6Chapitre 1Vari´et´es de dimension 3 et 4,invariants classiques1.1 Vari´et´es `a bord, recollementOn rappelle qu’une vari´et´e topologique de dimension n est un espace topologiques´epar´e d´enombrable `a l’infini, dont tout point a un voisinage hom´eomorphe `a un ouvertn n n−1de R . En rempla¸cant R par le demi-espace ]−∞,0]×R on obtient la notion devari´et´e `a bord.Exercice 1.1.1. a) Montrer que la dimension est bien d´efinie : une vari´et´e de dimensionn n’est pas hom´eomorphe `a une vari´et´e de dimension m =n.b) D´efinir le bord d’une vari´et´e et montrer que c’est une vari´et´e de dimension n−1.Exercice 1.1.2. a)Montrerquetoutevari´et´ecompacteseplongedansunespaceeuclidienNR .∞ nb) Montrer plus g´en´eralement que toute vari´et´e se plonge dansR = lim R (pr´ecisern−→∞la topologie surR ).Une vari´et´e lisse est une vari´et´e munie d’un atlas maximal dont les changements de∞carte sont de classe C . Dans ce cours nous consid´ererons le plus souvent des vari´et´eslisses.Remarque 1.1.3. Lesvari´et´estopologiquesdedimensioninf´erieureou´egale`a3admettentune structure lisse unique `a diff´eomorphisme pr`es.Nous envisagerons ´egalement des vari´et´es avec structure PL (lin´eaires par morceaux);une structure PL est une classe d’´equivalence de triangulations, deux triangulations´etant ´equivalentes si et seulement si elles admettent une subdivision commune. Unestructure lisse d´efinit une structure PL repr´esent´ee par n’importe quelle triangulation1de ...
1.1Varie´t´es`abord,recollement Onrappellequ’unevarie´t´etopologiquededimensionnest un espace topologique s´epar´ede´nombrablea`l’infini,donttoutpointaunvoisinagehome´omorphea`unouvert n nn−1 deRE.ntcaa¸plemnrRpar le demiespace ]− ∞,0]×Ron obtient la notion de varie´t´e`abord. Exercice1.1.1.snemnoialeuqreroisnemidntMoa)ra´inuveedidtee´biennestnie:d´efi nherpun`am´homoeose’nsaptnsione´edidemvera´item6=n. b)D´efinirlebordd’unevari´ete´etmontrerquec’estunevarie´t´ededimensionn−1. Exercice1.1.2.´erivatepaomect´olpesetcusnadegnnespaceeuclidiennortaM)teuoreuq N R. ∞n b)Montrerplusge´n´eralementquetoutevarie´te´seplongedansR= limnRiserr´ec(p −→ ∞ la topologie surR). Unevarie´t´elisseestunevari´et´emunied’unatlasmaximaldontleschangementsde ∞ carte sont de classeCvunesuosavirdtse´erensidleplronsuocecsnaocsuonsrt´´ees.D lisses. Remarque1.1.3.ntteetdm3a`aleage´uoerueire´fnuqseedidemsnoiinri´et´estopologiLavse unestructurelisseunique`adiff´eomorphismepre`s. Nousenvisagerons´egalementdesvari´et´esavecstructurePL(lin´eairesparmorceaux); une structureP Lationgultriacedeugalirnauetxsnd,tuesclnesontiviuqnelaessae´’d e´tante´quivalentessietseulementsiellesadmettentunesubdivisioncommune.Une structurelissede´finitunestructurePLrepr´esente´eparn’importequelletriangulation 1 de classeCe´fnueirsneminoi].WhdiEn[tee´tuvera´ile`a6,toreou´egaP Ladmet une structurelisse,uniquea`diff´eomorphismepr`es. 1
Etantdonn´edeuxvari´ete´sa`bordM1etM2de dimensionn, etf:∂M2→∂M1 undiff´eomorphisme,onde´finitlerecollementM=M1∪fM2comme l’espace topolo gique quotient de l’union disjointeM1∐M2nceevaledr´engentaoiraleqeiudn´’rlparape x2∼f(x2) pour toutx2∈∂M2. Exercice1.1.4.quepourtoutevari´et´elissMe`naobrotrrdeM, il existe un collier : un plongement lissec:]−1,0]×∂M→Mtel quec(0, .) = Id∂M. Proposition 1.1.5.a) Le recollementM=M1∪fM2ougtisqeuede´ttepoloenavire´ dimensionn. b)Meledcdleteneseisi´quctruelurutemtsendaM1etM2iff´ee`adniqu,uemsihpromo pre`sdesupportunvoisinagearbitrairedulieuderecollement. c) SiM1etM2sontoirne´tee,steisfrenverse l’orientation, alorsM´ee,ientrotse Remarque1.1.6.te´dimrellocsreituuclireunnetressiseruelsspe´rcerecolnUeredpeia lementM. Onpeutfairecetteconstructiondanslecasou`f:A→M1est un plongement d’une sousvari´et´e`abordA⊂∂M2. Exercice1.1.7.ocereleuptnemellrqrentMor´ec´edentedt´orubd’dnuseuosavire´lelong admet une structure lisse. D´efinition1.1.8.´eeti´arevnu’d)essil(etnaieambtopieisoa)UnNest une application (lisse) h: [0,1]×N→N (t, x)7→h(t, x) =ht(x) telle que :h0=IdN. b) Deux plongementsf, g:A→Nsont isotopes si et seulement s’il existe un isotopie htelle que :g=h1◦f. Exercice1.1.9.Montrer que sif, g:A→∂M1sont des plongements isotopes, alors les vari´ete´srecoll´eesM=M1∪fM2etM=M1∪gM2e´moromoshtnoesph.
1.2.2 Recollementde tores plein Ç å r q PourA=∈SL2(Z:)o,dne´nfiti s p 1 11 21 12 1 fA:−(S×S) =∂(S×D)→S×S=∂(D×S) q p ′r′s′ (z, z)7→(z, zz z) 2 11 2 MA=D×S∪fAS×D . Lesvarie´te´sMAndioesecrauproblt´eressesaiscfitae`emedlcirotnoss.eet´enins’vaOn vari´et´es,qu’onappellera3varie´t´esdegenre1,a`diffe´omorphisme(resp.diffe´omorphisme oriente´)pr`es. Exercice1.2.1.1. Calculerle groupe fondamental et l’homologie deMA. Ç åÇ å ′ r qr q ′ 2.De´montrerqueA= etAentdnissri´eesva=´dfieest´MAet ′ s ps p MAffid)moe´evittnem(sipoorphes. ′ 3 21 3.Montrerquetoutevarie´t´edegenre1quin’estpasdiffe´omorphe`aSouS×S Ç å r q est(positivement)diff´eomorphea`unevari´et´eMAavecA0= ,< q < p. s p On noteraL(p, qire´´t(eseapecelnticulaire).vateet)c