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Harl Vincent

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REMERCIEMENTSJe tiens `a remercier mes co-directeurs de th`ese-Fran co¸ is LAUBIE qui a bien voulu me proposer un th`eme de recherche etil a accept´ededirigermath`ese avec les conseils qu’il m’a donn´e durant cesann´ees de travail,- A. Chazad MOVAHHEDI pour l’attention qu’il a port´e sur ce travail duranttoutes ces ann´ees, ainsi que la disponibilit´e dont il a su faire part malgr´eun emploi du temps charg´e, et pour les discussions enrichissantes que nousavons eues durant toute la dur´ee de ma th`ese qui m’ont apport´es ´enorm´ementd’aides pour la r´ealisation de ce travail.Je remercie ´egalement Victor ABRASHKIN et Francisco DIAZ Y DIAZ pouravoir accept´ed ’ˆetre rapporteurs.J’exprime ma reconnaissance `a Marie-jos´e BERTIN et Alain SALINIER pourleur aimable participation ac` ejury.Pierre BARRUCAND ´etait l’initiateur du probl`eme ´etudi´e dans cette th`ese.Qu’il soit remerci´e`a cette occasion.Je remercie Nadine Tch´efranoff pour avoir voulu assurer la frappe de math`ese ainsi que pour sa disponibilit´eetsasympathie.1Table des mati`eresIntroductionChapitre I. Symbole des restes quadratiques dans les corps des nombresSymbole de Jacobi g´en´eralis´eSymbole des restes quadratiquesChapitre II. Symboles des restes quadratiques et discriminants (Cas des in-dices de ramification impairs)G´ en´eralisation du th´eor`eme de Pellet, Stickelberger et Voronoi´Etudes localesGlobalisationChapitre III. Symboles des restes quadratiques et discriminants ...

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REMERCIEMENTS

Jetiens`aremerciermesco-directeursdeth`ese

-Fran¸coisLAUBIEquiabienvoulumeproposerunth`emederechercheet il a accept´e de diriger ma th`ese avec les conseils qu’il m’a donn´e durant ces ´ s de travail, annee

- A. Chazad MOVAHHEDI pour l’attention qu’il a port´e sur ce travail durant toutes ces annees, ainsi que la disponibilit´e dont il a su faire part malgr´e ´ un emploi du temps charg´e, et pour les discussions enrichissantes que nous avonseuesduranttouteladur´eedemathe`sequim’ontapport´ese´norme´ment d’aides pour la ´ lisation de ce travail. rea

Je remercie ´egalement Victor ABRASHKIN et Francisco DIAZ Y DIAZ pour avoiraccepte´d’eˆtrerapporteurs.

J’exprime ma reconnaissance `a Marie-jos´e BERTIN et Alain SALINIER pour leur aimable participation `a ce jury.

PierreBARRUCAND´etaitl’initiateurduprobl`eme´etudie´danscettethe`se. Qu’ilsoitremerci´ea`cetteoccasion.

Je remercie Nadine Tch´efranoff pour avoir voulu assurer la frappe de ma th`eseainsiquepoursadisponibilit´eetsasympathie.

1

Introduction

Table des mati`eres

Chapitre I. Symbole des restes quadratiques dans les corps des nombres SymboledeJacobig´ene´ralis´e Symbole des restes quadratiques

Chapitre II. Symboles des restes quadratiques et discriminants (Cas des in- dices de ramification impairs) G´en´eralisationduth´eore`medePellet,StickelbergeretVoronoi ´ Etudes locales Globalisation

Chapitre III. Symboles des restes quadratiques et discriminants (Cas des indices de ramification quelconques) Ge´n´eralisationdelaformulede[1]. ´ Etudes locales Le cas galoisien Formule de transitivit´e pour Quelques exemples de calcul de L/K (p)

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Chapitre IV. Applications

Loider´eciprocit´equadratique

Application aux corps

Annexes

Liste des symboles

R´ef´erences

ayant

un

nombre

3

de

classes

impair

Introduction

SoitLun corps de nombres de degr´ensur le corpsQdes nombres rationnels de discriminantD=D L/Q .Si l’entierDn’est pas un carr´e, on notedle discriminant du corps quadratiqueQ( √ D), sinon on posed= 1.Soitp un nombre premier non-ramifi´e dansLde sorte que le symbole des restes quadratiques  D p  ´hoeU.tndee´`rmesoi-nultnontellePiencaaj`A.`aˆund ([4, page 245]), L. Stickelberger et G. Voronoi montre que la parit´e du nombre ermine´eparcesymbole  p D  g’idead´sredmeeixurpLau-dessus depd´etest. En effet, nous avons :  D p  = (−1) n−g .

