Exemples d etude probabiliste de situations concretes

Costantini

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EXEMPLES D'ÉTUDE PROBABILISTE DE SITUATIONS CONCRÈTESExercice 1 Loi hypergéométrique1.Dans une population de N individus divisée en deux sous-populations A et B de proportions p et 1 - prespectivement, on prélève un échantillon E de n individus (n  N). On note X la variable aléatoirecorrespondant au nombre d'individus de l'échantillon E appartenant à la sous-population A.k n-kC CpN (1- p)NMontrer que : " k ˛  0 ; n , p(X = k) = nCNPuis que : E(X) = np2.Application : un joueur coche une grille de loto (il choisit 6 numéros parmi 49).Calculer la probabilité qu'il obtienne k numéros gagnants (k ˛  0, 6 ). (Sans tenir compte du n° complémentaire)En moyenne, combien de numéros gagnants obtient-on en jouant une grille de loto ?Exercice 2 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poissonl*Soit X une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres n ˛ et p = avec l > 0.n1.Démontrer que, dans ces conditions :klk k n-k -l"k ˛  0, n , C p (1 - p) = elim nnfi+¥ k !On dit que l'on approche la loi binomiale par la loi de PoissonEn pratique, on fait cette approximation quand p est très petit.2.Application : une petite compagnie d'assurance prend en charge n = 100 clients. La probabilité, sur uneannée, qu'un assuré ait un gros sinistre est p = 0,02. On admet que les sinistres sont indépendants les unsdes autres. On considère que la compagnie fait faillite si, la même année, 5% de ses clients ont un grossinistre.a.Calculer la probabilité que la ...

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Extrait

0.n1.Démontrer que, dans ces conditions :klk k n-k -l"k ˛  0, n , C p (1 - p) = elim nnfi+¥ k !On dit que l'on approche la loi binomiale par la loi de PoissonEn pratique, on fait cette approximation quand p est très petit.2.Application : une petite compagnie d'assurance prend en charge n = 100 clients. La probabilité, sur uneannée, qu'un assuré ait un gros sinistre est p = 0,02. On admet que les sinistres sont indépendants les unsdes autres. On considère que la compagnie fait faillite si, la même année, 5% de ses clients ont un grossinistre.a.Calculer la probabilité que la ..." />

EXEMPLES D'ÉTUDE PROBABILISTE DE SITUATIONS CONCRÈTES

Exercice 1Loi hypergéométrique 1. Dans une population deN individus divisée en deux sous-populationsA etB proportions dep et 1 p

respectivement, on prélève un échantillonEden ( individusn  N). On noteX la variable aléatoire

correspondant au nombre d'individus de l'échantillonEappartenant à la sous-populationA. k n k Montrerk C pN C (1  p)N  que :∀k ∈ 0 ;n,p(X = )= C N n

Puis que :

E(X)= np

2. Application : un joueur coche une grille de loto (il choisit 6 numéros parmi 49).

Calculer laprobabilité qu'il obtienneknuméros gagnants(k ∈ 0, 6). (Sans tenir compte du n° complémentaire)

En moyenne, combien de numéros gagnants obtient-on en jouant une grille de loto?

Exercice 2Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

SoitXune variable aléatoire de loi binomiale de paramètresn ∈  * etp =  λ avecλ> 0. n

1. Démontrer que, dans ces conditions : ∀k ∈  λ k 0,n lim , C nk p k (1p) nk  = e λ k! n→ +∞ On dit que l'on approche la loi binomiale par la loi de Poisson En pratique, on fait cette approximation quand p est très petit.

2. Application : une petite compagnie d'assurance prend en chargen = 100 clients. La probabilité, sur une

année, qu'un assuré ait un gros sinistre estp = On  0,02.admet que les sinistres sont indépendants les uns

des autres. On considère que la compagnie fait faillite si, la même année, 5% de ses clients ont un gros

sinistre.

a. Calculer laprobabilité que la compagnie d'assurance fasse faillite une année donnée.

b.Comment évoluent les risques de faillite si la compagnie double son nombre de clients ?

Exercice 3Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Approximation de la loi binomiale par la loi normale. 40% des individus d'une population possèdent un caractèreCOn considère un échantillon de 200 individus..

