ETUDE EXPERIMENTALE DES MOUVEMENTS ENGENDRES PAR UN CHAMP MAGNETIQUE BI-FREQUENCE A LA SURFACE D’

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ŁmeXV CongrŁs Fran ais de MØcanique Nancy,3 7 Septembre 2001 627 ETUDE EXPERIMENTALE DES MOUVEMENTS ENGENDRES PAR UN CHAMP MAGNETIQUE BI-FREQUENCE A LA SURFACE D’UN BAIN DE METAL LIQUIDE Damien PERRIER, Jacqueline ETAY, Yves FAUTRELLE EPM-MADYLAM (UPR A 9033 CNRS/INPG) ENSHMG BP 95, 38402 St Martin d HŁres cedex Résumé : Nous Øtudions le comportement de la surface libre d un bain de mØtal liquide placØ dans un champ magnØtique alternatif bi-frØquence : une haute frØquence f et une basse frØquence f , appelØe aussi frØquence de modulation. 1 2La forme des forces induites par un tel champ dans un mØtal liquide cylindrique est Øtablie. Des expØriences ont ØtØ menØes sur un bain de gallium. Les ondes crØØes la surface ont ØtØ mesurØes en utilisant une sonde de contact. L Øvolution de l amplitude maximale des dØformations est trouvØe en fonction de la valeur de la frØquence f . Les diffØrents pics de rØsonance sont identifiØs. Quand f varie, la surface oscille la frØquence f 2 2 2ou la frØquence 2*f . Ce rØsultat s’explique par la forme particuliŁre de la modulation des forces 2ØlectromagnØtiques. Abstract : We study the behaviour of a free surface of molten metal in the presence of a periodic magnetic field pulsating at two frequencies : a high frequency f and a low frequency f , also called the modulation frequency. ...

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XV ème   7 Septembre 2001Congrès Français de Mécanique Nancy,3                                                

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ETUDE EXPERIMENTALE DES MOUVEMENTS ENGENDRES PAR UN CHAMP MAGNETIQUE BI-FREQUENCE A LA SURFACE D’UN BAIN DE METAL LIQUIDE

Damien PERRIER, Jacqueline ETAY, Yves FAUTRELLE

EPM-MADYLAM (UPR A 9033 CNRS/INPG)

  ENSHMG BP 95, 38402 St Martin dHères cedex     Résumé :   Nous étudions le comportement de la surface libre dun bain de métal liquide placé dans un champ magnétique alternatif bi-fréquence : une haute fréquence f 1 et une basse fréquence f 2 , appelée aussi fréquence de modulation. La forme des forces induites par un tel champ dans un métal liquide cylindrique est établie. Des expériences ont été menées sur un bain de gallium. Les ondes créées à la surface ont été mesurées en utilisant une sonde de contact. Lévolution de lamplitude maximale des déformations est trouvée en fonction de la valeur de la fréquence f 2 . Les différents pics de résonance sont identifiés. Quand f 2 varie, la surface oscille à la fréquence f 2   ou à la fréquence 2*f 2 . Ce résultat sexplique par la forme particulière de la modulation des forces électromagnétiques.   Abstract :   We study the behaviour of a free surface of molten metal in the presence of a periodic magnetic field pulsating at two frequencies : a high frequency f 1 and a low frequency f 2 , also called the modulation frequency. The form of the forces induced by such a field in a cylindrical molten metal is established. Experiments are performed on a gallium pool. The generated surface waves are measured by means of a contact probe. The evolution of the maximum amplitude of the deformations is investigated versus the frequency f 2 . The various resonance peaks are identified. When f 2 varies the free surface oscillates at the frequency f 2 or at the frequency 2*f 2 . That result may be explained considering the form of the modulation of the electromagnetic forces.     Mots clés :   Surface libre, champ magnétique alternatif, métal liquide, mouvements   1 Introduction        Les champs magnétiques alternatifs sont généralement utilisés pour chauffer et brasser les matériaux électroconducteurs. La fréquence, qui peut varier de 50 Hz à quelques centaines de kilohertz, est ajustée afin d’obtenir les meilleurs résultats en terme d’efficacité. Il a été montré qu’un champ magnétique basse fréquence de quelques hertz était responsable d’un brassage en surface efficace [1], [2].  L’objet de la présente étude concerne le comportement hydrodynamique de la surface libre d’un métal liquide soumis à un champ magnétique bi-fréquence délivré par une seule source de puissance électrique. Le champ magnétique alternatif appliqué oscille à haute fréquencef 1   et est modulée par une basse fréquencef 2 . Un tel champ magnétique est capable de créer à la fois un brassage interne et des mouvements de surface. Nous présentons des mesures d’amplitude de déformation de la surface libre d’un bain de gallium cylindrique. Une analyse

