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66I. Ind´ependance (ne pas faire en cours)Formule des probabilit´es conditionnelles.Soit (B) une famille finie ou d´enombrable d’´ev´enementsi i∈I1. D´efinitions [disjoints de Ω telle que B =Ω et P(B)>0. Alorsi ii∈IXD´efinition.P(A)= P(A|B)P(B).i iSoit A et B deux ´ev´enements, avec P(B) > 0. Lai∈Iprobabilit´e conditionnelle de A sachant B estFormule surtout utilis´ee quand Ω est fini ou d´enombrable.P(A∩B)defP(A|B) = . Exemple. L’examenestunQCM.LecandidatalechoixentreP(B)n r´eponses. On suppose que s’il ne connaˆıt pas la r´eponse, ilr´epond au hasard.´ev´enement A : le candidat r´epond juste.Si X est une v.a., on peut consid´erer des ´ev´enement B : le candidat connaˆıt la r´eponse.On a B⊂A.´ev´enements de la forme {X ∈A}.Calculons la probabilit´e P(A) (ce qui est observ´e par le cor-recteur) en fonction de P(B).Exemple : on lance un d´e. X est le r´esultat obtenu,Y vaut 0 si le r´esultat est pair et 1 sinon.c cP(A) = P(A|B)P(B)+P(A|B )P(B )| {z } | {z }=1 =1/nP(X =6,Y =0) 11P(X =6|Y =0)= = = P(B)+ (1−B(B))P(Y =0) 3 n= P(B)(1−1/n)+1/nP(X =6|Y =1)=01Intuitivement, A et B sont ind´ependants si la Contre-exemple.Soit Ω={1,...,8} et P la probabilit´e uniforme.connaissance de B ne donne pas d’information surSoit A={1,2,3,4}, B ={4,5,6,7}, C ={2,4,6,8}.A, c’est-`a-dire P(A|B) = P(A). Ce qui ´equivaut `a1On a P(A)=P(B)=P(C)= .2P(A∩B)=P(A)P(B).1P(A∩B∩C)=P({4})= =P(A)P(B)P(C).81 1Mais P(A∩B)= =P(A)P(B)= .8 4Ex : si on lance un d´e et une ...

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Extrait

I.Ind´ependance 1.D´efinitions De´finition. SoitAetBc,avexued´ve´menestneP(B)>0. La probabilite´conditionnelledeAsachantBest P(A|B) d = ef P(A P(B ∩ ) B)  SiXse,onpeutctunev.a.edresisnore´d ´´enementsdlaforme{X∈A}. ev e Exemple:onlanceund´e.Xetbotatluse´reltes,nu Yle resultat est pair et 1 sinon.vaut 0 si ´ P(X= 6|Y= 0) = P(X P = (Y 6 = Y = )3 1=0) 0 P(X= 6|Y= 1) = 0

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Intuitivement,AetB´endtionsisalnastepdn connaissance deBne donne pas d’information sur Ast’ea--`,ciderP(A|B) =P(Auivaut`aCequi´eq.) P(A∩B) =P(A)P(B). Ex:sionld´eetunepi`ece,lese´v´enements ance un “obtenir6”et“obtenirface”sontinde´pendants. D´efinition.Soit (ΩF Ppscapeorabibil´see.nu) –Deux´ev´enementsA Bsont ditsniepd´daensntsi P(A∩B) =P(A)P(B). On noteA⊥B. – SiA i ∈ F,lellimafane´ve´’d(tsenemA i ) i∈I est diteeenepntdad´insi pour tout sous-ensemble fini {i 1      i n }deI, n P   n k \ =1 A i k   = Y P(A i k ) k=1

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(ne pas faire en cours) Formuledesprobabilit´esconditionnelles. Soit(B i ) i∈I omenabbriefind´oumafeellinunemenestel’de´´v disjoints deΩtelle que [ B i = ΩetP(B i )>0. Alors i∈I P(A) = X P(A|B i )P(B i ) i∈I Formulesurtoututilis´eequandΩ.leesuo´dfitinrbbanemo Exemple.L’examen est un QCM. Le candidat a le choix entre n,eliopsnppsueqoss’ueneilnnoctıˆalsape´ra´rpenoes.snO r´epondauhasard. ´eve´nementArtadidnacel:e.stjundpo´e ´ ´ evenementBsnop.el:cenaidˆıtlar´edatconna On aB⊂A. Calculonslaprobabilit´eP(A)r-´vresbotocelrapeesuieq(c recteur) en fonction deP(B). P(A) = | P( { A z |B) } P(B) + | P(A { | z B c ) } P(B c ) =1 =1 n =P(B (1 ) + 1 −B(B)) n =P(B)(1−1n) + 1n

Contre-exemple. SoitΩ ={1    8}etPbalirpboale´tifinuemro. = S O o n it a A P(A {1 ) 2 =  P 3 (  B) 4}, =P B ( = C {4 )  = 5 1 2 6 . 7},C={2468}. P(A∩B∩C) =P({4}) = 1 8 =P(A)P(B)P(C). MaisP(A∩B) = 1 6=P(A)P(B) = 1 4 . 8 Donc(A B C).tsannde´episdntnapenos Contre-exemple. SoitΩ ={1    4}etPlaprobabfiroem.litie´nu SoitA={12},B={13},C={14}. On aP(A) =P(B) =P(C) = 12. P(A∩B) =P({1}) = 14 =P(A)P(B)doncA⊥B. De mˆeme, A⊥CetB⊥C, autrement ditA B Cepenadn.stsont2`a2ind ´ P(A∩B∩C) =P({1}) = 146=P(A)P(B)P(C) doncA B Cnisaptnosennts.endad´ep

