Généralité sur les fonctions

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• Langue: Français

Extrait

b
b
b
b
g(x) diminue de la valeur 3 à la valeur−4,5
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d
n
e
c
s
>
e
d
>
e
b
r
u
o
c
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a
l
>
Chapitre 9
Généralités sur les fonctions :
Deuxième partie
Exercice : Activité 1 page 61
Lectures graphiques : Extremum et variations.
Exercice : Activité 3 page 62
Expérimentations à la main et avec géoplan :
Maximum et variations d’une fonction sans connaître l’expression.
I Variations d’une fonction
a) Par lecture graphique
6
35,5
C5 f 2
14
−2 −1 1 2 33 O
−1
2
−2
1
−3
−4 Cg
−3 −2 −1 1 2 3 4 −4,5O
−5
−1
x augmente de la valeur−2 à la valeur 3.x augmente de la valeur−3 à la valeur 4.
g strictement décroissante sur l’intervallef strictement croissante sur l’intervalle
I = [−2; 3].I = [−3; 4].
30
c
>
o
>
u
a
r
l
b
e
>
>
m
o
n
t
>
e
>
f(x) augmente de la valeur−1 à la valeur 5,5.I. VARIATIONS D’UNE FONCTION 31
Définition Lecture graphique des variations d’une fonction sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle borné, noté I.
◮ Si graphiquement on peut lire que :
Sur I, lorsque la variable x augmente, l’image f(x) augmente aussi.
alors on dira que la courbe monte sur I et que la fonction f est strictement croissante
sur I.
◮ Si graphiquement on peut lire que :
Sur I, lorsque la variable x augmente , l’image f(x) diminue.
alors on dira que la courbe descend sur I et que la fonction f est strictement décrois-
sante sur I.
Exemples :
On connait déjà les variations des fonctions affines et leurs courbes=droites dirigées vers le haut ou vers
la bas.
Vocabulaire
◮ Lorsqu’une fonction est strictement croissante ou strictement décroissante sur un intervalle I,
on dit qu’elle est strictement monotone sur l’intervalle I.
◮ Étudier la monotonie d’une fonction signifie étudier ses variations.
On résume les informations concernant les variations d’une fonction dans un tableau de variations.
Définition Tableau de variations d’une fonction
Pour nos deux exemples, cela donne :
x −3 4 x −2 3
5,5 3Variations Variations
de f de g
−1 −4,5
Exercice : Livre : 34 page 83
Avec un graphique.
Exercice : Livre : 36 page 84
Tableau vers courbe.
Exercice : Livre : 47 page 84
Avec un support géométrique.
Exercices : Livre : 44, 43 et 45 page 85
Variations et inégalités.
Exercice : Livre : 57 page 87
Une fonction non monotone et utilisation de la calculatrice.32 CHAPITRE 9. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS : DEUXIÈME PARTIE
b) Par le calcul
Définition Monotonie d’une fonction sur un intervalle.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
◮ f est croissante sur I si on a toujours sur I :
les antécédents et leurs images sont rangées dans le même ordre.
En langage mathématique cela s’écrit :
Pour tout a et b de I on a : a< b ⇒ f(a)6f(b)
◮ f est décroissante sur I si on a toujours sur I :
les antécédents et leurs images sont rangées dans le sens contraire.
En langage mathématique cela s’écrit :
Pour tout a et b de I on a : a< b ⇒ f(a)>f(b)
Remarque
◮ On définit de la même façon la stricte monotonie en changeant les symboles 6 et >
respectivement par < et >.
◮ Par le calcul, l’étude peut être faite sur un intervalle non borné!
Exemples :
1) f définie surR par f(x) = 2x−6 est strictement croissante.
2) f définie surR par f(x) =−3x+12 est strictement décroissante.
23) Monotonie ou sens de variation de f sur [1; +∞[ par f(x) = x −5?
Propriété Méthode pour l’étude des variations d’une fonction.
A partir de a et b dans I, avec a< b, on compare les images f(a) et f(b).
Pour cela, on calcule f(b)−f(a) et on étudie le signe de cette différence.
2 2Dans notre exemple : f(b)−f(a) =b −a = (b−a)(b+a).
◮ Comme a<b, on en déduit le signe de b−a : b−a> 0
◮ Comme a et b sont dans [1; +∞[, on en déduit le signe a+b : a+b> 0.
◮ Par produit, on en déduit le signe de (b−a)(b+a) : (b−a)(b+a) > 0.
Ce qui donne : Sur [1; +∞[, a<b ⇒ f(a)< f(b)
ou
Sur [1; +∞[, les antécédents et leurs images sont rangées dans le même ordre.
La fonction f est donc strictement croissante sur [1; +∞[.
Exercice : Livre : 58 page 87
.b
b
b
b
b
b
II. EXTREMUM D’UNE FONCTION 33
II Extremum d’une fonction
a) Par lecture graphique
M est le point le plus haut de Cf
M est le point le plus bas de CgM2
3
Max
C C1 2f g
1
−3 −2 −1 1 2 3 4 xxO 00
−2 −1 1 2 3O−1
−1
−2
−2
−3 −3
−4
Min
Max = ordonnée maximale sur Cf M
Min = ordonnée minimale sur Cg
f admet un maximum en x sur l’intervalle g admet un minimum en x sur l’intervalle0 0
I = [−3; 4] de valeur Max. I = [−2; 3] de valeur Min.
b) Par le calcul
Définition Extremum d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x ∈I.0
◮ f admet un maximum sur I en x si : pour tout x de I, f(x)6f(x ).0 0
Le maximum de f est alors la valeur image maximale de f sur I : Max = f(x ).0
◮ f admet un minimum sur I en x si : pour tout x de I, f(x)> f(x ) .0 0
Le minimum de f est alors la valeur image minimale de f sur I : Min =f(x ).0
Exemples :
2 3◮ Par lecture graphique : Calculatrice f(x) = 1+2x+x −x sur I = [−1; 1,5].
On trouve : Min : en x ≈−0,5 de valeur≈ 0,37 et Max : en x ≈ 1,2 de valeur≈ 3,1.0 1
2◮ Par le calcul : SurR, avec f(x) = x −2x−3. En x = 1,0
f admet un minimum de valeur Min =−4.
Exercice : Livre : 55 page 87
Par le calcul.
Exercice : Document 1
Un Problème d’optimisation : la boite variable
Exercices : Livre : 61, 65 page 89
Problèmes d’optimisation : Aire, recette.
Exercice : Livre : 75 page 146
Un Problème d’optimisation : optimisation d’un rectangle.