Logarithmes, cours, avancé

Marcel Délèze

Description

Log-Cours_avance.nb 12§ 3 Fonctions logarithmiquesEdition 2007-2008 / DELMŸ Liens hypertextesCours de niveau standard:http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/Logarithmes/Log-Cours_standard.pdfExercices correspondants (pour les niveaux standard et avancé):http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/Logarithmes/Log-Exercices.pdfSupports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère):http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.htmlŸ § 3.1 Notion de logarithmeŸ Fonction exponentielle de base a (rappel)xLa fonction de base a, notée x # a , peut se définir comme suit :1° à une suite arithmétique, on fait correspondre une suite géométrique de la manière suivantex … -3 -2 -1 0 1 2 3 …1 1 1 2 3y … 1 a a a …3 2 aa a2° pour obtenir des valeurs intermédiaires, on insère, dans l'ensemble de départ, des moyens arithmétiques (nombres rationnels)et, dans l'ensemble d'arrivée, les moyens géométriques correspondants.3° on prolonge continûment pour obtenir la fonction exponentiellexf : R ™ ]0; ¥ [ , x # a .Ÿ Fonction logarithmique de base a (définition)La fonction de base a, notée x # log HxL, peut se définir comme suit :a1° à une suite géométrique, on fait correspondre une suite arithmétique de la manière suivante1 1 1 2 3x … 1 a a a …3 2 aa ay … -3 -2 -1 0 1 2 3 …2° pour obtenir des valeurs intermédiaires, on insère, dans l'ensemble de départ, des moyens géométriques et, dans l'ensemble d'arrivée, les moyens arithmétiques correspondants ...

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Log-Cours_avance.nb

§ 3 Fonctions logarithmiques

 Liens hypertextes Cours de niveau standard: http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/Logarithmes/Log-Cours_standard.pdf Exercices correspondants (pour les niveaux standard et avancé): http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/Logarithmes/Log-Exercices.pdf Supports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère): http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/index.html

 § 3.1 Notion de logarithme

 Fonction exponentielle de base a (rappel) La fonction exponentielle de base a, notée x #   a x , peut se définir comme suit : 1° à une suite arithmétique, on fait correspondre une suite géométrique de la manière suivante

x ¼ -3 -2 -1 0 1 2 3 ¼ 1 1 1 ¼ y a 3 a 2 a 1 a a 2 a 3 ¼ 2° pour obtenir des valeurs intermédiaires, on insère, dans l'ensemble de départ, des moyens arithmétiques (nombres rationnels) et, dans l'ensemble d'arrivée, les moyens géométriques correspondants. 3° on prolonge continûment pour obtenir la fonction exponentielle f : R    ]0; ¥ [ , x #   a x   .

 Fonction logarithmique de base a (définition) La fonction logarithmique de base a , notée x # log a H x L , peut se définir comme suit : 1° à une suite géométrique, on fait correspondre une suite arithmétique de la manière suivante

x ¼ 1 1 1 1 a a 2 a 3 ¼ a 3 a 2 a y ¼ -3 -2 -1 0 1 2 3 ¼ 2° pour obtenir des valeurs intermédiaires, on insère, dans l'ensemble de départ, des moyens géométriques et, dans l'ensemble d'arrivée, les moyens arithmétiques correspondants (nombres rationnels). 3° on prolonge continûment pour obtenir la fonction logarithmique log a : ]0; ¥ [    R , x # log a H x L .

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Edition 2007-2008 / DELM

 lo( uol eanuter népériegarithmearoghmitL 1 1×2  +   ×5  + ×3×4   3  + ×1×23×4×1 1 2× 23459045742860537.2= ...  82818281  limite d'une sé eonbmere c moem   1  ++  1   ×2 1 1   1  +  eirifni e ein 1 =  tsl eée lisi stu plue la bas, la l rinetbo tuep n 8 O 712. > esebaa     e  cA          nombre  n) Le    tirasemhsel gol , nturpoeltumele 13nbe.ncva_arsou

x ¼ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 ¼ log H x L ¼ -3 -2 -1 0 1 2 3 ¼

 Logarithme décimal (ou logarithme vulgaire) Le logarithme de base 10, noté log , est appelé logarithme décimal (ou logarithme vulgaire): l og   H x L = log 10 H x L

Premières propriétés du logarithme log a   H 1 L = 0 l   1 og a H a L = log a   H a n L = n Nous verrons plus tard que cette dernière propriété est valable, non seulement pour tout n Î Z mais aussi pour tout n Î R .

