Le paradoxe de Zenon ou comment la notion d’infini vint aux Grecs

Annette Decomps

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Université en Ligne Mathématiques Annette Decomps Université Pierre et Marie Curie Séries à termes réels ou complexes Introduction 1. Définitions et théorèmes généraux 1.1. Définitions 1.2. Exemples 1.3. Condition nécessaire de convergence 1.4. Propriétés de linéarité 1.5. Critère de Cauchy pour les séries 1.6. Convergence absolue 2. Séries à termes positifs. Règles de convergence absolue 2.1. Critère de convergence 2.2. Théorème de comparaison 2.3. Comparaison à une série géométrique : règles de d’Alembert et de Cauchy 2.4. Séries de Riemann. Conséquences 3. Propriétés des séries absolument convergentes 3.1. Produit de deux séries absolument convergentes 3.2. Séries commutativement convergentes 4. Critères de semi-convergence 4.1. Théorème des séries alternées 4.2. Théorème d’Abel 5. Intégrales impropres et séries 5.1. Théorème général 5.2. Cas des fonctions positives 5.3. Cas des fonctions positives décroissantes 5.4. Séries de Bertrand 6. Calcul approché de la somme d’une série Université en Ligne. Mathématiques. Séries numériques 6.1. Cas de calculs exacts 6.2. Méthode générale 6.3. Séries satisfaisant aux hypothèses du théorème des séries alternées 6.4. Séries à convergence géométrique 6.5. Séries comparables à des intégrales impropres 2Université en Ligne. Mathématiques. Séries numériques Introduction : le paradoxe de Zénon ou comment la notion d’infini vint aux Grecs eDans la seconde moitié du V siècle avant J.C. ...

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Université en Ligne Mathématiques Annette Decomps Université Pierre et Marie Curie

       Séries à termes réels ou complexes   Introduction 1. Définitions et théorèmes généraux 1.1. Définitions 1.2. Exemples 1.3. Condition nécessaire de convergence 1.4. Propriétés de linéarité 1.5. Critère de Cauchy pour les séries 1.6. Convergence absolue 2. Séries à termes positifs. Règles de convergence absolue 2.1. Critère de convergence 2.2. Théorème de comparaison 2.3. Comparaison à une série géométrique : règles de d’Alembert et de Cauchy 2.4. Séries de Riemann. Conséquences 3. Propriétés des séries absolument convergentes 3.1. Produit de deux séries absolument convergentes 3.2. Séries commutativement convergentes 4. Critères de semi-convergence 4.1. Théorème des séries alternées 4.2. Théorème d’Abel 5. Intégrales impropres et séries 5.1. Théorème général 5.2. Cas des fonctions positives 5.3. Cas des fonctions positives décroissantes 5.4. Séries de Bertrand 6. Calcul approché de la somme d’une série

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6.1. Cas de calculs exacts

6.2. Méthode générale

6.3. Séries satisfaisant aux hypothèses du théorème des séries alternées

6.4. Séries à convergence géométrique

6.5. Séries comparables à des intégrales impropres

 

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Introduction : le paradoxe de Zénon ou comment la notion d’infini vint aux Grecs Dans la seconde moitié du V e siècle avant J.C. les Grecs commençaient à entrevoir les notions d’infini et de continu opposées à celles de fini et de discret moins abstraites. Le paradoxe du coureur de Zénon illustre leurs difficultés à formuler ces notions qui ne seront correctement définies qu’au… XIX e siècle. Un coureur part d’un point A pour arriver à un point B à une distance d de A . Avant d’arriver en B, il doit parcourir la distance d /2 et arriver en C 1 , milieu de AB ,   puis en C 2 milieu de C 1 B et ainsi de suite. Conclusion : le coureur n’arrivera jamais en B .   Figure 1 avec animation

