Étude des relations entre le comportement et la fabrication des synchronisateurs des boîtes de vitesse

Lovas László

Description

ANNEXE 4: MODELE DU STICK-SLIP Annexe 4: Modèle du stick-slip La vitesse axiale du baladeur varie beaucoup durant le processus de changement de vitesses. En effet, le baladeur démarre de la position engagée dans une des vitesses, s’accélère, puis se ralentit puis s’arrête pour la synchronisation. Après cela, il accélère de nouveau, déplace la bague de synchronisateur, engage la vitesse suivante avec un choc, puis s’arrête définitivement. Durant tout ce processus, il glisse sur des cannelures et subit une force tangentielle variable. Ainsi, on peut supposer, que du phénomène de stick-slip intervient lors du déplacement. Pour décrire cela, on utilise le modèle suivant, d’après Thomsen [41]. Le baladeur est assimilé à une masse posée sur un tapis roulant, et relié au mur fixe par un ressort et un amortisseur (Fig. A4-1). F représente la force tangentielle, la vitesse du tapis celle axiale du baladeur. Fig. A4-1 Modèle pour étudier le stick-slip [41] Les équations de mouvement du système, en forme adimensionnée: Pour le glissement: .. . .⎛ ⎞x+2β x+x+µ x−vb =0 ⎜ ⎟⎝ ⎠Pour le collage: .. .x=0 ; x+2βvb<µs ; x=vb Les paramètres adimensionnés sont: ~- t=ω0t le temps, K- ω0= la fréquence propre du système, MX- x= le déplacement de la masse, L 254F- L= le facteur de déplacement, KVb- vb= la vitesse d’excitation, ω0Lc- 2β = l’amortissement KM Fig. A4-2 Fonction du coefficient de frottement en fonction de la vitesse relative ...

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Extrait

ANNEXE 4: MODELE DU STICKSLIP

Annexe 4: Modèle du stickslip

La vitesse axiale du baladeur varie beaucoup durant le processus de changement de vitesses. En effet, le baladeur démarre de la position engagée dans une des vitesses, s’accélère, puis se ralentit puis s’arrête pour la synchronisation. Après cela, il accélère de nouveau, déplace la bague de synchronisateur, engage la vitesse suivante avec un choc, puis s’arrête définitivement. Durant tout ce processus, il glisse sur des cannelures et subit une force tangentielle variable. Ainsi, on peut supposer, que du phénomène de stickslip intervient lors du déplacement. Pour décrire cela, on utilise le modèle suivant, d’après Thomsen [41]. Le baladeur est assimilé à une masse posée sur un tapis roulant, et relié au mur fixe par un ressort et un amortisseur (Fig. A41).Freprésente la force tangentielle, la vitesse du tapis celle axiale du baladeur.

Fig. A41 Modèle pour étudier le stickslip [41] Les équations de mouvement du système, en forme adimensionnée: Pour le glissement:

Pour le collage:

.. . . ⎛ ⎞ = x+2βx+x+µ ⎜ x−v b ⎟ 0 ⎝ ⎠

.. . x = 0 ; x+2βv b <µ s ; x=v b

Les paramètres adimensionnés sont: t= 0 tle temps,





K ω 0 = la fréquence propre du système, M

X x=le déplacement de la masse, L

254







F L=le facteur de déplacement, K V b v b =la vitesse d’excitation, ω 0 L c 2β= l’amortissement KM

Fig. A42 Fonction du coefficient de frottement en fonction de la vitesse relative [41] e Le frottement est décrit par une fonction de 3 degré (Fig. A42): 3 ( ) (v)v v µv r =sign r ⋅µ s −κ 1r +κ 3r

où

. v r =x−v b  la vitesse de glissement relative.

µ s −µ m 3 κ 1 = ⋅ 2v m µ s −µ m 1 κ 3 = ⋅ 3 2 v m Les paramètres de la fonction sont: µ s le coefficient de frottement statique,

µ m le coefficient de frottement minimal,

v m la vitesse relative appartenant au coefficient de frottement minimal. Pour faciliter l’étude du mouvement, on placera l’origine du système de coordonnées au point où la force de frottement et la force du ressort sont en équilibre. Les équations décrivant ce point = :

L’équation de l’équilibre des forces:

. .. = :x=0 ;x=0

3 x=−µ(−v)=µ−κv+κv b b s 1 b 3

A ce point, les vitesses de déplacement et d’excitation sont égales: v r =v b

255

En connaissant le point d’équilibre, on introduit la nouvelle variable pour le déplacement: u(t)=x(t)−x