 

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de la forme des forces électromagnétiques présentes dans un tel système nous permet d’interpréter les résultats expérimentaux.   2 Dispositif expérimental    Le montage expérimental est composé d’un bain de gallium cylindrique placé dans un creuset entouré par un inducteur de type solénoïdal. La géométrie est présentée sur la figure 1. L’inducteur est constitué de six spires. Le creuset est en verre Pyrex et a un diamètre intérieur de 84 mm. La hauteur du bain est de 45 mm.   i  = 84 mm  sp re ∅           100 mm  45 mm 73 mm          FIG. 1 :Schéma du montage expérimental     Le courant électrique alternatif appliquéIprésente deux fréquences, une fréquence de base f 1  = 14 kHz et une fréquence de modulationf 2  1-10  =Hz. La valeur du champ magnétique moyen sur une périodeT 2 = 1/f 2  correspondant varie de 0 à 30 mT. Le courant inducteur de base est modulé par une fonction de modulationm(t). L’expression du courant électrique appliqué est la suivante :                                                   I=I 0  )cos(m( tω 1 t ) (1) I 0 est l’amplitude du courant inducteur etω 1 =2πf 1 .  La forme de la fonction de modulation est illustrée sur la figure 2. Bien que le signal de consigne soit sinusoïdal, la fonction de modulation n’est pas une fonction sinusoïdale, surtout quand la puissance électrique est assez élevée ou quand la fréquence de modulation dépasse 4 Hz. Néanmoins, dans nos conditions opératoires la fonctionm(t) exprimée de façon est approchée sous la forme suivante :                                                   m( t )≈1+ αcos(ω 2 t ) (2)   oùαest le taux de modulation (0≤ α< 1) etω 2 =2πf 2 .

 FIG. 2

 

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1

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 0.40 =

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 L’épaisseur de peau électromagnétiqueδcorrespondant à la haute fréquencef 1  faible est par rapport au rayon du creusetapuisque sa valeur est de 2.3mm. Le paramètre d’écran R ω correspondant est tel que 2 2                  2 a 67 (3) =                                 R ω = µσ ωa= 2  2 δ µetσétant respectivement la perméabilité magnétique et la conductivité électrique du métal liquide.  Cela signifie que la valeur de la fréquencef 1 choisie est bien appropriée pour chauffer le bain métallique par effet joule mais pas pour le brasser de façon efficace.  Les mesures des amplitudes de déformation de la surface de gallium ont été réalisées au moyen d’une sonde de contact au centre et au 3/4 du rayon du creuset. La précision sur ces mesures est de l’ordre de ±  0.1mm.   3 Analyse des forces électromagnétiques dans un système à deux fréquences    L’expression des forces électromagnétiques dans un système à deux fréquences est assez complexe. Toutefois une simplification intéressante peut intervenir dans le cas oùf 2 <f 1 . Considérons un bain de métal liquide cylindrique placé dans un inducteur axisymétrique. On introduit la composante unique azimutale du potentiel vecteur du champ magnétique B r 1 r r  (4) A( r , z ,t )telle que= ∇( r A )×i θ . r Le potentiel vecteur est régi par l’équation de l’induction :                                                            ∂ ∂ σµ t A = ∇ 2 A, (5) La densité de courant électriquejsuit la loi d’ohm :                                                          j ∂ σ=− ∂A t  (6) A partir de (4) et (7), il vient l’expression des forces électromagnétiques suivante :                                                          F r =j r ×B r ∂ − ∂ =σ A 1 t ∇ r ( rA ) (7) r  Nous rappelons que pour un courant inducteur oscillant à une seule fréquencef 1 , le potentiel vecteur notéA 0 de la forme                                                       A 0 =A 0 cos ( 2πf 1 t+ϕ  )  (8) r est régi par l’équation (5). L’expression des forces électromagnétiques correspondantesF 0   r est obtenue par (7).F 0  comprend une partie oscillanteF p  et une partie moyenneF de la