D´efinition. Soit (ΩF Pcapsenu)lis´eeteprobabiX i des v.a. d´efiniessurΩ`avaleursdans(EG). La famille de v.a. (X i ) i∈I estepenind´edantsi pour tousA i ∈ G, i∈Illmifala´eev’´ed,enemtn(sX i ∈A i ) i∈I est ind´ependante,c’est-a`-direpourtoutsous-ensemble fini{i 1      i n }deI n P  X i k ∈A i k 1≤k≤n  = Y P(X i k ∈A i k ) k=1 Remarque.LesX i etˆenreetivdoelrumeˆmfie´dssin espace Ω sinon l’expression de gauche n’a pas de sens. P ( X i k ∈A i k 1≤k≤n) =P ( {ω∈Ω;X i k (ω)∈A i k 1≤k≤n} )

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Pourmontrerl’inde´pendanced’unefamilleinfinie (X k ) k≥1 , il suffit de tester que pour toutn≥1 : n P ( X k ∈A k 1≤k≤n) = Y P(X k ∈A k ) k=1 pour tousA k ∈ G1≤k≤n.

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Pourmontrerl’inde´pendanced’unefamillefiniede v.a.X 1      X n , il est inutile de prendre un sous- ensemble d’indices, il suffit de tester que : n P ( X k ∈A k 1≤k≤n) = Y P(X k ∈A k ) k=1 pour tousA k ∈ G1≤k≤n. Remarque.etteC´eriopprst’eent´pourdespasvraie ´eve´nements.(voirlepremiercontre-exempledonne´ pr´ece´demment) Preuve . SoitJun sous-ensemble fini de{1     n}etA i =Esii6∈J. P(X i ∈A i  i∈J}=P(X i ∈A i 1≤i≤n) = Q 1≤i≤n P(X i ∈A i ) (ind´ependance).Or Q 1≤i≤n P(X i ∈A i ) = Q i∈J P(X i ∈A i )×1.✷

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SiX i nteueetsoncotenpte,edcrs`era.dinev.estu ´ regarderlesev´enementsdelaforme{X i =a i }, car tout´eve´nement{X i ∈A i }est une union disjointe detelse´ve´nements. Exemple .librequid´e´ceunOea´nn.lX= 0sttetaseluel´ris pair,X= 1si.nonY= 0ultipledltatestmeuse´relis3, Y= 1sinon. Pour montrer queX⊥Yil,disnerer´tffiusoced P(X= 0 Y= 0),P(X= 0 Y= 1),P(X= 1 Y= 0)et P(X= 1 Y= 1).

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De´finition. Une famille de sous-tribus (F i ) i∈I (avecF i ⊂ F) est ditedne´inaetepdnmene´ve´stneutefsitoled’amil (A i ∈ F i ) i∈I ,eepd´instendante. Proposition. ´ Lafamilled’e´v´enements(A i ) i∈I est independante si et seulement si la famille de sous-tribus (σ(A i )) i∈I estinde´pendante,ouσ(A) ={∅ A A c Ω}est la ` tribuengendr´eeparA. La famille de v.a. (X i ) i∈I nitseadnepe´dtieesnt seulement si la famille de tribus (X i −1 (G)) i∈I est inde´pendante.

Faisonsuneparenthe`sedanslechapitreind´ependance. 2. Formule de transfert SoitX: Ω→Eune v.a. etϕ:E→R n une fonction mesurableborn´ee. E(ϕ(X)) d = ef Z Ω ϕ(X(ω))dP(ω) formule de transfert (ou de transport): E(ϕ(X)) = Z R n ϕ(x)dP X (x) En particulier, siXutsel´lre.ae.v:een E(X) = Z R x dP X (x) et Var(X) = Z R x 2 dP X (x)− Z R x dP X (x)  2 

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Mesureproduit(de´finition/th´eor`eme). Soitµune mesure sur (ΩF) etνune mesure sur (Ω 0 F 0 ).F ⊗ F 0 est la tribu de Ω×Ω 0 ´reeeagpdnrne les ensemblesA×BavecA∈ F B∈ F 0 . Pour tousA∈ F B∈ F 0 niefid´on,t µ⊗ν(A×B) =µ(A)ν(B) Alorsµ⊗νs’´etenddefa¸resuunocuqinuneeemen sur (Ω×Ω 0  FF ⊗ 0 ). De plus, siµetνibilorabedpsostnsoralest´µ⊗ν est une probabilit´ e. Formulationdel’ind´ependanceentermedelois Soit (X i ) 1≤i≤n Ωrussein.a.vseL..a.vfie´dsed X 1      X n ndtionsdnnae´epeistetssmenteulesi la loi de la v.a.Y= (X 1      X n )t´esalegae` P X 1 ⊗P X 2 ⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗P X n . Si lesX i rslosaleel´e.rsontdesv.aYest une v.a. vectorielle`avaleursdansR n et la loi produit est une loi surR n . De´couledirectementdelad´efinitiondel’inde´pendanceetdes mesures produits. 7

Exemples de calcul. Loi continue. SiXsntiedednieuoctn´ea.v.netuesf(x), alors E(ϕ(X)) = Z R ϕ(x)f(x)dx ce qui explique la notationdP X =f(x)dx. Exemple : loi exponentielle. SoitXune v.a. de loiE(λ)est-,c’ire`a-ddP X l1= R + (x)λe −λx dx. E(X) = Z R xdP X (x) = Z +∞ xλe −λx d x 0 Inte´grationparparties u 0 =λe −λx  v=x(u=−e −λx  v 0 = 1) : E(X) =  −xe −λx  + 0 ∞ + Z 0 +∞ e −λx dx= 1λ M calcul “propre” : Z puisM→+∞. 0 Par un calcul similaire : V ar(X) =E(X 2 )−E(X) = 1λ 2