  Que faisait Zénon mathématiquement parlant ? Il considérait la somme 3 2 1 + ⎝ ⎛    1 2 ⎠ ⎞    2 + ⎛ 1 2 ⎞  + ... + ⎝ ⎛     2 1 ⎠ ⎞     n , ⎝ ⎠ 1 1   1 − ⎞ i vaut qu 2 ⎝ ⎜ ⎜      1 − 2 1 2 n ⎠ ⎟ ⎟      = 1 − 2 1 n . Puis il prenait des valeurs de n de plus en plus grandes. Ainsi la somme comportait de plus en plus de termes, mais la valeur des termes ajoutés, quand n   augmentait, était de plus en plus petite. Le paradoxe tenait en ce que, comme ses contemporains, Zénon ne pouvait concevoir qu’une somme infinie de quantités de plus en plus petites puisse être égale à une grandeur finie. En fait, comme Monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir, Zénon considérait mentalement la série géométrique de raison 1/2, dont la somme vaut 1. L’expérience lui disait qu’elle vaut 1, mais il ne pouvait le concevoir.   On retrouve souvent dans la vie pratique cette série géométrique de raison 1/2, ainsi dans ce problème de gastronomie élémentaire bien connu. J’achète une tarte -   le premier jour je mange la moitié soit 1/2 tarte, -   le second jour je mange la moitié de ce qui reste soit (1/2).(1/2)=1/4 tarte, -   le troisième jour je mange la moitié de ce qui reste soit (1/2).(1/4)=1/8 tarte. Au bout de    tarte, soi nc mangé  1 + ⎛ ⎝     1 ⎞ ⎠     2 + ⎛ ⎝     1 2 ⎞ ⎠     3 + ... + ⎛ ⎝     1 2 ⎞ n   n jours j’ai do  2 2 ⎠ t

 

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Figure 2 avec animation

 ⎞ 1 1 − 1 2 ⎝ ⎜ ⎜       1 − 2 2 1 n ⎟ ⎟ ⎠       = 1 − 2 1 n  tarte.     Comme dit Woody Allen, l’éternité c’est long surtout à la fin, mais j’aurai alors mangé toute la tarte. Dans les deux cas, on a donné un sens à une somme d’un nombre infini de nombres : 1 ⎛ 1 ⎞ 2 + ⎛ ⎝     1 ⎞ ⎠   3 + ... + ⎛ ⎝     2 1 ⎞ ⎠     n + ... = 1. 2 + ⎝  2 ⎠ 2     Le problème général schématisé dans ces deux exemples est le suivant : peut-on donner un sens à une somme d’un nombre infini de termes ? C’est l’objet de ce chapitre dans lequel on considère des suites u n ) dont les termes sont des nombres, réels ou complexes, (suites numériques). Dans les chapitres suivants, nous considèrerons des éléments de certains espaces vectoriels, en particulier des espaces de fonctions. Dans tous les cas, on cherche à quelles conditions on peut donner un sens à +∞ n l’expression ∑ u n . On associe pour cela à la suite u n ) la suite s n ) définie par s n = ∑ u k ; on n = 0 k = 0 cherche alors des conditions, en général suffisantes, sur la suite u n ) pour que la suite ( s n ) soit convergente. Lorsque la suite ( s n ) est convergente, on peut se demander si les propriétés de commutativité et d’associativité des sommes finies s’étendent à des sommes comportant un nombre infini de termes. L’étude des séries joue un rôle fondamental en analyse : les séries réelles permettent de construire des nombres comme e qui ne sont ni rationnels ni même algébriques (un nombre algébrique est un nombre qui est racine d’une équation algébrique  ( ) = 0 ,  où P  est un polynôme à coefficients entiers) et d’en calculer des valeurs approchées. Les séries de fonctions conduisent à définir de nouvelles fonctions. Les séries entières et les séries de Fourier, en particulier, sont à la base d’une partie importante de l’analyse : l’analyse harmonique.     

 

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1. Définitions et théorèmes généraux 1.1. Définitions   Définition. Série convergente, série divergente. Soit u n )   une suite de nombres réels ou complexes, et, pour tout    n ∈ N , soit n s n = u 0 + u 1 + ... + u n = ∑ u k , k = 0 la somme des n +1 premiers   termes de cette suite.   Si la suite ( s n )  est convergente, on dit que la série de terme général u n  (ou série ∑ u n ) est convergente. La limite, notée s, de la suite  s n )  est la somme  de la série ∑ u n . On écrit +∞ alors :  s = ∑ u n . 0 Si la suite ( s n )  est divergente, on dit que la série de terme général u n  (ou série ∑ u n ) est divergente.   Il existe donc pour les séries numériques, deux sortes de séries divergentes : - les séries telles que la suite ( s n ) n’a pas de limite, - les séries telles que la suite ( s n ) tend vers +∞ ou − ∞ .   n Définition. Somme partielle d’ordre n . Le nombre   s n = u 0 + u 1 + ... + u n = ∑ u k  est appelé k = 0 somme partielle d’ordre n de la série ∑ u n . Remarques   a. Du point de vue purement logique la série de terme général   u n   s’identifie complètement avec la suite   ( s n ) et le mot série ne désigne pas une notion réellement nouvelle. La théorie des séries pourrait se ramener à celle des suites, mais du point de vue pratique, il est plus commode d’étudier la convergence de la série à partir de la donnée de u n . C’est pour une grande part l’objet de ce chapitre.   Réciproquement, si une suite   ( s n ) est donnée, on peut lui associer la série de terme général n u 0 = s 0 et ∀ n ≥ 1, u n = s n − s n − 1 . On a alors : ∀ n ≥ 0, s n = ∑ u k . k = 0 b. À propos des notations  