forme                                                             F= − 1 2 σ ωA 0 2 ∇ r ϕ (9)       Considérons maintenant le cas d’un système à deux fréquences. On suppose que le potentiel vecteurAest de la forme :                                                              A=m( t ) A 0  (10)  

 

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En introduisant (10) dans l’équation de l’induction (5) il vient :   ∂ ' + =                                                     σµ( t A 0 m A 0 )∇ 2 A 0  avecm'= t d d m  (11) ∂m Le deuxième terme de l’équation (11) comprend la dérivée temporelle de la fonction de modulation m( t ) . En considérant (2), son ordre de grandeur est f f (O 1 2 ) rapport au par premier terme de l’équation (11). Dans la limite oùf 2 / f 1 <1, l’hypothèse (10) ne présente donc pas de contradiction dans notre cas. L’expression des forces électromagnétiques peut être simplifiée au même ordre :                               F r = −m 2 σ( ∂ ∂A t 0 + m A m' 0 r ) 1 ∇ r ( rA 0 )=m 2 F r 0 + f O f ( 1 2 ) (12) Ainsi sif 2 / f 1 <1, les forces électromagnétiques sont obtenues en modulant parm 2 les r forcesF 0 correspondant au cas monofréquence. D’après (2), la modulation des forces électromagnétiques implique deux fréquences,f 2 et 2f 2, puisque                            m 2  )( t=1+ 2 1 α 2 +2αcos(ω 2 t )+ 2 1 α 2 cos( 2ω 2 t ) (13) On note que, commeα< 1, le deuxième terme de l’équation (13) est généralement plus grand que le troisième.   4 Résultats expérimentaux        surface libre est composée de deux parties, respectivementLa déformation de la r (i) une déformation statiqueh(r)due à l’action de la partie moyenne deF 0   r (ii) des oscillations temporellesη(r,t)engendrées par les modulations deF 0     4.1 Déformation statique    La déformation statique de la surface libre a été mesurée en l’absence de modulation du courant inducteur (α=0). Elle présente la forme habituelle d’un dôme statique de déformation. L’évolution de l’amplitude maximaleh 0  centre et au 3/4 du rayon du creusetau en fonction de la puissance électrique est présentée sur la figure 3. La valeur expérimentale de h 0  augmente avec le champ magnétique comme prévu. Il est à noter que la valeur expérimentale deh 0  est en assez bon accord avec l’estimation théorique de la dénivelée maximale [3] :                                                            h 0 ≈ µ B 0 2  (14) 2ρg   oùρ,g   et   B 0 sont respectivement la masse volumique du métal liquide, la gravité et l’intensité du champ magnétique (valeur efficace).      

 

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10

1

0,1

1

10

P  (kW)

centre centre 3/4 rayon

100

FIG. 3 :Déformation statique de la surface libre pour différentes valeurs de puissance électrique (α pour P = 1 kW la valeur du champ magnétique est B ;= 0) 0  ; 6 mT =    le trait plein correspond à la valeur de h 0 estimée par (14)    4.2 Oscillations de la surface libre    Quand la modulation est non nulle, la surface libre présente des ondes stationnaires. Dans la gamme des paramètres utilisés lors des expériences, seuls les modes de surface axisymétriques, notés (0,n) où n représente le nombre de maxima suivant la direction radiale, ont été observés. L’amplitude maximale des déformations au centre et au 3/4 du rayon du creuset est présentée sur la figure 4 pour différentes valeurs de la fréquence de modulation. La figure 4 montre différents pics de résonance correspondant aux fréquences propres des modes de surface axisymétriques excités. Il est à noter que l’amplitude de tels pics de résonance est assez élevée bien que la valeur du champ magnétique soit plutôt faible dans le cas présent.