En remplaçant cela dans les équations du mouvement, on obtient la nouvelle forme de l’équation de mouvement: Pour le glissement:

Pour le collage:

.. . u+u+εh(u)=0

.. . 3 uε κ b κ εβ b ;v b u=0 ;+ ( − 1 v+ 3 v b ) +2v≤0u=

où la fonctionhest la suivante:

2 3 . . . . . . . . 2 h(u)=2βu+µ(u−v)−µ(−v)=2βu+µ(1+sign(u−v))+(−κ+κv b )u−3κv b u+κu b b s b1 3 3 3 Le facteurεest théoriquement petit:ε<<1, en pratique on supposeε≈1.

. En fonction de la vitesse relativeu, on distingue trois états de fonctionnement:

•

•

•

. u=glissement sans oscillation, avec une vitesse d’excitation0 : v b .

. u<v b : glissement avec oscillation.

. u≤v b : glissement avec oscillation et collage (stickslip).

A41. Description du glissement avec oscillation

. La condition de base:u<v b . L’équation du mouvement:

La fonctionhest la suivante:

Les coefficients:

.. . u+u+εh(u)=0

2 3 . . . . h(u)=h 1 u+h 2 u+h u 3

2 h 1 =2β−κ 1 +3κ 3 v b

h 2 =− 3 v 3κ b

h 3 = 3

256

La solution de l’équation de mouvement a la forme suivante: u=Asinψ

où

ψ=t+θ(t)  la phase,

θ(t)– le déphasage initial. Calcul deA(t)et deθ(t)avec la méthode de la moyenne standard:

La solution non triviale:

. 1 3 2 A=−εA ( h 1 +h 3 A ) 2 4

. Aθ=0

−4 h 1 A= 3h 3 =const En remplaçant cela dans l’équation de la solution, on obtient une solution périodique. La solution n’est pas stable, siu=0 pourh 1 <0. Cela donne la condition suivante pour la vitesse d’excitation:

4βv m b <v b1 =v m − v1 3(µ s −µ m )

Cela veut dire qu’en absence d’amortissement visqueux, l’équilibre est instable pour des vitesses d’excitation inférieures àv m . Donc, l’amortissement visqueux a un effet stabilisateur sur le système. Siβdépasse un seuil, le système est toujours stable: 3 β> ( µ s −µ m ) 4 Les conditions de l’existence et de la stabilité de l’oscillation périodique sont: h 1 <0; h 3 >0 Preuve de la vérité de la deuxième condition: Etant donné µ s >µ m , la deuxième condition est vraie: µ s −µ m 1 h 3 =κ 3 = ⋅ > 0 3 2 m v L’équation modifiée de l’amplitude de déplacement:

2 v b 4βv 2 2 m A=2v1− ( ) − =2v b1 −v b m v m 3(µ s −µ m )

Ainsi, on peut définir des valeurs limites pour l’oscillation pure. L’oscillation pure est présente si la vitesse d’excitation v b est entre les valeurs limites suivantes: v b0 <v b <v b1

257

Quand la vitesse d’excitationv b  diminue à partir d’une valeur grande, le glissement sans oscillation se transforme en oscillation pure à la valeur v b1 . L’oscillation pure dure jusqu’à ce que la vitesse d’excitation atteintv b0 , vitesse de l’apparition du stickslip. Similairement, l’amplitude de l’oscillation commence à augmenter aprèsv b1 . Il atteint sa valeur maximale à v b0 . A ce point:

4 v b0 =v b1 5 De cela, l’amplitude de l’oscillation au début de la phase de stickslip:

A A v = max = b0 = vb=vb0

4βv m 4 v1− m 5 3(µ s −µ m )

A42. Description de l’oscillation stickslip

La condition de base: v b <v b0 . Dans la discussion, on s’occupe séparément de la phase glissement et de la phase collage. A421. Phase glissement Pour décrire la phase de glissement, on choisit pour moment initial la fin de la phase de

. collage, où la vitesse de la masse est égale à celle d’excitation: u=v b . A ce moment, la force de frottement et celle du ressort sont égales. L’équation du mouvement au moment initial:

. 3 t=0:u(0)=−2εβv b +ε(κ 1 v−κ 3 v b ) ;u(0)=v bb L’équation de mouvement sera la même que pour le mouvement d’oscillation pure:

.. . u+u+εh ( u ) = 0

Avec ces conditions initiales, l’équation est nonlinéaire. Pour la résoudre, on fait appel à des méthodes approchées. Appliquons la méthode des perturbations. Décomposons la variable: u ( t ) u 0 ( t ) εu 1 ( t )

quandt∈ [ 0,t ] , oùt s est le début de la nouvelle phase de collage, etε<<1un paramètre. s

Remplaçons cela dans l’équation de mouvement:

et

.. . u 0 +u 0 = 0 ; u 0 (0) = 0 ; u 0 (0) =v b

258

La solution en ordre 0 :

.. . . 3 u 1 +u=−h(u 0 ) ;u 1 (0)=−2βv b +κ 1 v b −κ 3 v b ;u 1 (0)=0 1

u 0 =v b sin t Remplaçons cela dans la solution d’ordre 1 :

où

.. 3 3 1 u 1 +u 1 =c 3 −c 1 cost+c 3 cos(2t)−c 3 cos(3t) 2 2 4

2 ⎛ ⎞ 15 3v b 5v b c 1 =2 β v b − κ 1 v b +c 3 =2 β v b −( µ s − µ m ) ⎜ 1− ( ) ⎟ 4 2v m 4v m ⎝ ⎠

3 1 v b 3 c=κv b =µ−µ 3 3 ( s m ) ( ) 2v m La solution d’ordre 1 en prenant compte les conditions initiales: 2 1 55 1 1 u 1 (t)=c 3 −c 1 tsint+ ( c 3 −c 1 ) cost−c 3 tcos(2t)+c 3 tcos(3t) 3 2 32 2 32 La solution complète pour t∈ [ 0, t s ] :

où

2 1 55 1 1 2 u(t)=v b sint+ε ( c 3 −c 1 tsint+ ( c 3 −c 1 ) cost−c 3 tcos(2t)+c 3 tcos(3t) ) +O(ε) 3 2 32 2 32

2 O ( ε ) représente les membres négligeables.

On obtient les fonctions de vitesse et d’accélération en dérivant la solution. A422. Calcul de la durée limite de glissement pour le stipslick

. . La condition limite finale:u(t s )=v b . On obtientude la dérivation de la solution. Cette

équation est transcendante, on doit la résoudre avec des méthodes approchées. Développons l’équation en série de Taylor dans l’intervallet∈π,2 ] : s

2 ⎛ ⎞ . . .. ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎜ ⎟ u t=u u ( s )+ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ t s − ⎟ +O ⎜ t s − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠

. Remplaçons l’équationu(t)=v dans celle précédente, et arrangeons les membres pour s b

obtenir t s :

. ⎛ 3 π ⎞ v b −u ⎜ ⎟ 2 ⎛ ⎞ 3 π π ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ t O t s ' + ⎜= + s − ⎟ ⎜ ⎟ .. ⎛ 3 ⎞ ⎝ 2 ⎠ 2 π ⎝ ⎠ u ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

. .. Remplaçons les équations deu(t) etu(t) , et négligeons les puissances det s : s s

259

1 13 v+c−c b1 3 3 π 2 8 t ' = + s 3 2 v−c−2c b1 3 4 Selon Thomsen [41], le pourcentage d’erreur de cette approximation est inférieur à 0,3%. Toutefois, l’erreur peut augmenter en cas de(µ s - µ m ) plus petit. Pour compenser cela, on effectue le même développement en série, mais autour du pointt s =2π:

2πc 1 t"=2π− s 3π −v−c−2c b1 3 4 Pour une phase de collage court,t s ’est plus précise. Pour une phase de collage plus longue, t s ’’ est mieux adaptée. Pour être précis en chaque cas, considérons que la solution la plus précise est la combinaison des deux approximations:

v − v b b0 κ t=t'+e(t"−t') s s s s

4βv m où κ= . 3(µ−µ) s m L’erreur de cette approximation pourt s est inférieur à 1% pour les conditions suivantes: µ−µ s m v b <v b0 ;∈ [ 0,11;1 ] ; ∈ [ 0,07;0,61 ] ; v m β=0,05;µ s =0,25;µ m =0,25;v m =0,5.

A423. Calcul de la période et des amplitudes Les conditions de départ sont:

. .. t=t;u(t)=v;u(t)=0 s s b s

L’équation du mouvement pourt∈ ] t,T [ : s

où

u(t)=u(t)+v(t−t) s b s

u(0)−u(t) s T=t+ la période du mouvement stickslip. s v b

260

Fig. A43 Types du mouvement stickslip [41] On ne peut pas définir une amplitude de la même façon que pour un mouvement harmonique. Continuons la discussion en traitant les deux phases de façon séparée (Fig. A43).