Peut-on affirmer, à 99%, que la probabilité de la fréquence d'apparition du caractèreC dans l'échantillon soit

comprise entre 30% et 50% ?

Exercice 4Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales Un individu est tiré au hasard d'une population dans laquelle une personne sur 10000 est séropositive.

On lui fait passer un test de dépistage de séropositivité.

Sachant que le test est positif,quelle est la probabilité que la personne soit effectivement séropositive?

Données :

Si on est séropositif, alors le test est positif avec une probabilité de 0,99. Si on n'est pas séropositif, alors le test est positif avec une probabilité de 0,001.

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Exercice 5Calcul d'espérance pour des variables aléatoires continues Un parisien prend le métro pour se rendre à son travail.

L'heure de son arrivée à la station de métro de départ est uniformément répartie entre 7 et 8 heures du matin.

Pour se rendre à son travail, il a le choix entre la ligne n°4 ou la ligne n°7 dont les heures de passage sont :

n°4 : 7h00 ; 7h15 ; 7h30 ; 7h45 ; 8h00 n°7 : 7h05 ; 7h20 ; 7h35 ; 7h50

Le voyageur monte dans la première rame de métro (n°4 ou n°7) qui se présente.

1. On désigne parXl'attente -en minutes- du voyageur sur le quai.

a. Déterminer la densitéet la fonction de répartitionFdeXet les représenter.

b. Calculer ladurée moyenne d'attente du voyageur sur le quai.

2. La durée du voyage en métro dure 15 minutes avec la ligne n°4 et 20 minutes avec la ligne n°7.

Le voyageur met 10 minutes pour se rendre de son domicile à la station de métro de départ, puis un temps

négligeable pour se rendre de la station de métro d'arrivée à son lieu de travail.

On désigne parYle temps total mis par le voyageur entre son domicile et son lieu de travail.

Calculer letemps moyen mis par le voyageur pour se rendre de son domicile à son lieu de travail.

Exercice 6Notion d'indépendance - Utilisation d'un arbre. Une urneU 1 contient trois boules noires et sept boules blanches. Une urneU 2 contient cinq boules noires et cinq boules blanches. On choisit une urne au hasard (équiprobablement) et on tire successivement deux boules, avec remise, dans

l'urne choisie.

On note :

B 1 "obtenir une boule blanche au premier tirage"l'événement B 2 une boule blanche au second tirage"l'événement "obtenir Les événementsB 1 etB 2 sont-ils indépendants?

Exercice 7Matrices stochastiques - Chaînes de Markov Trois personnesA,BetCjouent au ballon.

 . SiApossède le ballon, il le passe àBavec une probabilité de 3 1 et àCavec une probabilité de 2 3 SiBpossède le ballon, il le passe àAavec une probabilité de 1 et àCavec une probabilité de 2 . 3 3 SiCpossède le ballon, il le passe àAavec une probabilité de 1 et àBavec une probabilité de 2 . 3 3  p(A n )   p(B n )   . On noteA n (resp.B n ,C n ) l'événement : "A(resp.B,C) reçoit le ballon après len ème échange" etX n  =    p(C n )     1   On suppose qu'à cX 0  =  0 . l'instant initial,Apossède la ballon. On a don     0    1. Déterminer la matriceMtelle queX n+1  = MX n et calculer ses éléments propres.

2.Calculer la probabilité que chacun des joueurs possède le ballon après le 5 ème échange. 3. Montrer que la suite (M n ) n ∈  converge vers une certaine matriceM ∞ que l'on calculera.InterpréterM ∞ X 0 .

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Quelques théorèmes

Normale centrée réduite N (0, 1)

Uniforme

Loi

p( λ k X = k)= e λ  k!

Bernoulli

E(X)= λ Var(X)= λ



Loi

Densité

t 2 1 e  2 2π

(t)= 

Page3

n Y n E(Y n ) n  µ  =  ∑ X i  etY ∗ = =et réduite) Y n i=1    n σ(Y n ) n Y σ n  (variable centrée la suite (Y n ∗ ) n ∈  converge, en loi, vers N (0, 1)

Exemples d'étude probabiliste de situations concrètes

Théorème "central limit"

∀ε ∈  +∗ ,p(|X  E(X)| ε)  Va ε r( 2 X)

Soit (X n ) n ∈  une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, d'espéranceµet da varianceσ 2 < +∞.