15 14 13 12 11 10 9 8 7

6 5 4 3 2 1 0 1,5

(0,1)

2

2,5

3

(0,2)

3,5

(0,1)

(0,3)

4

4,5

(0,2)

(0,3)

5 5,5 6 6,5 7 7,5 fréquence f2 en Hz

8

8,5

(0,4)

9

centre centre centre 3/4 rayon 3/4 rayon

9,5

(0,5)

10

10,5

11

FIG. 4 :Amplitude maximale des déformations de la surface libre pour différentes fréquences f 2 ; les différents modes de surface excités (0,n) sont notés au dessus des pics de résonances correspondants ; la valeur du champ magnétique est B 0  = 7.8 mT, le taux de modulationα  dépend de la fréquence, par exempleα(f 2 = 2.5 Hz) = 0.43 etα(f 2 = 5 Hz) = 0.35     Sur la figure 5, la fréquence de déformation de la surface libref d  a été représentée en fonction de la fréquence de modulationf 2 . Suivant la valeur de la fréquencef 2, la surface

 

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oscille à la fréquencef d =f 2 ouf d = 2f 2 . Par exemple, le premier pic àf 2   ≈  2.4 Hz oscille à la fréquence 2f 2   ≈  4.7-5.2 Hz alors que le pic le plus important observé à la fréquencef 2   ≈  4.8 Hz correspond à l’onde de surface qui oscille à la fréquencef d =f 2 .  Deux types de résonance sont donc observés. Ce comportement de la déformation s’explique par la forme particulière de la fonction de modulation des forces électromagnétiques exprimée en (13). Le premier type de résonance pour lequel la surface libre oscille à la fréquence 2f 2 est engendré par le troisième terme de (13). Les amplitudes de tels pics de résonance sont relativement faibles puisque les forces correspondantes sont multipliées par un facteur 2 /2 comme l’indique l’expression (13). Le deuxième type de α résonance de fréquence de déformation égale àf 2  peut être relié à l’excitation crée par le second terme de (13). Dans ce cas les amplitudes des pics sont plus importantes puisque le coefficient multiplicateur des forces en (13) est 2α.

11 10,5 0 1 9,5 9 8,5 8 7,5 7 6, 6 5 5,5 5 4,5 4 2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5 6 6,5 7 fréquence f(Hz)    2

7,5

8

8,5

9

9,5

10

10,5

FIG. 5 :déformation de la surface libre fFréquence de d  en fonction de la fréquence de modulation f 2 en pointillés rouges correspondent respectivement aux droites; les traits déquation f d  2f 2 et f d = f 2  =   5 Conclusion    On a montré qu’il était possible d’obtenir un champ magnétique périodique oscillant à deux fréquences, une haute fréquencef 1  un basse fréquence de modulation etf 2 . En menant des expériences sur le gallium, des ondes stationnaires ont été créées à la surface libre du métal liquide. Même pour une valeur du champ magnétique assez faible, des oscillations de la surface libre sont obtenues avec des amplitudes plutôt élevées. Les caractéristiques des ondes de surface peuvent être expliquées par la forme particulière des forces de Lorentz dans une telle configuration. Le brassage est également présent au cœur du bain mais son intensité n’a pas été déterminée.  Un modèle analytique décrivant l’amplitude et les fréquences des oscillations de surface est actuellement en cours de réalisation.   Références   [1] Galpin, J.M., and Fautrelle, Y. (1992) Liquid-metal flows induced by low-frequency alternating magnetic fields,J. Fluid Mech, 239, 383-408. [2] Galpin J.M., Fautrelle Y., Sneyd A, (1992) "Parametric instability in low frequency magnetic field stirring"J. Fluid Mech,239, pp 409-427 [3] Barbier, J.N., Fautrelle, Y., Evans, J.W., and P. Cremer (1982) Simulation numérique des fours chauffés par induction, J. de Mécanique Théorique et Appliquée 1, n°3, 533-556.  

 

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