Mécanique statistiquex

Vaills

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Extrait

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ELEMENTS

DE PHYSIQUE STATISTIQUE

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Yann VAILLS

Physique statistique  Master Physique et Sciences Pour lIngénieur 2009-2010 Yann Vaills - E-mail :[e-mail] page web :http://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=vaills     

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Bibliographie : •   Eléments de physique statistique. Hasard, organisation, évolution. Sylvie Vauclair, 1993, InterEditions, Paris •   Physique statistique, B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, 1 ère édi- tion 1989, Hermann, Paris •   Physique statistique. Chaos et approches multiéchelles, P. Castiglione, M. Falcioni, A. Lesne, A. Vulpiani, 2008, Editions Belin, Paris •   Introduction à la mécanique statistique. E. Belorizky, W. Gorecki, 1992, Presses Universitaires de Grenoble •   Thermodynamique, fondements et applications,J.-P. Pérez, Masson, 2 ème édition, 1997, Paris. Mais aussi font toujours référence : •   Thermodynamique statistique, R. Castaing, Masson & Cie, 1970 •Eléments de thermodynamique statistique, A. Pacault, Masson & Cie,   1963 •   Mécanique statistique,A. Blanc-Lapierre, Masson & Cie, collection d uvrages de mathématiques à lusage des physiciens, 1967 o

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« Pour obtenir même une solution partielle lhomme de science doit ras- sembler les f ts chaotiques qui lui sont accessibles et les rendre cohérents ai  g les par la pensée créatrice et intelli ib Des techniques dinvestigation, des méthodes systématiques pour trou- ver et suivre les fils grand ro à ystères, que consti-conducteurs du man m  de la nature, t été développés. Quelques unes des énigmes tue le livre on de la nature ont été résolues, bien que beaucoup de solutions se soient  trouvées, à la lumière des recherches ultérieures, être provisoires et super- fic ielles. »

Albert Einstein

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 A.  I NTRODUCTION A LA MECANIQUE STATISTIQUE  5 page B.S YSTEME ISOLE   D ISTRIBUTION MICROCANONIQUE  page 14 C.S YSTEME EN CONTACT THERMIQUE AVEC UN THERMOSTAT   D ISTRIBUTION CANONIQUE  23 page D.S YSTEME EN CONTACT THERMIQUE AVEC RESERVOIR DE PARTICULES   D ISTRIBUTION GRAND CANONIQUE  page 37 E.  M ECANIQUE STATISTIQUE ET THERMODYNAMIQUE  page 46 F.  S TATISTIQUES QUANTIQUES  57 page G.S TATISTIQUES DE F ERMI -  D IRAC  68 page H.  S TATISTIQUES DE B OSE -  E INSTEIN  page 78 I.P HOTONS   P HONONS S TATISTIQUES DU R AYONNEMENT  84 page J.C OMPLEMENT : ELEMENTS DE THEORIE CINETIQUE DES GAZ  page 92  

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NTRODUCTIONALAMCENAIQEU

dimension énergie 1μ Joulem 1 1 Å 1 eV = 1,6 10 -19 J

A. I STATISTIQUE   I.   De la Physique microscopique à la physique macroscopique  PHYSIQUE macroscopique microscopique  Dans le traitement analytique des problèmes physiques en passant du microscopique au macroscopique le nombre de variables à traiter est multiplié par 6 N  = 6x6,02 10 23  (car il y a 6 variables par particule : 3 de position et 3 dimpulsion dans lespace à 3 dimensions).  En mécanique statistique une grandeur de lordre de N  est connue à  N 1/2   près  Exemple : N# 10 16  ⇒N mes = 10 16 ± 10 8 etΔN=N/01 8   II.   Eléments dhistoire de lentropie Le cas de la notion dentropie est exemplaire pour illustrer la dualité entre microscopique et macroscopique qui divise les théories physiques qui, nonobstant leurs approche apparemment contradictoires, sont destinées à décrire le même monde. Lentropie est tout dabord un concept introduit en thermodynamique pour quantifier lirréversibilité des transformations physiques, affir- mée par le deuxième principe. Puis, ce concept a émergé à nouveau, sous une forme différente, de létude de la transmission de linformation par les moyens de communication. De là est ressorti une définition plus générale de lentropie, largement utilisée non seulement en thermodynamique, mais aussi en physique sta- tistique, en mécanique quantique, en mathématiques, en sociologie, en traitement des images