. Pour le collage:u=v=const b

. . .. Pour le glissement: u≠const , et u=max siu(t)=0 m

Une solution approchée pourt m soit:

t m

t+εt m 0 m 1

oùε<<1est un paramètre. Remplaçons cela dans l’équation du mouvement développée en série de Taylor:

.. .. ... .. ⎛ ⎞ 2 u(t)=u 0 (t)+ε ⎜ t u 0 (t)+u 1 (t)⎟ +O ( ε ) m m 0 m 1 m 0 m 0 ⎝ ⎠

.. Approximativement,u(t)=0 si: m

.. .. ... u 0 (t)=0 ;u 1 (t)= −t u 0 (t) m 0 m 0 m 1 m 0

La solution de la première condition:

.. u 0 (t)=0 sit m 0 m 0

On obtient la solution pourt m1 de façon similaire. Remplaçonst m0 ett m1 dans l’équation det m :

261

π

73 c+c 1 3 32 t=π− m v b Remplaçons le temps dans l’équation de la vitesse:

. . .. . ⎛ ⎞ 2 ⎛ π ⎞ 2 u(t)=u 0 (t)+εt u 0 (t)+u 1 (t)+O ( ε ) = −v+ε ⎜ c⎟ +O ( ε ) m m0 ⎜ m1m0m0 ⎟ b1 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ Comme les extrema de vitesse ne sont pas symétriques par rapport àu=0, l’amplitude est donnée par la définition suivante: . 1 ⎛ ⎞ A= ⎜v−u(t) ⎟ v b m 2 ⎝ ⎠

. En remplaçantu(ton obtient pour) , v b <v b0 : m

2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ π ⎞ 3π v 5 v ⎜ ⎟ b b ⎜ ⎟ A= ⎜1−β ⎟ v+ ( µ−µ ) 1− v b s m ⎜ ⎟ 2 8v4v ⎝ ⎠ m ⎝ m ⎠ ⎝ ⎠ L’amplitude du déplacement est calculée de façon semblable. Les approximations pour les

valeurs de temps (Fig. A43):

3π1 52 = − t − c 1 +c 3m 2 2 32 π1 52 t= +c−c m+1 3 2 2 32 Les approximations pour les valeurs de déplacement (Fig. A43): 3π = u(t − )−v+2c 3 +c 1m b 4

( )+2−c u t m+ =v b c 3 1 4 L’amplitude de déplacementv b <v b0 :

2 ⎛ ⎞ π π v ⎛ v ⎞ 1 3 b ⎜ 5 b ⎟ πβ µ µ A= ( u(t m )−u(t m ) ) =v b −c= ( 1− ) v b + ( s − m ) 1− ⎜ ⎟ + −1 ⎜ ⎟ 2 2 4v4v m ⎝ m ⎠ ⎝ ⎠ Le maximum de la vitesse :

⎧ µ µ 4 ( s − m ) 3 v=v, si≤ ( 1−(π−3)β ) ⎪ b0b1 5v8 ⎪ m ⎪ ⎛ ⎞ * v= b ⎨ ⎜ ⎟ v−πβ ⎪ 4 m (1 ) ⎜ ⎟ v1+ailleurs m ⎪ π 15 ⎜ 3 ⎟ ( µ − µ ) ⎪ s m ⎩ ⎝ 4 ⎠

262

Siµ−µ est petit, le maximum de l’oscillation apparaît pourv b =v b0 . Dans le cas de s m

µ−µle maximum apparaît quelque part pour grande, v∈ ] 0,v [ A44). Pour (Fig. s m b b0

µ−µpetit, on a: s m

A=A=v= maxb0 vb=vb0

4 v m 5

4βv m 1− =A v,max 3(µ−µ) s m

donc l’amplitude du déplacement et de la vitesse sont les mêmes à la vitesse maximale d’oscillation .

La fréquence de base du mouvement stickslip est la suivante (Fig. A45): 2π 2πv b ω= = <1=ω ss0 T v t+u(0)−u(t) b s s

Fig. A44 La variation de l’amplitude de l’oscillation en fonction de la vitesse d’excitation

Fig. A45 La variation de la fréquence de l’oscillation en fonction de la vitesse d’excitation

263