On pose :

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Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Alors :

SoitXune variable aléatoire discrète. Alors :

Exponentielle sur [0,+∞[

Quelques lois de variables à densité

(t)=  b 1 a 

Uniforme sur [a,b]

X du premier rang = succès X  → G(p)

X =nombre de succès X  → P(p)

Somme d'expériences de Bernoulli dont la l'espérance estλ

(t)= λe λt

{0 ; 1}

X =indicatrice du Succès X  → B(1,p)

X =nombre de succès X  → B(n,p)

X =nombre d'individus du typeA X  → H(N,n,p)

Somme d'expériences de Bernoulli de paramètrep

Tirage denindividus parmiNdont une proportionpest du typeA

Réalisation d'une expérience à 2 issues Succès (avec probabilitép) ou Echec Somme den expériences de Bernoulli de paramètrep

Tirage équitable d'un objet parminobjets numérotés de 1 àn.

Exemple de situation

Notation X =n° tiré X  → U(n)

ImageX(Ω)

1,n

Hypergéométrique

Binomiale

Géométrique

0,n

Quelques lois discrètes

Poisson

0,n

 *

1 n

p(X =1)= p p(X =0)=1 p

p(X = k)= C nk p k (1p) nk

p(X = k)

p(X = k)=(1 p) k1 p

k N p(X = k)=  C p C C n N n N  (1 k p)

E(X)= p

Var(X)= p(1 p)

Espérance et variance

E(X) n+1   = 2 2 Var(X) n1   = 12

Var(X)= np(1 p)

E(X)np =

Var(X)=  Np(1 1 p) (Nn) N

E(X)= np

Var(X)=  1 2 p p

E(X)=  1 p

EXEMPLES D'ÉTUDE PROBABILISTE DE SITUATIONS CONCRÈTES : SOLUTIONS

Exercice 1Loi hypergéométrique

1.

Population (Nindividus)

A(Npindividus)

B(N(1p) individus)

Echantillon (nindividus)

On prélève un échantillonEdenindividus. Donc :

Ω =ensemble des parties ànéléments de la population CardΩ  C Nn = Xcorrespondant au nombre d'individus de l'échantillonest la variable aléatoire Equi sont dansA.

On a donc :

Pour toutk ∈0,n, notonsA k l'événement :

Ainsi :

On note :

X(Ω)= 0,n

A k  =nthaloil "écl' nEcontientkindividus dansA(et doncn  kdansB)" k n k p(X = k)= (d C C   ra ard( A Ω k ) ) =  C Np C C N n N  (1p) X           H(N,n,p)

Calcul de l'espérance de la loi hypergéométrique :

Pour touti ∈ 1,n, notonsX i la variable aléatoire définie par

 A X i  =    el i o   s0ni s 1i n ème individu deEest dans

X i est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètrep. Donc :

D'où :

Or, on a :

D'où, par linéarité de l'espérance :

p(X i  1)= p = E(X i )= p n X =  ∑ X i i=1

E(X)= np

Remarque : on peut retrouver ce résultat en écrivant : E(X)=  ∑ k p(X=k) k∈X(Ω)

et en utilisant la formule de Vandermonde.

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Application :

D'autre part :

D'où le résultat :

2.

Et enfin :

D'où :

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k p(X 10)=1 p(X 9)=1  ∑ 9 0 e 4 4 k! 0,0081 k=

On approcheXpar la loi de Poisson de paramètreλ = np =2. Alors = p(X 5) 1 p(X =4)1  k 4 = ∑ 0 e 2 2 k k ! 0,0526 Il y a environ une "chance" sur 20 que l'assureur fasse faillite une année donnée.  

Maintenant λ = np =2000,02=4  

Il y a moins d'une chance sur 100 de faire faillite.

Moralité : doubler le nombre de client ne réduit pas les risques de moitié mais bien plus sensiblement.

b.

1.

D'une part :

X(Ω)= 0 ; 6

L'universΩest l'ensemble des parties à 6 éléments de l'ensemble1 ; 49et : Card(Ω)= C 94 6 NotonsXla variable aléatoire correspondant au nombre de numéros gagnants. On a :

2.

