Maths Spe - Cours

Soul'N'Aïla

Description

- DIVISION DES ENTIERS - NOMBRE PREMIERS • Un nombre p est premier lorsqu’il ne possède que deux DIVISIBILITE DANS Z diviseurs : 1 et lui-même. C’est à dire que Dp = {1, p}. • b divise a lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb • L’ensemble des nombres premiers P est infini. On dit que a est multiple de b ; b est diviseur de a. Soit n un entier naturel : • Pour tout entier relatif (Z) a, b, c on a : - 1, a, -1 et –a qui divisent a • Tout n autre que 1 possède au moins un diviseur - a | b et b | a Û a = b ou a = -b premier. - a | b et b | c Þ a | c • Tout n, non premier et autre que 0 et 1, possède au • Combinaisons linéaires avec a, b, a et b ˛ Z : moins un diviseur premier p tel que p² £ n. - a a + b b est une combinaison linéaire de a et b - d | a et d | b Þ d | a a + b b • Tout n autre que 0 et 1 se décompose de façon unique a a a1 2 msous la forme n = p . p . … . p avec : 1 2 m• L’ ensemble des diviseurs d’un entier naturel (N) a se - p < p < … < p 1 2 mnote Da = {…, …, …} et on a : - p , p , …, p sont des nombres premiers 1 2 m- 1 ˛ Da et a ˛ Da - a , a , …, a sont des entiers naturels - a | b Þ Da Db 1 2 m- Da = Db Û a = b Dd D(a + b) a, b, d ˛ N DIVISION EUCLIDIENNE - d | a et d | b Þ Dd D | a - b | avec a, ß ˛ Z Dd D | a a + b b | Soit a ˛ N et b ˛ N*, il existe un couple unique (q, r) d’entiers naturels tel que a = bq + r avec 0 £ r < b. • L’ensemble des multiples d’un entier naturel (N) a se note Ma = { ...

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• Langue: Français

Extrait

 DIVISION DES ENTIERS DIVISIBILITE DANS Z · bdivise a lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb On dit que a est multiple de b ; b est diviseur de a. · Pourtout entier relatif (Z) a, b, c on a : a, 1 et –a qui divisent a 1, | b et b | a a Û a = b ou a = b  a| b et b | c Þ a | c ·linéaires avec a, b, Combinaisons a et bÎ Z :  a a + b b est une combinaison linéaire de a et b  d| a et d | b Þ d | a a + b b · L’ensemble des diviseurs d’un entier naturel (N) a se note Da = {…, …, …} et on a :  1 Î Da et a Î Da  a| b Þ Da Ì Db = Db Da Û a = b DdÌb)D(a + a, b,dÎN  d| a et d | b ÞDdÌ b |D | a avec a,ßÎZ DdÌD |aa+bb | ·des multiples d’un entier naturel (N) a se L’ensemble note Ma = { ka / k Î N } et on a :  0 Î Ma et a Î Ma | b a Û Mb Ì Ma  Ma= Mb Û a = b

NOMBRE PREMIERS ·nombre p est premier lorsqu’il ne possède que deux Un diviseurs :1 et luimême. C’est à dire que Dp = {1, p}. · L’ensembledes nombres premiers P est infini. Soit n un entier naturel : · Toutn autre que 1 possède au moins un diviseur premier. ·et 1, possède aun, non premier et autre que 0 Tout moins un diviseur premier p tel que p² £ n. ·n autre que 0 et 1 se décompose de façon unique Tout a aa 1 2m sous la formen = p 1 . p 2 . … . p m  avec:  p 1 < p 2 < … < p m  p, p, …, psont des nombres premiers 1 2m  a 1 , 2 , …, a m sont des entiers naturels a DIVISION EUCLIDIENNE Soit a Î N et b Î N*, il existe un couple unique (q, r) d’entiers naturels tel que a = bq + r avec 0 £ r < b. · b| a Þ a = bq et r = 0 · r ¹ 0 Þ bq < a < b(q+1) 1 7

 SYSTEMES DE NUMERATION  2 7 65 4 3 2 10 10110110 + 1*2+ 0*2= 1*2+ 0*2+ 1*2+ 1*2+ 0*2+ 1*2 2 10 10110110 = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182 · Pourconvertir un nombre du système décimal en une autre base, on fait plusieurs divisions euclidiennes successives jusqu'à ce que le quotient soit égale à 0.  CONGRUENCES  Soit deux entiers relatifs a, b et un entier naturel n ¹ 1. a est congru b modulo n lorsque a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. On note a º b [n]  a º b [n] Û n | (ab)  a º et bb [n] º c [n] Þ a º c [n] a + a'ºb + b'[n]  a º b [n]et a’ º b’ [n] Þ  aa'ºbb' [n]  a º b [n]et c Î Z Þ ac º bc [n] p p  a º et pb [n] Î N Þ a º b [n] a  a º et 0r [n] £ r < n Û r est le reste de n

