind développe
les idées de B. Riemann concernant le concept de grandeur à n dimensions, ou, en langage moderne, le concept de variété
différentiable dotée d'une métrique. R. Dedekind étudie des questions précises en relation avec de telles grandeurs, par exemple
: transformation de l'élément infinitésimal de longueur ds par un changement de coordonnées, direction d'un élément
infinitésimal, angle formé par deux directions, directions indépendantes les unes des autres, dérivée d'une fonction le long d'une
direction, généralisation du théorème de Green, courbure. R. Dedekind apparaît ici comme le premier mathématicien à avoir
formulé le complément technique indispensable au développement mathématique des idées de Riemann.
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Sinaceur Mohammed Allal. Dedekind et le programme de Riemann. Suivi de la traduction de Analytische Untersuchungen zu
Bernhard Riemann's Abhandlungen uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen par R. Dedekind. In: Revue
d'histoire des sciences. 1990, Tome 43 n°2-3. pp. 221-296.
doi : 10.3406/rhs.1990.4165
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1990_num_43_2_4165Dedekind
et le programme de Riemann (*)
« La preuve me montre un nou
veau contexte, et de ce fait me donne
également un nouveau concept. »
Wittgenstein.
RÉSUMÉ. — Dans ces recherches inédites pour des raisons historiques exa
minées dans l'Introduction, R. Dedekind développe les idées de B. Riemann
concernant le concept de grandeur à n dimensions, ou, en langage moderne,
le concept de variété différentiable dotée d'une métrique. R. Dedekind étudie
des questions précises en relation avec de telles grandeurs, par exemple : tran
sformation de l'élément infinitésimal de longueur ds par un changement de coor
données, direction d'un élément infinitésimal, angle formé par deux directions,
directions indépendantes les unes des autres, dérivée d'une fonction le long d'une
direction, généralisation du théorème de Green, courbure. R. Dedekind apparaît
ici comme le premier mathématicien à avoir formulé le complément technique
indispensable au développement mathématique des idées de Riemann.
SUMMARY. — In the work by R. Dedekind which I examine in this article
and which has never been published for reasons explained in the introduction,
Dedekind developed B. Riemann 's ideas concerning the concept of n-dimensional
magnitude, or, in modern language, the notion of a différentiable manifold with
a metric. Dedekind studied specific problems in connection with such magnit
udes: for instance, how the infinitesimal element ds /5 transformed by changing
coordinates; the direction of an infinitésimal element; the angle formedtby two
different directions, directions that are independent of each other; the derivative
of a function along a particular direction; a generalization of Green's Theorem;
and curvature. Dedekind's unpublished investigation is evidence of his having
been the fust mathematician to provide the technical means needed to elaborate
Riemann 's ideas.
Il est difficile d'évoquer les mathématiques de la dernière moitié
du xixe siècle sans souligner la marque du style et de l'orientation
que leur imprima le génie de Bernhard Riemann (1826-1866). Il
(*) Qu'il me soit permis d'exprimer ma gratitude à Jean Dieudonné qui a eu la patience
et la générosité de relire les manuscrits de la traduction et de l'introduction. Ma reconnais
sance va aussi à Jean-Luc Verley qui a bien voulu lire la version corrigée et suggérer quel
ques améliorations. Mon ami Abdeslam Mesnaoui a redressé de nombreuses erreurs et m'a
amené à pousser plus loin l'analyse de ce texte. Qu'il en soit affectueusement remercié.
Rev. Hist. ScL, 1990, XLIII/2-3 222 Mohammed-Allal Sinaceur
s'est révélé au monde mathématique dès sa thèse soutenue à Gôt-
tingen en 1851 sur les Principes fondamentaux pour une théorie
générale des fonctions d'une variable complexe. Son influence
s'exerça en particulier par l'intermédiaire de Richard Dedekind
(1831-1916), le collègue qui n'eut de cesse que l'œuvre de Riemann
ne fût publiée et l'un des plus éminents représentants de la tradi
tion riemannienne. Nous en avons, avec les « Recherches... » (**),
que nous publions ci-après, l'illustration concrète. Avant de donner
un aperçu du contenu mathématique de la partie des « Recherc
hes... » traduite ci-dessous, nous commençons par rappeler les
circonstances qui ont entouré leur élaboration.
I
1 / Tout d'abord le contexte des « Recherches... » : il est celui
d'un nouvel esprit mathématique, par la manière de prendre de
front un certain nombre de grands problèmes comme par celle
de susciter des questions radicales. Disciple de Gauss, Riemann
fut aussi l'élève de Lejeune-Dirichlet (1805-1859), l'inoubliable maître
et ami de Riemann et dont le rôle de « chef d'orchestre » n'est
pas encore apprécié à sa juste valeur (1). Il connut celui-ci durant
son séjour à Berlin (de Pâques 1847 à Pâques 1849). Et lorsque
Dirichlet, qui possédait au plus haut point, selon Jacobi (1804-1851),
le sens de ce qu'est une démonstration mathématique (2), et selon
Minkowski (1864-1909), « l'art d'associer à un minimum de for
mules aveugles un maximum d'idées qui voient » (3), vint à Gôt-
tingen en 1855, pour y succéder à Gauss l'année même de sa mort,
il retrouva Riemann. Mais il s'attacha aussi Dedekind, l'un des
initiateurs de la théorie des nombres et de l'algèbre moderne. Ce
dernier est, dès 1855, plongé dans les travaux de Galois (1811-1832)
et d'Abel (1802-1829); et, dès 1857, reconnu comme un connais-
(**) « Recherches... » sera l'abréviation du titre « Recherches analytiques sur le traité
de Bernhard Riemann "Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie" ».
(1) Cf. Catherine Goldstein, in M. Serres, Éléments d'Histoire des Sciences (Paris : Bordas,
1989), 286-287.
(2) Jean Dieudonné, Abrégé d'histoire des mathématiques (Paris : Hermann, 1978, rééd.
1986), 266.
(3) H. Minkowski, Gesammelte Abhandlungen (Leipzig-Berlin : Teubner, 1911), vol. 2,
447. Cf. également F. Klein, Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19.
Jahrhundert (Reprint, New York : Chelsea Publishing Company, 1956), Teil I, 96-97. Dedekind et le programme de Riemann 223
seur de leurs œuvres. Son intérêt pour la clarté conceptuelle appar
aît très tôt avec sa propre « Leçon inaugurale » (4), faite en pré
sence de Gauss quelques semaines seulement avant celle de Riemann
et publiée pour la première fois en 1932 (5). On sait que, suivant
Dedekind, les concepts servent, en mathématiques, à savoir où il
faut calculer, où il ne faut pas le faire (6). Cette façon de voir
est celle de Dirichlet. Elle imprègne la méthode de Riemann jusqu'à
l'excès : serrer de près les concepts étudiés; y adh&