Exercice 2Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

C=  n(n1)L(nk+1) ∼ n k k n k! n→ ∞ k! k λ k = p   k n

(1p) nk =     1  λ n    n n k → ∞ ∼ e λ n k λ k λ k C nk p k (1p) nk n→ ∼ ∞ k!   k   e n→ ∼ ∞ λ k! e λ n k k n k λ k  m e λ ∀k ∈ 0,n, n l → i +∞ C n p(1p)   = k!

a. NotonsXgros sinistre durant l'année en question.le nombre de clients qui ont un

X        B(100 ; 0,02)

1

E(X)= np =6 6   94  = 9 3   4 6 0,735

En moyenne, on obtient moins d'un numéro gagnant par grille cochée.

0,436

p(X = k)

0

Alors :X           H(49, 6, 6 49 ) 6 C k C 6k On a, pour toutk ∈ 0 ;:p(X = k)=  6 C 4 94 6 3 On trouve (à trois chiffres significatifs près) :

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k

0,413

2

4

3

0,132

0,0177

9,6910 4

5

1,8410 5

7,1510 8

6

Exercice 3loi binomiale par la loi normale.Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Approximation de

C(40 %)

Population

Echantillon 200 individus

C (60 %)

Pour touti ∈ 1, 200, notonsX i la variable aléatoire définie par

X i  =     1 si lei ème individu de l'échantillon possède le caractèreC 0 sinon

X i est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre 0,4. n NotonsX = ∑ X i =nombre d'individus de l'échantillon qui possèdent le caractèreC i=1

Alors :

On a donc :

X          B(200 ; 0,4)

E(X)= np =80 et Var(X)= np(1 p)=48

La fréquence d'apparition du caractèreCdans la population est :  2 X 00

5 On veut estimer :p    0, 3 20 X 0 0,     = p(60 X 100)= p(|X  E(X)|20) Première méthode :utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On la rappelle :

On a donc :

p(|X  E(X)| ε)  Va ε r( 2 X)

p(|X  E(X)|20)=1 p(|X  E(X)|21)1 12 84   2 0,89

L'inégalité est trop faible pour que l'on puisse affirmer à 99% que la probabilité de la fréquence d'apparition du

caractèreCdans l'échantillon soit comprise entre 30% et 50%.

Deuxième méthode :de la loi binomiale par la loi normaleApproximation

t 2  p(|X  E(X)|20)= p    4 02 3  X 4 E( 3 X)  02 34    2 ∫ 0 5 3 2 1 π e 2 dt0,996

Conclusion : oui, on peut affirmer à 99% que la probabilité de la fréquence d'apparition du caractèreC dans

l'échantillon soit comprise entre 30% et 50%.

Exercice 4Probabilités conditionnelles - Formule des probabilités totales NotonsSl'événement "l'individu est séropositif" etT"le test est positif"

Illustrons la situation à l'aide d'un arbre :

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p(T|S) 0,99 =

T

p(S)=0,0001

S

p(T|S)=0,01

T

p( S )=0,9999

p(T| S )=0,001

T

S

p(T| S )=0,999

T

p(T|S)p(S) ( ( ) | ) =   p(S|T)=  p(S p(T ∩ ) T) = p(T)p(T|S) p p( T S) S + p p( S T|S)p(S) =  1+ p(T| 1 S)p(S) 0,090 à 10 3 près p(T|S)p(S)

Conclusion : même si le test est positif, on a environ 9 chances sur 10 de ne pas être malade !

Exercice 5Calcul d'espérance pour des variables aléatoires continues

Ligne 4  7 h 00

Ligne 7

7 h 05

7 h 15

7 h 20

7 h 30

1. a. Partageons l'heure en 12 tranches de 5 minutes.

7 h 35

7 h 45

On constate que le voyageur attend entre 0 et 10 minutes maximum.

7 h 50

8 h 00

t

On constate également que sur ces 12 tranches, il y en a 8 pour lesquelles il attendre moins de 5 minutes

(en gris sur la figure) et donc 4 pour lesquelles il attendra entre 5 et 10 minutes.

Il y a donc 2 chances sur 3 d'attendre moins de 5 minutes et 1 chance sur 3 d'attendre plus de 5 minutes.