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Dans le langage courant, « augmentation dentropie » est devenu syno- nyme de « diminution dinformation » ou « désorganisation », ce qui est  souvent justifié, mais parfois simplificateur.  1)   Définition de Clausius  Cest en 1842 que Julius Robert von Mayer découvre que la chaleur et le travail sont deux manifestations « interchangeables » dune même entité : lénergie (du grecεενγρζο, « qui produit du tra- vail »), elle-même conservée dans toutes les transformations. Dès 1824 Sadi Carnot dans ses travaux sur les machine thermiques, introduit la notion dirréversibilité de la transformation de travail en chaleur, quil traduit quantitativement par le calcul du rende- ment. Plus tard Clausius exprime lexistence de lirréversibilité en affirmant qu«un processus spontané dont le seul résultat final est le transfert net de chaleur dun corps de température donnée à un corps plus chaud est impossible ». Pour Kelvin « un processus spon- tané dont le seul résultat final est la transformation en travail dune certaine quantité de chaleur prise dune source de température uni- forme est impossible ». Dans un article écrit en 1850, Clausius démontre que le rap- port Q/T, où Qest la quantité de chaleur contenue dans un système fermé et T la température de ce dernier, ne peut que croître ou resterconstante.Ilappellecettenouvelleentitélentropie(dugrec εντροπη, « cause dévolution ») et il la définit comme une mesure de la quantité dénergie dun système quinepeut être convertie en tra- vail. Plus lentropie est élevée, moins lénergie est récupérable sous forme de travail. Il montre que « lentropie dun système isolé ne décroît jamais », ce qui est une autre formulation du deuxième prin- cipe de la thermodynamique.    

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2) Définition microscopique de Boltzmann  Boltzmann défini lentropie à partir du nombre de configurations mi- croscopiques (états des particules à léchelle microscopique) qui conduisent au même état macroscopique. Considérons un objet quelconque. On peut le caractériser par un certain nombre de grandeurs observables : sa température, son vo- lume, sa pression, sa densité. Or, il existe un très grand nombre de positions, de vitesses et dune manière générale, détats des parti- cules qui composent cet objet et qui donnent les mêmes valeurs des grandeurs observées. SoitΩce nombre. En considérant ladditivité de lentropie et la nécessité de retrouver à léchelle macroscopique lexpression de Clausius, Boltzmann en a déduit quon pouvait expri- mer lentropie statistique sous la forme :  =oL 1.A   3)   Définition statistique moderne 

Depuis Boltzmann la définition statistique de lentropie a évo- lué, par analogie avec la «théorie de linformation » due à Claude Shannon (1949). La définition de Shannon part de la notion dinformation. Il estime linformation i l   à un évènement correspondantlde pro-que babilité P l peut être évaluée par :  i l  k-LgoP= l  Pour comprendre lintuition qui a amené Shannon à imaginer cette loi en Log, considérons lexemple suivant. Soient deux évène- ments indépendantsl etl de probabilités respectives P l  et P l  Lévènement défini en terme de probabilité par«l et»l pour a  probabilité : P l et l  =P l xP l 

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linformation i l.l correspondant à un évènementl«etl» est : i l.l  =i l +i l  il fallait donc imaginer une loi qui soit additive en termes de quanti- té dinformation et multiplicative en termes de probabilités. Dès lors une relation logarithmique simposait entre information corres- pondant à un phénomène et sa probabilité.   i l.l  Pgo=L-k l te l   Lgo=k-P l xP l  PgoL(k-= l  PgLo l )  +  =i l +i l   On note quun évènement certain (P l =e-pl«:,ttc1eeamneex néeilyadelaneigeàQuébecenjanvier»)correspondàinforma- tion nulle (aucune information). Par contre un évènement très incer- tain (probabilité très faible) a un contenu dinformation fort (exemple:«cetteannéeilyadelaneigeàParisenjuilet»)n.iSlo considère que lévènementlne sest pas encore produit, alors la po- tentialité que le système que nous considérons apporte ultérieure- ment linformation correspondant à lévènementlest :   I l Pk-= l oLPg l   Si maintenant on considère tous les évènements possibles dans le système, on peut définir une quantité S qui représente la potentialité dinformation que le système aurait dapporter à lextérieur, si on pouvait distinguer chacun des évènements pos- sibles :   ∑ ࡿ ൌെ࢑ र ࡼ र ࡸ࢕ࢍࡼ र       A.2 

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Imaginons que lun des évènements se produis, il est alors certain, sa probabilité devient égale à 1, et sa contribution à Sdevient nulle. La potentialité du système dapporter de linformation ultérieure a diminué.  En physique statistique. Ce potentiel dinformation global con- tenu dans les évènements possible pouvant survenir dans un système est assimilé à lentropie. Plus le système contient une potentialité dévènements incertains (plus il est désordonné), plus son entropie est grande.

 III.   Rappels des notions de calcul de probabilités  Le passage des petits nombres aux grands amène à prendre en con- sidérations une telle quantité dévènements proches possibles que lon passe dune conception discrète à une conceptions continue de lévolution des évènements, des grandeurs et des probabilités corres- pondantes. Ainsi, dans le traitement de problèmes à grands nombre de parti- cules la mesure dune grandeur macroscopique A donne une valeur a qui peut varier continument à cette échelle. On introduit alors la pro- babilité de trouver la valeur aà daprès sous la forme suivante : 

dP(a)=w(a)da  A3.   w(a)  est appelée «densité de probabilité »  Lois de probabilité : ¾   pour des évènements qui sexcluent mutuellement on a  ∑ ܲ ௜ ൌ1   une distribution discrète pour  1ܽൌ ׬ ݓ ሻ ݀ ሺ ܽ  une distribution continue pour  ¾   Pour des évènements indépendants on a Physique statistique  Master Physique et Sciences Pour lIngénieur 2009-2010 Yann Vaills - E-mail :[e-mail] web : pagehttp://www.cemhti.cnrs-orleans.fr/?nom=vaills     