1.0 0.5 - 0.5 2 4 6 8 10 12 Cette fonction est programmée sur votre calculatrice. Calculez log(0.1), log(1), log(10), log(100). Notez la propriété log I 10 n M = n Aujourd'hui, le logarithme décimal est encore utilisé pour quelques définitions traditionnelles, par exemple en chimie où il sert à définir le pH d'une solution. pH d'une   solution Le pH d'une solution est l'opposé du logarithme décimal de la concentration des ions + , cette concentration étant exprimée en mole de ions H + par mole de solution : pH = - log[ H + D où [ H + D = concentration molaire de H + . Dire qu'une solution est de pH 7 signifie  log[ + D = 7 - log[ H + D = -7 [ + D = 10 -7  c'est-à-dire qu'il y a 1 ion H + pour 10 millions de molécules de solution.

7749245735716226     .      3907..07                        L   goC-         

oL-goCru_savance.nb1

En mathématiques, le nombre e est un nombre aussi important que le nombre Π . Les raisons pour lesquelles on a choisi cette base seront expliquées plus tard (simplification dans le calcul de la dérivée des fonctions exponentielles). L'exponentielle naturelle ou exponentielle    d  e   b  a  s e    e L'exponentielle de base e est appelée exponentielle naturelle et est aussi notée exp : exp(x) = e x

20

15

10

5

-3 -2 -1 1 2 3 Cette fonction est programmée sur votre calculatrice. Calculez 1 e 1 , e 2 , e - . Le    l o  g  a  r i t h   m   e    n  a t  u r  e l     o  u  l  o  g  a  r i t  h  m   e    d  e   b  a s  e    e Le logarithme de base e est appelé logarithme naturel et est noté ln ln(x) = log e H x L

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3 2 1 2 4 6 8 10 12 -1 -2 -3 -4 Le logarithme naturel a été introduit par le mathématicien écossais John Napier en 1614. C'est pourquoi il est aussi nommé logarithme népérien. Cette fonction est programmée sur votre calculatrice. Calculez ln(2), ln(10).

 § 3.2 Fonctions réciproques (cas particulier)

 La propriété algébrique de réciprocité Dans ce paragraphe, nous souhaitons affirmer que le "logarithme de base a" est la fonction réciproque de la fonction "exponentielle de base a". Reprenons les tableaux donnés dans les définitions des fonctions exponentielle et logarithmique de base 10 :

x ¼ -3 -2 -1 0 1 2 3 ¼ f H x L = 10 x ¼ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 ¼

x ¼ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 ¼ g H x L = log H x L ¼ -3 -2 -1 0 1 2 3 ¼ Composons les deux fonctions. Par exemple, g   H f   H 3 LL = g   H 1000 L = 3 g   H f   H -2 LL = g   H 0.01 L = -2 f   H g   H 1000 LL = f   H 3 L = 1000 f   H g   H 0.01 LL = f   H -2 L = 0.01 Cette règle s'applique aussi aux valeurs intermédiaires : g   H f   H x LL = x   pour tout x Ε R f   H g   H x LL = x pour tout x Ε D   0; ¥ @ Dans une telle situation, on dit que les fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre et on note g = r f . Dans une autre notation, log   I 10 x M = x pour tout x Ε R 10 log   H x L = x   pour tout x Ε E   0; ¥ @                    

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ette règClabaeld ele tsv [ log 1; ¥ Ü ]; 1[ truop uoL x x=  a aH  bes lesuttos an0] Ε a      sesa ap rss e g  ap  eedourbla c et  10) ). 10;(1 B outxourt;¥@  ΕE 0 l a go xtRΕ = L px   a xH iqtrmééo quisPu ueérpretnIg noitat (10) = 1, la cou e(f)1= 1  0teg  larpoe t in1;A( ebrf edsap p es s_avCour.nb1ance