 

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Université en Ligne. Mathématiques. Séries numériques Si on considère une suite définie à partir d’un certain rang XX n 0 XX   u n ) n ≥ n 0 note alors la , on série ∑ u n   ou ∑ u n s’il n’y a pas d’ambiguïté. Un cas très fréquent est celui où la suite u n )   n ≥ n 0 est définie pour ≥ 1. C’est le cas des séries de Riemann ou séries de n  1 n  terme gé éral n s ( n ≥ 1, s ∈ R ) . +∞ Lorsqu’une telle série est convergente, on note ∑ u n  ou ∑ + n ∞ = n 0 u n  sa somme (le choix de n = n 0 l’une ou l’autre notation étant d’ordre typographique et non mathématique) c’est-à-dire la ⎛ n ⎞ limite de la suite ⎝ ⎜     ∑ u k ⎠ ⎟   quand n tend vers +∞ . k = n 0 +∞ De façon générale, on prendra bien soin de distinguer la série   ∑ u n de sa somme ∑ u n  ou n = 0 +∞ ∑ u n  qui est un nombre  réel ou complexe. Ainsi si on considère les suites ( u n )  et v n   n = n 0 définies respectivement par : ⎛ ⎞ n 1 = ∀ n ∈ N , u n ⎝ 2 ⎠ , v 0 = 2 et ∀ n ≥ 1, v n = 0 , +∞ +∞ on a ∑ u n = ∑ v n , mais ∑ u n ≠ ∑ v n . n = 0 n = 0   Définition. Reste d’ordre n. Si la série   ∑ u n  est convergente et de somme s, le nombre   n   défini par n = s − s n est appelé reste d’ordre n de la série   ∑ u n . Ainsi quand la série ∑ u n   est convergente, la suite r n )  tend vers 0. C’est la rapidité de la convergence de la suite ( r n ) vers 0 qui caractérise la rapidité de convergence de la série.   1.2. Exemples a . Étude de la série de terme général u n = ( − 1 ) n   On a, pour tout entier h : s 2 h = 1 et s 2 h + 1 = 0 . La suite s n ) n’a pas de limite et la série de terme général u n = ( − 1 ) n est divergente. b. Étude de la série de terme général u n = 1 ( n ≥ 1 )   n

 

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On a, pour tout entier n ≥ 1 : s n = 1 + 1 1 n n . + ... + ≥ = 2 n n Donc la suite ( s n ) tend vers +∞ et la série de terme général  1 ( n ≥ 1 ) est divergente. n c. Étude de la série   de terme général  1 n ! On a défini, dans le cours sur les suites, le nombre e comme la limite commune des deux suites adjacentes ( v n et ( w n définies, pour tout entier n ≥ 1 par : 1 1 1 v n = 1 + 1! + 2! + ... + !   et   w n = 1 + 1 1 ! + 2 1 ! + ... + n 1 ! + n . 1 n ! .  n En fait, on reconnaît dans la suite ( v n la suite (pour n ≥ 1)   des sommes partielles de la série de terme général  1 n ! .  La série ∑ n 1 !  est donc convergente et a pour somme le nombre e . d . Étude de la série géométrique On considère la série de terme général u n = x n ( x ∈ R ) . On a : s n = 1 + x + x 2 + ... + x n . Dans le cas où x = 1 , on a : ∀ n ≥ 0, s n = n + 1 . La suite s n ) tend vers +∞ et la série diverge. n + 1 1 Sino a : s n = x − n, pour ≠ 1, on − 1 . La suite  ( s n est convergente si et seulement si la suite ( x n ) est convergente. On distingue donc les cas x < 1 et x ≥ 1. - Si x vérifie x ≥ 1, la suite ( x n ) est divergente et la série ∑ x n l’est également. - Si  x  vérifie x < 1, la suite ( x n )  est convergente et a pour limite 0. La série géométrique ∑ x n  est convergente et a pour somme  1  1  . Le reste n  vérifie, pour tout entier n,    − n + 1 r n ≤ 1 x − et la convergence de la série est d’autant plus rapide que x est petit. Pour tout x appartenant à l’intervalle ] − 1,1, on a :  + = ∑ ∞ 0 x n = 1 − 1 x . n 1.3. Condition nécessaire de convergence Comme pour les suites, la nature d’une série (convergence ou divergence) ne dépend que du comportement du terme général u n  quand  n tend vers l’infini.   C’est ce que montre la proposition suivante.

