Méthodes de splitting pour les problèmes multi échelles

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M´ethodes de splitting pour les probl`emes multi-´echellesB. Bid´egaray-FesquetCours de M2R — 2006–20071 Introduction«Splitting» : un terme anglo-saxon, quelle horreur! Oui, mais je vais l’utiliser tout de mˆeme.En franc¸ais, ce terme pourraˆıt ˆetre traduit par fission, fragmentation, division, fractionnement,s´eparation, d´ecomposition. Aucun de ces termes n’est vraiment satisfaisant.On demande souvent de traduire par «pas fractionnaires», ce qui de mon point de vue constitueun contresens, car les pas de temps sont souvent entiers, c’est l’op´erateur qui est fractionn´e.Onutiliseparfois«directionsaltern´ees»,cequiestuneapplicationparticuli`eredontnousparlerons,mais qui est loin de repr´esenter l’ensemble des applications de cette m´ethode.1.1 Une ´equation scalaire sans ´echellesConsid´erons l’´equation diff´erentielle ordinaire (EDO) scalaire suivante :0(EDO) x˙ = (a+b)x, x(0) =x ,ou` a et b sont des scalaires. On connaˆıt la solution exacte de cette ´equation :0 0x(t) = exp((a+b)t)x = exp(at)exp(bt)x (m´ethode 1)0= exp(bt)exp(at)x (m´ethode 2).Nous pouvons ainsi s´eparer l’´evolution selon l’´equation (EDO) en deux temps : 0 0 y˙ =by, y(0) =x , y˙ =ay, y(0) =x , (L1) (L2) x˙ =ax, x(0) =y(t), x˙ =bx, x(0) =y(t).Pour le syst`eme (L1), on a clairement0x(t) = exp(at)x(0) = exp(at)y(t) = exp(at)exp(bt)y(0) = exp(at)exp(bt)x .Le calcul pour (L2) se fait de la mˆeme mani`ere et donne le mˆeme r´esultat. On appelle splitting deLie les deux ...

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M´ethodesdesplittingpourlesproble`mesmulti-´echelles B.Bide´garay-Fesquet Cours de M2R — 2006–2007

1 Introduction «Splitting»q,eullheols-xanoui,maisjorreur!Oilittresiaveu’ls.metdouˆeemnu:gnaemret Enfran¸cais,cetermepourraˆıteˆtretraduitparfission,fragmentation,division,fractionnement, separation,d´ecomposition.Aucundecestermesn’estvraimentsatisfaisant. ´ On demande souvent de traduire par«pas fractionnaires», ce qui de mon point de vue constitue uncontresens,carlespasdetempssontsouvententiers,c’estl’op´erateurquiestfractionn´e. On utilise parfois«rectdilaetoisnsenre´»stiequcelippeaunapnoitac`ilucitr,eredontnousparleorsn, maisquiestloinderepre´senterl’ensembledesapplicationsdecettem´ethode. 1.1Unee´quationscalairesanse´chelles Conside´ronsl’e´quationdiff´erentielleordinaire(EDO)scalairesuivante: (EDO) ˙x= (a+b)x x(0) =x 0  ou`aetbnoanO.cnsaloıˆltdesssontirescalae´ettauq:noiioutxaneedctetec x(t) = exp((a+b)t)x 0 = exp(at) exp(bt)x 0 )1edohte´(m = exp(bt) exp(at)x 0 etm´()2ohed Nouspouvonsainsis´eparerl’e´volutionselonl’´equation(EDO)endeuxtemps: (L1) y˙ =by y(0) =x 0  y˙ =ay  ˙x=ax x(0) =y(t) (L2)  ˙x=bxx y ( 0 = ) )0 (= y x 0 (  t) Pourlesyst`eme(L1),onaclairement x(t) = exp(at)x(0) = exp(at)y(t) = exp(at) exp(bt)y(0) = exp(at) exp(bt)x 0  Lecalculpour(L2)sefaitdelamˆememani`ereetdonnelemeˆmer´esultat.Onappellesplitting de Lietselm´uxdeess(dehoetcsnoialaqe´eitauPo).unur)eL1L2t(edtnqieuedssnoituxm´ethore,cesde reviennentaumeˆmequedetraiterl’´equationenuneseulefois. 1.2Quandlesplittingpre´senteunint´erˆet Jusqu’`amaintenantlesplittingn’apasl’airdepre´senterunint´ereˆt.Enfaitl’exempledonn´eest`a peupr`esleseulpourlequellesplittingnechangepaslasolution.Nousallonsvoirl’inte´retetl’impact ˆ dusplittingdansdenombreuxcontextesth´eoriques –lessyste`mesdiff´erentielsline´aires:x (˙ =A+B)x, –lessyste`mesdiff´erentielslin´eairesavecdeuxe´chellesdiff´erentes:˙x= ( 1 ε A+B)x, –les´equationsauxde´rive´espartiellesnonline´aires:i∂ t u= Δu+f(u), etleurapproximationnume´rique. Nousallonsnousinte´resseruniquementa`desproble`mesacad´emiques.Lesplittingestne´anmoins utilise´dansdenombreuxcontextesapplicatifs.Nouspouvonsciternotamment:

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–lachimiecomplexe(traitementse´pare´desphe´nome`nesdere´actionchimique(e´quationsnon line´aires)etdediffusiondesesp`eces.Cesontdessyst`emesavecuntre`sgrandnombredevariables etdes´echellesdetempstre`sdiff´erentes. –lamet´eorologie,l’oce´anographie.L`aencorelamultiplicite´desph´enom`enesmisenjeu,donne ´ lieua`unemultiplicite´determesdenaturestr`esdiffe´rentes. –lad´ecompositiondedomaine.Celle-ciestutilis´eelorsqu’ilyacouplagedeph´enom`enessurdes domainesdiff´erents(adjacents)ouavecdesge´ome´triestre`sdiff´erentes.Danslazoned’interaction, ilyaredondancesdesvariablesetonpeutsouventse´parerl’op´erateurd’e´volutionenunope´rateur facilea`inte´greretunautrepetitenuncertainesens. ` –lesme´thodesd’ondelettes.Anouveau,lestermesdiagonauxdesop´erateurssontpr´epond´erants etfacilesa`int´egreretlestermesextra-diagonauxsontmoralementpetit,c’estd’ailleursl`atout l’inte´reˆtdelame´thode. – et bien d’autres . . . Deuxinte´reˆtsprincipauxdusplittingpeuventd’oresetd´ej`aˆetreidentifi´es: –lefaitdepouvoirre´soudreexactementounume´riquementchacunedessous-´equationsalorsque celaestimpossibleoudifficileavecl’e´quationentie`re, –lefaitdepouvoirtraiterse´pare´mentdesvariablesoudesope´rateurscorrespondant`adesechelles ´ tre`sdiff´rentes. e

Uninconve´nientapparaıˆtaussiimme´diatementcommel’impossibilit´edeconserverlespropri´ete´s finesli´eesa`lastructuredecertainese´quationsetmettantenœuvretoutel’´equation(quantit´es conserve´es).

Danstoutcecours,nousnousint´eressonsexclusivementauxsemi-discr´etisationsentemps.La discr´etisationenespacepeutfaireappela`n’importequelletechniqueadapt´ee(diff´erencesfinies, e´le´mentsfinis,volumesfinis,m´ethodesspectrales,...),et´eventuellementdiffe´rentespourchacune despartiesdel’´equation.C’estla`toutl’inte´rˆetdelachose.

2Semi-groupesd’e´volution 2.1Unere´´ecrituredessche´masdesplitting Pourexprimerlesplittingdansnotreexemplesimpliste,nousavons´et´eoblig´esd’introduireune variableinterme´diaireya’lsugae´erartiCecis’av.´es.liqucompsulpsetxetnocsedurpoueiqatpreuep ` Nousintroduisonsdoncunenotationdetypesemi-grouped’´evolution.L’applicationquia`x 0 associe x(tns)aplrfletodel’EDOestlesemiorg-depuve´’tulonqionouenousroteS(t´equurl’)poettnuotaoi entie`re: x(t) =S(t)x 0 = exp((a+b)t)x 0  Quandl’op´erateurestline´aire,ongardeaussisouventlanotationavecl’exponentielle.SionnoteA(t) etB(t,l)luti´evosocionasimg-seesse’dorpuelsdeq’´tiua,lonase´edxuapxueitr(L1)seedxupsilttnisg et(L2)consistent`a´ecrire (L1)x(t) =A(t)B(t)x 0 (L2)x(t) =B(t)A(t)x 0  Aveccettenotation,ond´efinitsanseffort(etsansintroductiondevariablessupple´mentaires)les splittings de Strang (S1)x(t) =A 2 ( t )B(t)A 2 ( t )x 0 (S2)x(t) =B( 2 t )A(t)B 2 ( t )x 0  ´ Evidemment,pournotrepremierexemplecesdeuxsplittingssonttoujours´equivalents`al’e´quation initiale.

Qu’entend-t-on parsemiuped-grolotu´’veoinurtera´e’Lpo?A(tiequ)infie´dtsedRdansRa les deuxproprie´te´ssuivantes:

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