P 6

8

2

4

6

10 A

12

-2 Les points A H 1; 10 L  et H 10; 1 L  sont symétriques par rapport à la droite y = x . Plus généralement, à tout point P situé sur le graphe de f correspond le point Q situé sur le graphe de g tel que les points P, Q sont symétriques par rapport à la droite y = x . Cette propriété caractérise deux fonctions réciproques. Plus généralement, on peut dire que  * "le logarithme de base a" est la fonction réciproque de "l'exponentielle de base a" et  * "l'exponentielle de base a" est la fonction réciproque du "logarithme de base a".

B 10 12

y = x

 § 3.3 Fonctions réciproques (cas général) Nous voulons maintenant définir la notion de fonction réciproque en général. Comme étape intermédiaire, nous passerons par l'exemple selon lequel la fonction "racine carrée" est la fonction réciproque de la fonction "élever au carré".

4

-2 2

8

Q 6

-goL

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 Exemple 1 : une fonction non inversible Considérons la fonction f : R  R , x # x 2 . Il s'agit bien d'une fonction car à tout x Î R correspond un et un seul y = x 2 .

y 8 6 4 2 x -3 -2 -1 1 2 3

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9

Pour obtenir la relation réciproque, au lieu d'aller de x  vers y , inversons le sens y # x et, pour chaque y Î R , nous nous demandons quels x  lui correspondent tels que y = x 2 .

x 3 2 1 y 0 1 4 9 x 0 ± 1 ± 2 ± 3 y 2 4 6 8 -1 -2 -3

Dans cet exemple, la relation réciproque y # x n'est pas une fonction de R dans R car 4 a deux images distinctes -2 et 2; -1 n'a pas d'image. On dit que la fonction f  n'est pas inversible.  Exemple 2 : la fonction "racine carrée" Considérons maintenant la fonction g : @ 0; ¥ @  @ 0; ¥ @ , x # x 2 . Il s'agit bien d'une fonction car à tout nombre réel x Î @ 0; ¥ @ correspond un et un seul y Ε @ 0; ¥ @ tel que y = x 2 .

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y 8 6 4 2 0 x 1 2 3

La relation réciproque est

y 0 1 4 9 x 0 1 2 3

x 3 2 1

2

x 0 1 2 3 y 0 1 4 9

y 4 6 8

1

La relation réciproque est aussi une fonction car à tout y Î @ 0; ¥ @ correspond un et un seul x Ε @ 0; ¥ @ tel que y = x 2 . La fonction réciproque est la fonction "racine carrée" : y # x = y . Lorsqu'elle existe, la fonction réciproque de g est notée r g . Ici, g H x L = x 2 et r g   H y L = y . Interprétation graphique Le point (2, 4) appartient au graphe de la fonction g car g(2) = 4. Le point (4, 2) appartient au graphe de la fonction réciproque r g car r g (4) = 2. Ces deux points sont symétriques par rapport à la bissectrice du premier quadrant d'équation y x . =

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oL-gCours_

8 6

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H 2,4 L 4

2

H 4,2 L

y = x

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0 2 4 6 8 Plus généralement, si H x , y L Î G g alors H y , x L Î G H r g L ce qui fait de la droite y = x un axe de symétrie. Propriétés On a x 2 = x  pour tout x Î @ 0; ¥ @ ; 2 J y N = y pour tout y Î @ 0; ¥ @ . Plus généralement, en composant une fonction g avec sa réciproque r g , on obtient l'identité : r g   H g H x LL = x  et H r g   H y LL = y .  Fonction inversible, fonction réciproque (définitions) Soit f : A  B , x # y = f H x L une fonction. En particulier, il est avéré que, à tout x Î A correspond un et un seul y Î B tel que y = f H x L . On dit que la fonction f est bijective ou inversible si et seulement si à tout y Î B correspond un et un seul x Î A tel que y = f H x L . Dans ce cas, f possède une réciproque qui est notée r f :   r f : B  A, y # x = r f (y) Par définition, on a r   f   H y L = x  f   H x L = y On a les relations r f   H f H x LL = x  pour tout x Î A ; f H r f   H y LL = y  pour tout y Î B .  Exemple 3 : les fonctions logarithmiques Partons de la fonction exponentielle de base a f : R  D   0; ¥ @ , x # y = a x  où a = f H 1 L . Remarquez que l'ensemble d'arrivée de la fonction exponentielle a été restreint à l'ensemble des nombres positifs.