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ܲ ௜ ௘௧ ௝ ൌܲ ௜ ܲ ௝  Distribution statistique : Soit {p i } lensemble des probabilités affectées aux valeurs possibles dune grandeur A .Les  valeurs possibles de A seront notéesa i  etp i  les probabilités correspondantes. ¾   La valeur moyenne de A sera notée ܣҧ et calculée comme suit :   ܽ ܣҧ ൌ∑ ௜ ݌ ௜  (cas discret)  ou  ܽݓሺܽሻ݀ܽ ܣҧ ൌ׬  (cas continu) ¾   Lécart quadratique moyen est noté et calculé comme suit : ത ത ∆ܣ ଶ ҧ ܣ ሺ ൌ ଶ ܣҧ ଶ  où െ ܣሻ ଶ ൌܣെ  ∆ܣ ଶ ൌ∑ሺܽ ௜ ሻ െ ҧ ܣ ଶ ݌ ௜  (cas discret) ou∆ܣ ଶ ൌ ׬ ݓ ௔ ሺ ܽ ҧ ሻ െܣ ଶ ݀ܽ (cas continu) ¾   cette notion est pertinente quelque soit N ¾   Δ N 1 = /2  ¾   La distribution autour de la valeur moyenne prend lallure dune gaussienne Distribution binomiale : Cest le cas où seulement deux possibilités a et b existent, avec les probabilitésαetβtelles queα+β 1 = SoientNle nombre total dévènements  nle nombre dévènements de probabilitéα  Sur une série deN évènements, la probabilité davoirn a évènements (et doncNnévènements b) sécrit et vaut : ࡺ  ࡼ࡯ ሻ ൌ,࢔ ሺ ࡺ ࢔ ࡺ ࢻ ࢔ ࢼ ࡺି࢔ ൌ ! ሻ ࡺ ሺ ࢔ି !ࡺ !࢔ ࢻ ࢔ ࢼ ି࢔     A.4  ¾   La valeur moyenne den lorsque quon effectue (ou provoque ou observe) un grand nombre de séries deNévènements est :  ൌࡺࢻ࢔  .5A ഥ

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Ce qui se démontre comme suit :  ሺࢻ ൅ ࢼሻ ࡺ ൌ∑ ࢔ ࡯ ࢔ ࡺ ࢻ ࢔ ࢼ ࡺି࢔      A.6

߲ ሺ ߙ൅ߚ ሻ ே ି ത ߲ߙ ܰ ሺ ߙ൅ߚ ሻ ଵ ൌ෍݊ܥ ே ௡ ߙ ௡ିଵ ߚ ேି௡ ݊ ൌ ߙ  ൌ ே ௡ Or ߙߚ൅1ൌ  donc ൌߙ݊തܰ  ¾   La valeur la plus probable de n, que nous noteronsn pp , est celle qui rend),n(NPdoncN(n,)LgoPmaximum ത Montrons que ݊ ௣௣ ൌ݊  Nestgrand,donconapproximeraLog(N!)enutilisantlafor- mule de Stirling : ݋ܮ ሺ ݃ ሻ ؆ܰ!݋݃ܰܮെܰ ܰ  On a :   ݃݋ܮܰ ሺ ܲ ൌ ሻ ݊,൅ ሺ െെܰ ሻ ݊݋ܮ ሺ ݃െܰ ሻ ݊  ܰܮ݋݃ ܰെܰെ݊ܮ݋݃݊൅݊ ܰെ݊൅݊ܮ݋݃ߙ൅ ሺ ܰെ݊ ሻ ܮ݋݃ߚ  soit :  ݋݃ܮ   ሻ ݊൅݃ ሺ ܰെ݊ ሻ ܮ݋െ ሺ ܰെܮ݋݃݊ܰ ݊െܮܰ݃݋݊,ൌ ሻ ܲ ܰ ሺ ݊ܮ݋݃ߙ൅ ሺ ܰെ݊ ሻ ܮ݋݃ߚ  Doù :  ݊ െ డ௅௢௚ డ  ௉ ௡ ሺ ே,௡ ሻ ݋݃ ሻ ߙ െ൅ܮ݋1݃൅ߚܮെ1൅ܮ݋݃ ሺ ܰെൌ݋ܮ݊݃  Et : డ௅ ௢௚  డ ௉ ௡ ሺ ே,௡ ሻ ൌ0  pour݊݊ൌ ௣௣  tel que : ܮ݋݃ ܰെ݊ ௣௣ 1െߙ ൌܮ݋ ݊ ௣௣ ߙ ݃   Doù  ࢔ ࢖࢖ ൌࢻࡺ࢔ൌ ഥ  7.A 

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