 

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Université en Ligne. Mathématiques. Séries numériques Proposition. Soient ( u n ) et ( v n deux suites à termes réels ou complexes. S’il existe un rang N, tel qu’on ait pour tout entier n ≥ , u n = v n , alors les séries de terme général u n  et  v n   sont de même nature. Preuve n n On pose, pour tout entier n : s n = ∑ u k  et t n = ∑ v k . On a donc, pour tout   entier n ≥ , k = 0 k = 0 n N − 1 s n − t n = ∑ ( u k − v k ) = ∑ ( u k − v k ) . Cette différence étant constante à partir du rang N,  les k = 0 k = 0 deux suites ( s n et ( t n sont de même nature. Théorème. Pour que la série de terme général  u n soit convergente, il est nécessaire que lim u n = 0 . n → +∞ Mais cette condition n’est pas suffisante .

Preuve On a, pour tout entier n ≥ 1, u n = s n − s n − 1 . La convergence de la suite s n ) entraîne l’égalité li u n = 0. n →+∞ Corollaire. Si u n ne tend pas vers 0 la série de terme général u n est divergente. On retrouve ainsi le fait que la série de terme général ( − 1 ) n   est divergente. On voit aussi immédiatement que la série géométrique ∑ z n , pour ∈ C est divergente pour tout z vérifiant z ≥ 1 . Remarque Cette condition n’est pas suffisante comme le montre l’exemple de la série de terme général 1 ( n ≥ 1 ) . On a vu que cette série est divergente, or le terme général  1 ( n ≥ 1 ) tend vers 0. n n Exemple On considère la série de terme général u n = cos n . ∞ On montre, par l’absurde, que le terme général u n   ne tend pas vers 0 quand n tend vers + . On suppose que le terme général u n cos n   tend vers 0. On a donc, pour n  assez grand, cos n < 1 2  . On en déduit l’encadrement − 1 ≤ cos2 n = 2 cos 2 n − 1 < − 1 2  et donc l’inégalité cos 2 n > 2 1  . D’où la contradiction. Ainsi, quand n tend vers +∞ , le terme général u n = cos n   ne tend pas vers 0 et la série de terme général u n   est divergente.

 

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  1.4. Propriétés de linéarité La somme d’une série étant définie comme limite d’une suite, les théorèmes concernant les suites convergentes s’appliquent aux séries convergentes (cf. module Réels et suites et module Espace vectoriel). En particulier : Théorème. Soient ( u n )   et ( v n  deux suites à termes réels (resp. complexes) telles que les séries ∑ u n et ∑ v n   soient convergentes.   Alors la série ∑ u n + v n ) est convergente et : +∞ +∞ +∞ ∑ ( u n + v n ) = ∑ u n + ∑ v n .   n = 0 n = 0 n = 0 Soit ( u n ) une suite à termes réels (resp. complexes) telle que la série ∑ u n soit convergente. Alors, pour tout λ réel (resp. complexe), la série ∑ u n est convergente et : +∞ +∞ ∑ λ u n = λ ∑ u n . n = 0 n = 0 Ainsi, l’ensemble des suites ( u n )  réelles (resp. complexes), telles que la série ∑ u n  soit convergente, est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites réelles (resp. complexes) de limite nulle.    On en déduit en particulier la propriété suivante. Soit ( u n )   une suite réelle ; on pose, pour tout entier n , u n + max u n , 0  et u n − = max ( − u n ,0 .  On a : u n = u n + − u n − et u n = u + n + u n −  . Donc, d’après le théorème précédent, si les séries u n +  et u n −  sont convergentes, les séries ∑ u n et ∑ u n sont convergentes. On verra ultérieurement que, si la série ∑ u n  est convergente, alors les séries ∑ u n +  et ∑ u n −  sont convergentes, et donc la série ∑ u n   est également convergente. Pour les séries à termes complexes on a la proposition : Proposition. Une série de terme général u n appartenant à C est convergente si et seulement si les deux séries de terme général respectif Re ( u n ) et Im ( u n ) sont convergentes. Preuve La suite ( s n est convergente si et seulement si les deux suites ( Re ( s n ) ) et ( Im ( s n ) ) le sont. Cette proposition montre que l’étude d’une série à termes complexes se ramène à l’étude de deux séries à termes réels.  