 PGCD ET PPCM  ALGORITHME D’EUCLIDE Soit a et b deux entiers naturels non nuls avec a > b, et r le reste de la division euclidienne de a par b :  sia est multiple de b, alors r = 0 et l’ensemble des diviseurs communs de a et de b est égal à Db. r si ¹ 0, alors l’ensemble des diviseurs communs de a et de b est égal à l’ensemble des diviseurs communs de b et de r. a = b.q+ rr <b Da Ç Db = Db Ç Dr 1 11 1 b = r.q +r r< rDb Ç DrDr = Ç Dr 1 22 21 11 2 r =r .q+ rr <rDr Ç Dr =Dr Ç Dr 1 23 33 21 22 3 … … r =r .q+ rr <r Dr Ç DrDr = Ç Dr n-2n-1n nn n-1n-2n-1n-1n r =r .q+ 00 < rDr Ç Dr =Dr n-1n n+1n n-1n n Les divisions successives de a par b, b par r 1 , r 1 par r 2 , …, jusqu’au dernier reste non nul r n est appelé Algorithme d’Euclide. La suite (r n ) est strictement décroissante. ·des diviseurs communs de a et de b est L’ensemble égal à l’ensemble des diviseurs du dernier reste non Ç nul. On peut écrire l’égalité suivante : DaDb = Dr n  q 1  q 2  q 3  q 4 a qr 1  r 2  r 3 r rr = PGCD  r= 0 1 23 4 2 7

PGCD Soit a et b deux entiers naturels non nuls, on appelle PGCD (a, b) le nombre d vérifiant les propriétés :  d divise a et b un nombre d divise a et b, alors d si £d ·b divise a, alors PGCD (a, b) = b Si · Ilexiste deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d · L’ensembledes diviseurs communs de a et de b est égal à l’ensemble des diviseurs de leur PGCD. ·b, k a, Î N* Þ PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b) æ a b ö 1 · k| a et k | b Þ PGCD ç , ÷ = PGCD(a, b) è k k ø k ì kÎZ · PGCD(a, b) = PGCD (a + kb, b) avec í a + kb > 0 î NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX ·(a, b) = 1 PGCD Û a et b sont premiers entre eux a b · PGCD(a, b) = dÛ  etsont premiers entre eux d d Bézout : a et b sont premiers entre si et seulement s’il existe deux nombres relatifs u et v tels que au + bv = 1 Gauss : si a et b sont premiers entre eux et si a divise bc alors a divise c. Conséquence : si un nombre naturel est divisible par deux nombres premiers entre eux alors il est divisible par leur produit. PGCD (a, b) = d et PGCD (a, c) = 1 Þ PGCD (a, bc) = d

PPCM Soit a et b deux entiers naturels non nuls, on appelle PPCM (a, b) le nombre non nul m vérifiant les propriétés :  aet b divisent m  sia et b divisent un nombre m, alors m£ m · Sia divise b, alors PPCM (a, b) = b · L’ensembledes multiples communs de a et de b est égal à l’ensemble des multiples de leur PPCM. ·a, b, k Si Î N* Þ PPCM (ka, kb) = k PPCM (a, b) æ a b ö 1 · k| a et k | b Þ PPCM ç , ÷ = PPCM(a, b) è k k ø k · PGCD(a, b(a, b) * PPCM (a, b) = a * b Î N*) METHODES ·obtenir une fraction irréductible, on divise le Pour numérateur et le dénominateur par leur PGCD. ·calculer sur deux fractions, on choisit comme Pour dénominateur commun le PPCM de leur dénominateurs. a et b en facteurs premiers. Décomposer  LePGCD est le produit des facteurs premiers communs, chaque facteur premier commun étant affecté du plus petit des deux exposants.  LePPCM est le produit des tous les facteurs premiers, chaque facteur premier étant affecté du plus grand des deux exposants. 3 7

 ISOMETRIES DU PLAN  GENERALITES ·isométrie est une bijection du plan qui conserve les Une distances. · Lesisométries conservent le parallélisme, l’orthogonalité et les angles non orientés. ·composée de deux isométries est une isométrie. La La réciproque d’une isométrie est une isométrie. DEPLACEMENT ·déplacement est une isométrie qui conserve les Un angles orientés (ex : translation, rotation, identité). · Laréciproque d’un déplacement est un déplacement. ANTIDEPLACEMENT · Unantidéplacement est une isométrie qui transforme un angle orienté en son opposé (ex : réflexion). ·réciproque d’un antidéplacement est un La antidéplacement.

