Points extémaux d'un graphe de rectangles

Description

´Points extemaux d’un graphe de
rectangles
par Franc ¸ois Xavier Vialard
´Ecole normale superieur´ e, Paris
´ ´RESUME. Demonstr´ ation combinatoire d’une propriet´ e´ d’integr´ alite´ relative aux partitions d’un rec
tangle en rectangles.
´MOTS CLES : Graphe de rectangles, noeud, multiplicite,´ sommet,partition, entier, action de groupe.
On presente´ dans cet article une demonstration´ combinatoitre de la proposition 1. Dans toute
´ ´la suite, tous les rectangles consideres ont une aire strictement positive.
Proposition 1 Soit un rectangle R et une partition de ce rectangle en un nombre fini de
rectangles. Si on suppose que chaque rectangle de la partition a au moins un cotˆ e´ entier,
alors le rectangle initial R a au moins un cotˆ e´ entier.
Une preuve analytique de ce resultat´ est bien connue : il suffit de trouver une propriet´ e´ ad
ditive caracterisant´ le fait pour un rectangle d’avoir un cotˆ e´ entier . Par exemple l’integrale´
de la fonction(x;y)!sin(2…x)sin(2…y) sur un rectangle quelconque est nulle si et seule
ment si un cotˆ e´ du rectangle est entier. Ainsi, si cette fonction est d’integrale´ nulle sur chaque
ˆ ˆrectangle de la partition, il en est de meme pour le rectangle initial, qui jouit donc de la meme
propriet´ e.´
Une autre approche, tout aussi naturelle consiste a` ”suivre le cotˆ e´ entier” pour aboutir a` un
autre sommet. Cette demarche´ nous permet d’obtenir une demonstration´ de la proposition 1
qui ne fait appel qu’a` la notion de groupe ...

Sujets

• Partition héraldique
• Fonction digamma
• Transition Berezinsky-Kosterlitz-Thouless
• Étant Donnés
• Recco
• Otos

Informations

• Publié par: Mofing
• Nombre de lectures: 103
• Langue: Français

Extrait

Pointsext ´ emauxd’ungraphede rectangles

parFran¸coisXavierVialard

´ Ecole normale supe´rieure, Paris

R ´ ESUM ´ E . poire ´´ tdeu’enrpgralit ´ eed’int ´ epxuaitraalerevitecnronti’usdDtrnsmo ´ emocnoitariotanib tangle en rectangles. M OTS  CLE ´ S : Graphe de rectangles, noeud, multiplicite´, sommet,partition, entier, action de groupe.

Onpr ´ esentedanscetarticleuned ´ emonstrationcombinatoitredelaproposition1.Danstoute lasuite,touslesrectanglesconside ´ r ´ esontuneairestrictementpositive.

Proposition 1Soit un rectangle R et une partition de ce rectangle en un nombre fini de rectangles.Sionsupposequechaquerectangledelapartitionaaumoinsunc ˆ ot ´ eentier, alors le rectangle initial R a au moins un coˆte´ entier.

Unepreuveanalytiquedecer ´ esultatestbienconnue:ilsuffitdetrouverunepropri ´ ete ´ ad ditivele’lelpmexarge ´ tninteet ´ˆ orePar.ieuruocernfeltptiaoiavncrungtad’let ´ erisancarac de la fonction(x, y)→sin (2πx) sin (2πy)sur un rectangle quelconque est nulle si et seule mentsiunc ˆ ote ´ durectangleestentier.Ainsi,sicettefonctionestd’inte ´ gralenullesurchaque rectangle de la partition, il en est de meˆme pour le rectangle initial, qui jouit donc de la meˆme proprie ´ t ´ e.

Uneautreapproche,toutaussinaturelleconsistea ` ”suivreleco ˆ te ´ entier”pouraboutir ` aun autresommet.Cettede ´ marchenouspermetd’obteniruned ´ emonstrationdelaproposition1 quinefaitappelqu’ ` alanotiondegroupeope ´ rantsurunensemble. Commenc¸onsparpre ´ ciserlecadredanslequelsed ´ etacheracequifaitlecoeurdelapreuve.

De´finition 1 Unoe ´ gehpargsgnelectaederriqum ´ etest une union de rectangles d’inte´rieurs deux a` deux

Revuedelafili ` ereMath ´ ematiques

Revuedelafili ` ereMath ´ ematiques3