Simulation and estimation of operator scaling stable random fields [Elektronische Ressource] / Tobias Kegel

Tobias Kegel

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• Publié par: universitat_siegen
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 10 Mo

Extrait

Simulation and Estimation of
Operator scaling stable
random Fields
Dissertation
zur Erlangung des Grades eines Doktors
der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
vorgelegt von
Dipl.{Math. Tobias Kegel
Eingereicht bei der Naturwissenschaftlich-Technischen Fakult at
der Universit at Siegen
Siegen 2011GUTACHTER:
Prof. Dr. Hans-Peter Sche er, Universit at Siegen
Prof. Dr. Peter Kern, Heinrich-Heine-Universit at Duss eldorf
TAG DER MUNDLICHEN PRUFUNG: 14. Oktober 2011Kurzzusammenfassung
Operator-skalierende stabile Zufallsfelder (engl. Operator-scaling stable random elds ,
kurz: OSSRFs) sind stochastische Modelle, die aumlicr he Abh angigkeiten beschreiben
k onnen. Dabei sind Abh angigkeiten unterschiedlicher St arke und in verschiedenen, nicht
notwendigerweise zueinander senkrechten, Richtungen zugelassen. Die resultierenden
anisotropen Felder werden z.B. zur Beschreibung por oser Medien in der Hydrologie oder
fraktaler Ober achen in der Physik verwendet. In [1] pasenr tierten H. Bierme, M. M.
Meerschaert und H.-P. Sche er Modelle fur operator-skalierende stabile Zufallsfelder in
harmonizable und in moving-average Darstellungen, und zeigten einige wichtige Eigen-
schaften dieser Felder.
Um diese OSSRFs in praktischen Anwendungen einsetzen zu k onnen, werden Methoden
fur die numerische Simulation und fur die statistische Analyse (z.B. Parametersch atzung)
solcher Felder ben otigt. In der vorliegenden Arbeit werden numerische Approximatio-
nen von OSSRFs pr asentiert und ihre Abweichungen von den ursprunglic hen Feldern
untersucht. Algorithmen fur die Berechnung dieser Approximationen wurden ebenfalls
entwickelt und in dieser Arbeit vorgestellt. Fur die in der Praxis relevanten F alle von
zwei- und drei-dimensionalen Feldern wurden diese Algorithmen in den Programmier-
sprachen Matlab und Java implementiert. Schliesslich stellen wir auch eine Methode fur
die Sch atzung mehrerer Parameter eines harmonizable OSSRF sowie ihre Implemen-
tierung in Matlab vor.
IIIIVAbstract
Operator-scaling stable random elds are stochastic models which can describe spacial
dependencies. Thereby dependencies of di erent intensities and in di erent, not neces-
sarily orthogonal, directions are allowed, resulting in anisotropic elds which are used,
e.g. in hydrology to represent porous media, or to describe fractal surfaces in physics.
In [1], Bierme, Meerschaert and Sche er presented models for operator-scaling stable
random elds in harmonizable and in moving average representation, and showed some
important properties of these elds.
In order to use these elds for practical application, procedures for their numeric simula-
tion are needed, and also methods for the statistical analysis (e.g. parameter estimation)
of observed realizations of OSSRFs. The present thesis presents numeric approximations
of OSSRFs and examines their deviation from the original OSSRFs. Algorithms for the
calculation of these approximations have been also developed and are described in the
thesis. For the cases of two- and three-dimensional elds, which are relevant for practi-
cal applications, these algorithms for the simulation of OSSRFs have been implemented
in the programming languages Matlab and Java. Finally, we present also a method for
the estimation of several parameters of a two-dimensional harmonizable OSSRF, and its
implementation in Matlab.
VVIContents
Kurzzusammenfassung III
Abstract V
1 Introduction 1
2 De nition of OSSRFs 5
3 Approximation of OSSRFs in harmonizable representation 9
3.1 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2ion error due to the truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Approximation error due to the discretisation . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Approximation error if is a -norm . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Appro error for general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Approximation of OSSRFs in moving average representation 59
4.1 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2ion error due to the truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Approximation error due to the discretisation . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Approximation algorithms 71
5.1 Simulation of stable random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1 Simulation of an isotropic complex-valued stable random variable 71
5.1.2 Sim of a real-valued symmetric stable random variable . . 73
5.2 Approximation of two-dimensional OSSRF in harmonizable distribution . 73
5.3ion of d-dimensional in distribution . . 75
5.4 Approximation of twl OSSRF in moving average distribution 76
5.5ion of d in moving average representation 78
5.6 The fast Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.7 The fast convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Implementations of the approximation algorithms 87
6.1 Implementations in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.1 Simulation of two-dimensional OSSRFs in Matlab . . . . . . . . . 87
VIIContents
6.1.2 Simulation of three-dimensional OSSRF in Matlab . . . . . . . . . 96
6.2 Implementations in Java . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.1 Simulation of two-dimensional OSSRF in Java . . . . . . . . . . . 105
6.2.2 Sim of OSSRF in Java . . . . . . . . . . 110
7 Parameter estimation in the harmonizable case 113
7.1 Derivation of an estimation algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 Implementation in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3 Numerical study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A Manual of the Java program \OSSRFSIM" 129
A.1 Program start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2 2-dimensional OSSRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A.2.1 The main menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2.2 The File menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2.3 The Save Image menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.2.4 The parameter dialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.2.5 Progress display . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.2.6 Mouse and keyboard commands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.3 3-dimensional OSSRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.3.1 The parameter dialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.3.2 The display parameter dialog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.3.3 The main menu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.3.4 Mouse and keyboard commands in the main window . . . . . . . 140
A.3.5 Progress display . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.4 The option.txt le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B Contents of the attached CD 145
List of symbols and abbreviations XIII
Bibliography XV
VIIIList of Figures
6.1 Examples of 2-dim. harmonizable OSSRFs, simulated with Matlab. . . . 94
6.2 of moving-average simulated with . . 95
6.3 Dialog windows for the input of parameters in Matlab. . . . . . . . . . . 102
6.4 Visualizations (types (a) and (b)) of a 3-dim. harmonizable OSSRF. . . . 103
6.5 (type (c)) of a 3-dim. harmonizable OSSRF. . . . . . . . . 104
6.6 (type (d), i.e. anaglyph) of a 3-dim. harmonizable OSSRF. 104
6.7 Examples of harmo. 2-dim. OSSRFs, simulated with OSSRFSIM (Java). 108
6.8 Example of an mov.-av. 2-dim. OSSRF, simulated with OSSRFSIM (Java).109
6.9 Examples of 2-dim. OSSRFs, simulated with OSSRFSIM (Java). . . . . . 109
306.10 A 3-dim. non-gaussian harmonizable OSSRF with 2 simulated values. . 112
7.1 Boxplots of deviations of estimated parameter values. . . . . . . . . . . . 124
7.2 Bo of of values (for large elds). . . 125
7.3 The mean absolute deviation in dependency of the parameter M. . . . . . 127
7.4 The mean squared error in dependency of the parameter M. . . . . . . . 127
A.1 The start screen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.2 The Program window with a simulated 2-dimensional OSSRF. . . . . . . 130
A.3 The le chooser dialog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.4 The parameter dialog for the simulation of two-dimensional OSSRFs. . . 132
A.5 Changing the color map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.6 Display of progress during the simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.8 The display parameter dialog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.7 The Parameter dialog for the simulation of three-dimensional OSSRFs. . 141
A.9 Main menu and status bar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
IXList of Figures
X