 

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1.5. Critère de Cauchy pour les séries Pour une série à termes réels ou complexes, exprimer que la suite des sommes partielles satisfait à la condition de Cauchy constitue une condition nécessaire et suffisante de convergence. Critère de Cauchy pour les séries. Soit u n )   une suite de nombres réels ou complexes. Pour que la série de terme général u n  soit convergente il faut et il suffit que, pour tout ε   >   0 , il existe un rang N tel que les inégalités > m ≥ entraînent p u m + 1 + u m + 2 + ... + u p = ∑ u k < ε . k = m + 1 On écrit encore, en langage formalisé, p ∀ε∈ R + ∗ , ∃ N ∈ N , ∀ ( m , p ) ∈ N 2 , p > m ≥ N ⇒ ∑ u k < ε . k = m + 1 On peut retrouver la propriété, vue déjà dans le cours sur les suites, que la série harmonique ou série de terme général  1 ( n ≥ 1 ) est divergente. n On a en effet : n 2 n 1 s n = 1 + 2 1 + ... + n 1 = ∑ 1 k  et s 2 n -s n = ∑ ≥ 2 n n = 1 2 .  k = 1 k = n +1 k   Cet exemple illustre encore le fait qu’il n’est pas suffisant que le terme général tende vers 0 pour que la série soit convergente. Remarque Comme pour les suites, le critère de Cauchy est un outil, essentiellement théorique, très important. Sur le plan pratique, ce sont ses diverses conséquences qui sont le plus souvent utilisées.   1.6. Séries absolument convergentes La notion de convergence absolue est fondamentale car le théorème suivant est le principal outil pour l’étude des séries . Ce théorème va orienter l’étude des séries vers celle des séries à termes positifs. Définition. Soit ( u n )   une suite à termes réels (resp. complexes). On dit que la série de terme général u n est absolument convergente si la série de terme général  u n est convergente. Théorème. Une série à termes réels (resp. complexes) absolument convergente est convergente. 

 

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Preuve (Nous donnons ici une preuve qui utilise le critère de Cauchy. Nous donnerons, plus loin, une autre preuve qui est une conséquence du théorème de comparaison.) Soit ε    un réel strictement positif. La série ∑ u n est convergente. Elle satisfait donc à la condition de Cauchy, il existe un rang N tel que : p ∀ ( m , p ) ∈ N 2 , p > m ≥ N ⇒ ∑ u k < ε . k = m + 1 Soient m et p tels que > m ≥ . On a alors, en appliquant l’inégalité triangulaire :   p p ∑ u k ≤ ∑ u k < ε . k = m + 1 k = m + 1 On a donc montré la propriété suivante : p ∀ε> 0, ∃ N ∈ N , ∀ ( m , p ) ∈ N 2 ,   p > m ≥ N ⇒ ∑ u k < ε . k = m + 1 La série ∑ u n satisfait donc à la condition de Cauchy : elle est convergente. Remarque. La convergence absolue est une condition suffisante  de convergence. Nous verrons des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes.   2. Séries à termes positifs. Règles de convergence absolue L’intérêt de l’étude des séries à termes positifs, outre la simplicité du théorème fondamental lié à la croissance de la suite des sommes partielles, réside dans le fait qu’elle conduit à des règles de convergence absolue. 2.1. Théorème fondamental Théorème. Condition nécessaire et suffisante de convergence. Soit ( u n )  une suite de termes positifs ou nuls. La série ∑ u n  est convergente si et seulement si la suite ( s n )  des sommes partielles est majorée. +∞ La somme de la série  s = ∑ u n est alors égale à la borne supérieure de l’ensemble des réels n = 0 n s n ,   n ∈ N , et on a, pour tout entier n : ∑ u k ≤ s .   k = 0 Preuve La suite ( s n ) étant croissante, elle est convergente si et seulement si elle est majorée. Sa limite n est alors la borne supérieure de l’ensemble { s n , n ∈ N } et, pour tout entier n , ∑ u k ≤ s . k = 0

 

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