Plusge´n´eralement,mˆemesipsertmafiie´adsnL, on aimerait pouvoir relier le symbole  p d  `aecomlad´itnoopis(p) =P e 1 1 · · ·P g e g depen produit d’id´eaux premiersP i deL.

Supposons quepn’est pas sauvagement ramifi´e dansL.Sif i ´redegenglesi´ed r´siduel deP i dans l’extensionL/Q, alors la valuationp-adique du discrim-e g inantDodtserapee´nnv p (D) =  (e i −1)f i [14, Chap.3, prop.13]. Donc i=1 le symbole  p d  ntsen-nonoitificaeramcesdindilsseteuoseuqlu`de i sont impairs.Danscederniercas,g´ene´ralisantunes´erieder´esultats(Wahlin [16],Hasse[7],Bˆuhler[2],Dribin[5],Kientega[9],· · ·), P. Barrucand et F. Laubie ont ´etabli la formule suivante (´egalement valable dans le cas relatif) [1] :

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 p d  = (−1) F  E p  avecE= 2  f i e i etF= 2|  f i 1. Notre but est de donner une formule analogue sans aucune hypoth`ese sur laparit´edesindicesderamificatione i .Ce travail s’inscrit donc comme une suite logique de [1] et en est largement inspir´e.

SoientKun corps de nombres etLune extension finie deKde degr´en.Soit {b 1 ,· · ·, b n }une base duK-espace vectorielL.Le discriminantD=D L/K = det (T r L/K (b i b j eldnun-le´nutseontneme´))K:D∈K · .La classeδ=δ L/K deDmodulo les carr´esK ·2 duteoichelxdasabsednitepe´nadncontdesc’e, un invariant de l’extensionL/K´etelled;esnoixeetueenmrniueiquanqatdr (ou triviale)K( √ δ).

Soitpealpremiunid´reedK. On va s’int´eresser au symbole des restes quadratique  δ p  . Soitp=P e 1 1 · · ·P e g g d´eclaopmoitisednodi’lal´epen produit d’id´eaux premiers deux `a deux distinctsP i deL.On notef i ledegr´e r´esidueldeP i de sorte quen=e 1 f 1 +· · ·+e g f g .isngdne´peraOπune uniformisante du corps localK p .

Proposition 1On suppose que l’id´eal premierpdeKest non2-adique. Si  f i est un entier pair, alors le produit  st non-nul et est 2|e i 2|e i  P π i  e inde´pendantduchoixdel’uniformisanteπ.

Cette proposition sugg`ere

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De´finition2Pour tout id´eal premier non2-adiquepdu corps de nombres K, on pose  0si  f i est impair (p) = L/K (p) =   π 2|e i   2|  e i  P i  sinon ou`πeuqnocuduqetocleslrpaloc´dsegiformisanneuneuniK p . Si tous les e i sont impairs, on convient que(p) = 1. En particulier(p) = 1uesq`ed l’id´ealpremierpnssentnor-mafiie´adL.

Remarque 3Le symboleciroipecet´rpr´inteparlet´eilaca’pped´ritnopˆtueerte d’Artin de la mani`ere suivante. NotonsA’l´eidal  P i deL. Soit(A, L(π)/L) 2|e i l’´el´ementdugroupedeGaloisG(L( √ π)/L)ni.A’trlodeysbmlearipfin´ed Lorsque L/K (p)estntsilesymbolea`laeis1uestemeln-nol,nuesilegt´ d’Artin(A, L(π)/L)eVI.pahC,,enidl’st13e[t´ti§8]. Nous utiliserons fr´equemment cettecaracte´risationde L/K (p).

` Al’aidedespropri´ete´sfonctoriellesdusymboled’Artin,nouspouvons´etablir une formule de transitivit´e pour:

Proposition 4SoitK⊂M⊂Lune tour d’extensions de corps de nombres. Soitp premier de lun id´K que. Supposons L/K (p), M/K (p)ainsi que les ea  L/M (P)pourP |psont non-nuls, alors nous avons  L/K (p) = M/K (p) [L:M]   L/M (P). P |p 2e(P/p)

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Lethe´ore`mesuivantestler´esultatprincipaldecetteth`esequirelielesdeux symboles  δ L p /K  et L/K (p).

