ma201-cours-12

Description

Schémas numériques pour les équationshyperboliques non linéaires 1D.Patrick JolyINRIA-RocquencourtSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.1/20Approximation numérique.Le problème à résoudre s’écrit:8+Trouveru(x;t) : IR IR ! IR tel que:>><@u @+ f(u) = 0; x2 IR; t> 0;> @t @x>:u(x; 0) =u (x); x2 IR:0Schemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.2/20Approximation numérique.Le problème à résoudre s’écrit:8+Trouveru(x;t) : IR IR ! IR tel que:>><@u @+ f(u) = 0; x2 IR; t> 0;> @t @x>:u(x; 0) =u (x); x2 IR:0On se donne un pas de discrétisation en espace x> 0,un pas de discrétisation en temps t> 0 et on va calculer:n n nu u(x ;t ); x =jx; t =nt:j jjSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.2/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Schemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.3/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Cas particulier : schémas conservatifsSchemas´ numer´ iques pour les equations´ hyperboliques non lineaires´ 1D. – p.3/20Schémas à un pas en temps.Cadre général : Schémas à trois pas en espacen+1 n n nu =H(u ;u ;u )j j 1 j j+1Cas particulier : schémas conservatifsPrincipe de base : méthode des volumes finisZx1j+12u (t) = u(x ...

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• Publié par: Udda
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

hce ´ S ´ eumsnmapoesquriqe ´ selruhsnoitauuqseonlnpyreobils1D.–p.1in ´ eaire02/

INRIA-Rocquencourt

Patrick Joly

Schémas numériques pour les équations hyperboliques non linéaires 1D.

cS ´ he ´ selruosnoitauqm ´ nuasemspueiqeraeriil ´ n–..pseD1rbolhypesnonique02/2

x∈ IR  >, t0, x∈ IR .

Le problème à résoudre s'écrit:  Trouveru(x, t) : IR × IR + −→ IR tel que:   ∂u∂ f x∂ (u) = 0, ∂t +   u(x,0) =u 0 (x),

Approximation numérique.

´ sqeruelnohsauitum ´ emasnesporique ´ hcS/20

Approximation numérique.

Le problème à résoudre s'écrit:  Trouveru(x, t) : IR × IR + −→ IR tel que:   t∂ ∂u +f ∂ x∂ (u) = 0,   u(x,0) =u 0 (x),

On se donne unpasde discrétisation enespaceΔx >0, unpasde discrétisation entempsΔt >0et on va calculer:

u j n ∼u(x j , t n ), x j =jΔx, t n =nΔt.

x∈ IR , t >0,

x∈ IR .

e ´ nieria.D1s2.p–erypliboesqunlno

203/

Cadre général à trois pas en espace: Schémas

u j n+1 =H(u j n −1 ,u n j ,u j n +1 )

Schémas à un pas en temps.

1Desp..–cS ´ hun ´ mmesauesperiqes ´ eourlsnoitauqlobrepyhonsnueiqirean ´ li

3/20.–p.es1Deair

Cas particulier: schémasconservatifs

Schémas à un pas en temps.

u j n+1 =H(u n j−1 ,u j n ,u n j+1 )

Cadre général: Schémas à trois pas en espace

iqerm ´ nurlouspuesame ´ hcSiquerbollin ´ snonuqtasee ´ yhepoisn

Cadre général: Schémas à trois pas en espace

n u j n+1 =H(u j−1 ,u j n ,u n j+1 )

Cas particulier: schémasconservatifs

Principe de base : méthode desvolumes nis

u j (t) = h 1 Z x j 2 + 1 u(x, t)dx x j− 1 2

/3.p

Schémas à un pas en temps.

02seri–.D1lionean ´ iqolsnueepbrsnyhtaoie ´ uqrlesspouiquem ´ erunsame ´ hcS

res1D.–pnlin ´ eaiiluqseonhspyreob2/4.

On intégre l'équation entrex j− 2 1 etx j− 2 1 : d j (t  1 ) + h Z x j x − j 2 + 1 f ∂ ∂ (u)dx= 0 u dt 1 x 2

Schémas à un pas en temps.

0Shc ´ selruopnoitauqeumsnma ´ eesquri ´ e

cS ´ heriquespemasnum ´ snoitauqe ´ selruoonsnueiqolrbpehy–..pseD1aeriil ´ n

Schémas à un pas en temps.

On intégre l'équation entrex j− 1 2 etx j− 2 1 : d1 dt u j (t) + h Z x j x − j+ 1 2 1 2 ∂ ∂x f(u)dx= 0

ce qui donne: d d t u j (t 1 ) h h f  u(x j+ 2 1 , t)  −f(u  x j− 1 2 , t) i = 0 +

4/20

itnoqeauel ´ sopruesnoliquerboshyphcSesquri ´ eumsnma ´ e1serp–.Dnilniae ´

ce qui donne: d d u j (t) + h 1 h f  u(x j+ 2 1 , t)  −f(u  x j− 1 2 , t) i = 0 t Problème: Approcherf  u(x j+ 1 2 , t)  à partir desu ` (t)...

/2.4

Schémas à un pas en temps.

x 1 : On intégre l'équation entrex j− 1 2 et j 2 − d d t u j (t  1 ) + h Z x j x j 2 1 + 1 f x∂ ∂ (u)dx= 0 − 2

0

(u,v)→g(u,v) :uxnumériquedu schéma.

Schémas à un pas en temps.

1 Choix naturel:f(u(x j+ 2 , t))∼g(u j (t),u j+1 (t))

ce qui donne: d d t u j (t  1 ) + h h f  u(x j+ 1 2 , t)  −f(u  x j− 2 1 , t) i = 0 Problème: Approcherf  u(x j+ 1 2 , t)  à partir desu ` (t)...

On intégre l'équation entrex j− 1 2 etx j− 1 2 : h Z x j− 1 2 d d t u j (t  1 ) + x j+ 2 1 f ∂x ∂ (u)dx= 0

–p.4/20.D1seriae ´ nilnonesquliboerypshonauit ´ sqeruelseopriquum ´ emasnch ´ eS

Schémas à un pas en temps. Discrétisation en temps: schémaexplicite u n j +1 −u n j 1 Δx  (u j n ,u j n +1 )−g(u n j−1 ,u j n )  = 0. Δt +g Sch ´ emasnum ´ eriquespourles ´ equationshyperboliquesnonline ´ aires1D.–p.5/20