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8

6

a Ε D 1; ¥ @ 4

8

6

4 a Ε D 0;1 @

-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3

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Dans le graphique, la première fonction est f H x L = 2 x et la deuxième fonction est g H x L = 0.5 x . Observez que f  est strictement croissante et que g  est strictement décroissante. On peut voir sur les graphiques ci-dessus que la fonction exponentielle est bijective : à tout y Î D   0; ¥ @ correspond un et un seul x Î R tel que f H x L = y . La "fonction exponentielle de base a" est donc inversible et sa fonction réciproque est le "logarithme de base a" noté log a : log a : E   0; ¥ A  R , y # x = log a   H y L log a   H y L = x  a x = y A partir du graphique de la fonction exponentielle de base a, par symétrie, construisons le graphique de la fonction logarithmique de base a 8 6 4 2

8 6 4 2

-2 2 4 6 8 -2 -2 a Ε D 1; ¥ @ -2

On obtient ainsi les graphiques des fonctions logarithmiques :

a Ε D 0;1 @

2 4 6 8

Log-Cours_a

4

2

avcn.enb

4

2

0 0 2 4 6 8

-2 a Ε D 1; ¥ @

-4

Remarquez que le logarithme d'un nombre £ 0 n'est pas défini.

 § 3.4 Propriétés des logarithmes

-2

-4

a Ε D 0;1 @

2 4

 Propriété fondamentale du logarithme On a par exemple log 2 H 4 × 8 L = log 2 I 2 2 × 2 3 M = log 2 I 2 2 + 3 M = 2 + 3 = log 2 I 2 2 M + log 2 I 2 3 M = log 2 H 4 L + log 2 H 8 L . lo Cette propriété se laisse généraliser g a H x × y L = log a H x L + log a H y L .

 Propriétés des logarithmes  (voir Formulaires et tables  p. 14) 1° log a (1) = 0 = log a (a) 1 2° log ( a x ) = x a a log a H y L = y 3° log a H x × y L = log a H x L + log a H y L

4° log a I x 1 M = -log a H x L log a J x y N = log a H x L -log a H y L 5° log a H x n L = n × log a H x L

 § 3.5 [Démonstrations] Propriétés des logarithmes Démonstration de 1° et de 2° En notant f H x L = a x , r f   H y L = log a H y L , on a a 0 = 1   f(0) = 1    r f   H 1 L = 0  log a H 1 L = 0. a 1 = a     f(1) = a    r f   H a L = 1  log a H a L = 1. r f   H f H x LL = x    log a H a x L = x   

6

8

12

erid H f r se'c-à-t Ly+xHf y = x+ =aa yx ×=ayLfH ro piépr  téHx fHf  a=Lx    x al a En effet,  fHxL× y+=LHfLxf×yH.L   om y C L = Hy reaintme y=LLyHfH a gol a   ponen exlle ntie °3 aL d  e tcoif no f                        ×xLy      y×=Lf r H loL=Hxg a loL+Hyg a ol=LxH a g r +LxyH f

x × y

f H x + y L = f H x L × f H y L

x

y

x x + A l'addition sur l'axe des abscisses correspond la multiplication sur l'axe des ordonnées. Pour la fonction réciproque, après avoir effectué une symétrie autour de l'axe y = x, on doit avoir la propriété "à la multiplication sur l'axe des abscisses correspond l'addition sur l'axe des ordonnées"

r f H x L + r f H y L r f H y L r f H x L

f H y L

f H x L

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