Comme on suppose que l'heure d'arrivée est uniformément répartie entre 7h00 et 8h00, on a la

représentation de la fonction densitédeX:

= (t)=     a b i  s  is t t ∈ ∈1;5[[0 5;0[[  où  aetbsont des constantes qui vérifienta 2b Et comme on doit avoir ∫ +∞ ∞ (t) dt=1, on en déduit : 5a +5b =1, d'oùb =: 1   51 d o' ù

(t)

2 15

1 15

0

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2 i (t)=   15  st∈[0 ;5[     1 15 sit∈[5;10[

5

Page7

DENSITÉ

10

t

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F(t)

On en déduit, par primitivation, la fonction de répartitionFdeX:

 0 six∈] ∞; 0[  F(x)= p(X  x)=   2 51 x six∈[0; 5[   + x x∈   ∫  x ∞ (t) dt=   1 2 3  s 1 i 2   5  x    ∈   [1 i 0 s ;  [ + 5; ∞[ [10

FONCTION DE RÉPARTITIONF

5

0

2 3

1

L'espérance deXest donnée par :

E(X)=  ∫ ∞ ∞  + t(t) dt=  ∫ 0 5 1 2t 5 dt+  ∫ 5 01 1 t 5 dt=  25 6

Le temps moyen d'attente sur le quai est de 4 minutes et 10 secondes.

2. NotonsY =10+ X + M oùMest la durée du trajet en métro.

7 h 50

Par linéarité de l'espérance, on a :

E(Y)=10+ E(X)+ E(M)

b.

185 E(Y)=10+  25 +  50  = 6 3 6

La durée moyenne du trajet domicile-travail est de 30 minutes et 50 secondes.

Sur la figure ci-dessus, il y a 8 tranches (sur 12) pour lesquelles on prend la ligne 4.

= p(M 15)=  3 2    te p(M =20)= 3   1 E(M)=15 2    3 +20  1 =  50 3 3

7 h 20

Ligne 7

7 h 45

7 h 35

7 h 15

7 h 30

7 h 05

Ligne 4  7 h 00

10

On a donc

8 h 00

CalculonsE(M) :

t

D'où :

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t

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On en déduit :

1   2

1   2

N

1   2

  U 2

1   2 3 3 2 3

Exercice 7Matrices stochastiques - Chaînes de Markov

1   3

1   3

2 3

B

C 2   = p(B n+1 | n 3 )

C

p(C n+1 |C n )=0

p(A n+1 |C n )= 3   1

   0,3

  0,7

  0,3

1   2

U 1

B

1   2

N

1   2

1   2

  N

1   2

  N

B

Premier tirage

B

Comparonsp(B 1 )p(B 2 ) etP(B 1  ∩ B 2 ) L'événementB 1 corresp d on au cheminU 1  Bou au cheminU 2  B p(B 1 )=0,50,7+0,50,5=0,35+0,25=0,6 p(B 2 )=0,50,70,7+0,50,30,7+0,50,50,5+0,50,50,5=0,6 L'événementB 2 correspond aux chemins   U 1 BB;U 1 NB;U 2 BB ;U 2 NB Doncp(B 1 )p(B 2 )=0,36. L'événementB 1  ∩B 2 correspond aux p(B 1  ∩ B 2 )=0,50,70,7+0,50,50,5=0,37. chemins :U 1 BB;U 2 BB Commep(B 1 )p(B 2 )≠ p(B 1  ∩ B 2 ), on déduit :B 1 etB 2 ne sont pas indépendants. Remarque : ce résultat peut paraître surprenant. Il est dû à la composition différente entre boules blanches et

  N 0,7

   0,7

Second tirage

B

noires dans les deux urnes et qu'on ne sait pas, a priori, dans quelle urne seront effectués les tirages.

B

    0,3

B

N

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Exercice 6Notion d'indépendance - Utilisation d'un arbre.

1. On a :

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Arbre

A

p(B n+1 |B n )=0

p(C n+1 |B n )=  2 3

D'après le théorème des probabilités totales, on a :

p(A n+1 |B n )=  3 1

p(C n+1 |A n )=  3 2

1 1  p A n+  3 3   p ( (B n+ 1 1 ) )   =        1 0 3 2 0 3 2 2 0            p p p ( ( ( A B C n n ) ) )       p(C n+1 )  n 3 3

p(A n+1 |A n )=0

1 p(B n+1 |A n )=    3