PROPRIETES · Touteisométrie est soit un déplacement soit un antidéplacement. · Uneisométrie fixant trois points non alignés est une identité du plan. · Uneisométrie distincte de l’identité du plan, fixant 2 points A et B est un réflexion d’axe (AB). ·isométrie ne fixant qu’un seul point O est une Une rotation de centre O.  COMPOSITION D’ISOMETRIES  COMPOSITION DE DEUX DEPLACEMENTS ·composée de 2 déplacements est un déplacement. La · Lacomposée de deux translations est une translation de vecteur la somme des vecteurs. ·composée d’une translation et d’une rotation est une La rotation de même angle. ·composé de deux rotations d’angle La s et s est : rotation d’angle une s+s si s+s¹0 2p  unetranslation si s+s=0 2p 4 7

COMPOSITION DE DEUX ANTIDEPLACEMENTS · Lacomposée de 2 antidéplacements est un déplacement. ·deux réflexions Soient s D et s D : 1 2  si D 1 et D 2 sont parallèles avec t D 1 =D 2 , u r alors s 2 s 1 est la translation de vecteur 2u r o  si D 1 et D 2 sont sécantes en O, alors s 2 s 1 est o la rotation de centre O et d’angle 2v 1 ,v 2 avec v 1 et v 2 des vecteurs directeurs de D 1 et D 2 ·translation est la composé, d’une infinité de Toute manières, de deux réflexions d’axes parallèles. · Touterotation de centre O est la composé, d’une infinité de manières, de deux réflexions d’axes sécants en O. COMPOSITION D’UN DEPLACEMENT ET D’UN ANTI · Lacomposé d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement. ·composé d’une translation de vecteur La u r et d’une réflexion d’axe D est : réflexion d’axe parallèle à D si une u r est normal à D composé d’une réflexion d’axe parrallèle à D et la d’une translation dont le vecteur est directeur de D si u r n’est pas normal a D

 ISOMETRIES ET PLAN COMPLEXE  ECRITURE COMPLEXE D’UN DEPLACEMENT L’écriture complexe d’un déplacement est de la forme : is z ¢= e z+b · s=0 2p La translation de vecteur d’affixe b: z=z+b · s¹0 2p b La rotation de centre W d’affixe =s z 0 is et d’angle: 1-e isisisis z ¢- z=e z-zÛz ¢= e z-e z+zÛz ¢= e z+b 0 00 0 ECRITURE COMPLEXE D’UN ANTIDEPLACEMENT L’écriture complexe d’un antidéplacement est de la forme: is z ¢= e z+b is · e b+b=0 La réflexion d’axe passant par le point d’affixe z 0 , et de s vecteur directeur d’affixe ayant pour argument 2p : 2 isisisis z ze zz 0 z ez e z 0 e z bz z ¢- = - Û ¢= -+ Û ¢= + 0 0 is · e b+b¹0 La composé d’une translation et d’une réflexion. 5 7

 HOMOTHETIES ET SIMILITUDES  HOMOTHETIE ·homothétie de centre O et de rapport k un nombre Une réel non nul est une transformation qui a tout point M du plan, associe le point image M’ tel que OM ¢= kOM . · Laréciproque de l’homothétie h de centre O et de 1 -1 rapport k est l’homothétie h O, . k SIMILITUDE DIRECTE FIXANT UN POINT O · Unesimilitude directe de centre O, de rapport k et d’angle s est la composée commutative d’une homothétie de centre O et de rapport k>0, et d’une rotation de centre 0 et d’angle s . ì OM'=kOM ï í ï (OM,OM')=s [ 2p ] î · La:similitude directe, comme l’homothétie, multiplie  lesdistances par k  lesaires par k² · Lasimilitude directe, comme l’homothétie, conserve:  lesangles orientés contacts les  lesbarycentres

· Laréciproque d’une similitude directe est une similitude directe de rapport l’inverse et d’angle l’opposé. AUTRES COMPOSITIONS ·composé d’une translation et d’une homothétie est La une homothétie de même rapport. ·composé de deux homothéties de rapport k et k’ est : La homothétie de rapport une kk si kk¹1  unetranslation si kk=1 · Lacomposé de deux similitudes directes de même centre est une similitude directe de rapport le produit des rapports et d’angle la somme des angles. sW,k,ssW,k,s=sW,k k,W +Wo 2 22 11 11 21 2 ECRITURE COMPLEXE ·de rapport k L’écriturecomplexe d’une homothétie ¹ 1 et b de centre le point d’affixeest de la forme: 1-k z=kz+b ·similitude directe de centre d’affixe La z 0 , de rapport k>0 et d’angle s : isisis z ¢- z=ke z-zÛz ¢= ke z-ke z+zÛz ¢= az+b 0 00 0 6 7

A mettre quelque part… ·:f, g et h trois applications quelconques Soit  h gf=h g f  (associativité) o oo o -1 -1-1  g f=g fo o

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