The´oreme5Soitpnuin´daeplerimreon2-adique du corps de nombresK. ` On suppose quepn’est pas sauvagement ramifi´e dansL.Alors les symboles  δ L p /K  et L/K (p)ilertnosformule´esparla  δ L p /K  = (−1) F+ q−2 1 G  q E   L/K (p) o`uqest la norme absolue depet les trois entiersE, FetGinps´dfierantso E=  e i , F=  1etG=  1. 2e i f i 2  | i i e f4 2 |  i e i f 2

Lad´emonstrationdeceth´eor`emesefaitessentiellemententrois´etapes: comple´tion,d´evissageetglobalisation.

Remarque 6(i) Lorsque tous les indices de ramificatione i sont impairs, alorsG= 0,  L/K (p) = 1d-anaBedcurrcnirlapieor`emepuveleth´otrnteore Laubie[1,Th´eore`me2].

(ii)Pourleside´auxpremiers2-adiquespqui ne sont pas sauvagement ram- ifi´esdansL, nous avons encore  δ L p /K  = (−1) F  E q  . Ne´anmoins,ilsont´et´eexclusdel’´enonce´duthe´ore`mepre´c´edentcarpour ceside´auxn’est pas d´efini.

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Supposons maintenant que l’extensionL/Kest galoisienne de groupe de GaloisG comme d’habitude,. Soit, e= l’indice de ramification depdansL/K, fl=desidueldeegr´er´epdansL/K, g= le nombre d’ ide´aux premiers deLau-dessus dep. Alors pour chaque uniformisanteπ∈p−p 2 , le symboleρ:=  π P  est ind´ependantduchoixdelaplacePau-dessus depde sorte que L/K (p) =ρ g est une puissanceg-`ime.e

Aveclesnotationsci-dessus,leth´eor`eme5montrefacilementquelavaleur du symbole  δ L p /K  paeertdesn´on

Corollaire 7Supposons queLest une extension galoisienne deK. Pour toutide´alpremierpdeKqui n’est pas sauvagement ramifi´e dansL, nous avons  0si2|eet2f g δ f g (−1) g si2eet2|f g  L p /K  =     ρ  g e q  is si2 2 |  e .n et2|

Dans la situation de ce dernier corollaire, le cas o`u 2|e, 2|fet 2gest le seulo`ulaconnaissancedesentierse, fetgne suffit pas pour d´eterminer la valeur de  δ L p /K  . Dans ce dernier cas, nous avons  δ L p /K  = L/K (p) =  P π  = 0.La valeur deρ=  π P  stale´ieerolstsura`alurctugeduproe

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ded´ecompositionD=D(P/p) de la placePdans l’extensionL/K. Plus ´is´ement,nousavons prec

Proposition 8SoitL/Kune extension galoisienne de corps de nombres. Soientpeinrno´ealpremunid2-adique deKetPdreieal´eempridunL au-dessus depudlee´is´rredegequelsonsuppo.SfdepdansL/Kest pair. Soitπune uniformisante deK p . Alors  π P  = 1si et seulement si le2- sous-groupe de Sylow du groupe de d´ecompositionD(P/p)n’est pas cyclique.

Nous verrons dans le chapitre III que dans une mˆeme extensionL/K, il est possible queprenne les trois valeurs -1, 0 et 1 en trois places ramifi´ees.

Commecons´equenceimme´diateducorollaire7,citonslapropositionsuivante quiest`arapprocherauth´eore`medePellet-Stickelberger-Voronoi.

Proposition 9SoitKun corps de nombres,Lune extension galoisienne deKetpedreimerplead´niuKqui n’est pas sauvagement ramifi´e dansL. Si  δ L p /K  = 1, alors le nombre d’id´eaux premiers deLau-dessus depest impair.

Iln’estpasdifficiledevoirquelar´eciproquedelapropositionpr´ec´edenteest inexacte : en effet, il suffit de prendreK=Q,L=Q( 2,3) etp= 3Z. Alorsp=P 2 dansLet nous avons  δ L p /K  = 1. 9