Principes de dénombrement

Dany-Jack Mercier

Description

Principes de dénombrement. Dénombrement desp-listes,
des arrangements et des permutations. Exemples de
situations dont l’étude se ramène aux cas précédents.
Dany-Jack Mercier
IUFM de Guadeloupe, Morne Ferret,
BP399, Pointe-à -Pitre cedex 97159, France
[e-mail]
28 mai 2002
¤Si F est un ensemble …ni, on note #F son cardinal. Si p 2 N on pose N = f1; :::; pg.p
En…n, dans toute la suite, A désigne l’ensemble …ni A = fa ; :::;a g de cardinal n ¸ 1.1 n
Le premier paragraphe est constitué de rappels. Pour un exposé de 25 minutes, on se
contentera de rappeler brièvement le principe du berger.
1 Principes de dénombrement
Le langage privilégié du dénombrement est celui des ensembles. Il suppose connu la notion
de cardinal d’un ensemble …ni, et celle de partition d’un ensemble.
Tous les problèmes de dénombrement se résolvent en utilisant les deux principes ci-dessous,
et l’on remarquera que le principe du berger provient directement de celui de la somme, si
bien que l’on puisse a¢rmer de faç on abrupte qu’un seul principe est àla base de toutes
les opérations de dénombrement : le principe de la somme.
Lemme 1 Principe de la somme
Si A ; :::; A est une partition de l’ensemble … ni A, alors #A = #A + ::: + #A .1 k 1 k
Preuve : On raisonne par récurrence sur k. La propriété est triviale si k = 1. Si k = 2,
considérons une partition A ; A de A. Si l’on note n le cardinal de A , on sait l’existence1 2 i i
de deux bijections f : N ! A (i = 1;2) et on véri…e que ...

Sujets

• Preuves acoustiques dans l'assassinat de Kennedy
• Berger belge
• Termes (Aude)
• Sommervieu
• L'Hypothèse du tableau volé
• Arbre binaire

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Extrait

pincie de dénômemen. Dénômemen deplie, de ààngemen e de emûàiôn.Exemle de iûàiôn dôn l’éûde e àmène àûx cà écéden. DànyJàck Mecie IÛFM de Gûàdelôûe, Mône Fee, Bp399, pôineàpie cedex 97159, Fànce dànyjàck.mecie@ûniàg.f 28 mài 2002

¤ iFe ûn enemle…ni, ôn nôe#Fôn càdinàl.ip2Nôn ôeN p =f1p: : ;; :g. En…n, dàn ôûe là ûie,Adéigne l’enemle…niA=fa 1 ; :: : ;a n gde càdinàln¸1. Le emie ààgàhe e côniûéde àel.pôû ûn exôéde 25 minûe, ôn e côneneà de àele ièemen le incie dû ege.

1 Principesde dénombremen Le làngàge iilégiédû dénômemen e celûi de enemle.Il ûôe cônnû là nôiôn de càdinàl d’ûn enemle…ni, e celle de àiiôn d’ûn enemle. ôû le ôlème de dénômemen e éôlen en ûiliàn le deûx incie cideôû, e l’ôn emàûeà ûe le incie dû ege ôien diecemen de celûi de là ômme, i ien ûe l’ôn ûie à¢me de fàçôn àûe û’ûn eûl incie eàlà àe de ôûe le ôéàiôn de déle incie de là ômme.nômemen : Lemme 1Principe de la somme SiA 1 ; :: : ;A k ne partition de lest û’ensemble…niA, alors#A= #A 1 +: : :+ #A k . PreUVe :Ô n àiônne à écûence ûk. Làôiéée iiàle ik= 1. ik= 2, cônidéôn ûne àiiônA 1 ; A 2 deAl. i’ôn nôen i le càdinàl deA i , ôn ài l’exience (i= 1;2) e ôn éi…e û de deûx ijeciônf i :N n i !A i e l’àlicàiôn N!A=A[A f: n 1 +n 2 1 2 dé …nie àf(n) =f 1 (n)in·n 1 ef(n) =f 2 (n¡n 1 )in > n 1 , e ûne ijeciôn. Là ôiééàû àng2û¢àôûe ûe là ôiéée héédiàie. Ene¤e, i là fômûle e ài àû àngk, e iA 1 ; :A: : ; k+1 déigne ûne àiiôn deA, là àie 0 [cden0001] 1.00h://eô.wànàdôô.f/megàmàh °D.J. Mecie. vôû ôûez fàie ûne côie de ce nôe ôû ôe ûàge eônnel. c 2002,

1

fA[: : :[A ; Age ûne àiiôn deA. Ô nà dônc 1 k k+1 #A(= #A[: : :[A) + #A 1 k k+1 e l’hyôhèe écûene enàîne ien#A= #A 1 +: : :+ #A k + #A k+1 . Le incie de là ômme enàîne immédiàemen le héôème ûiàn : héorème 1SiAetBsont deûX parties d’û nensemble…niE, alors ¡ ¢ 1)#{A= #E¡#A. 2)# (A[B) = #A+ #B¡# (A\B)et plûs généralement, siA 1 ; :: : ;A p sont des parties deE, X X # (A 1 [: : :[A p #) =A i ¡# (A i \A j ) +: : : i i<j X k+1p+1 1 i k ) +: :+ (¡(1) #A 1 \: :\A p ) + (¡(1) #A i \: :\A i <:: : <i 1 k © ª PreUVe :1) Là àieA;{Afôme ûne àiiôn deA. 2) Ô n àiônne à écûence ûk. ik= 1i, là fômûle e iiàle.k= 2, ôn inôdûi là àiiôn ûiàne deA 1 [A 2 : A[A= (AnA)[(AnA)[(A\A) 1 21 22 11 2 ôû ôeni # (A 1 [A 2 ) = #(A 1 nA 2 ) + # (A 2 nA 1 ) + # (A 1 \A 2 ) = [#(A 1 nA 2 ) + # (A 1 \A 2 )] + [# (A 2 nA 1 ) + # (A 1 \A 2 )] ¡# (A 1 \A 2 ) = #(A 1 ) + # (A 2 )¡# (A 1 \A 2 ): Aû àngk+ 1, ôônB=A 1 [: : :[A k à. Ô n # (A[: : :[A) = #(B[A() = #B) + # (A)¡# (B\A): 1 k+1k+1k+1k+1 L’hyôhèe écûene imliûe àlô k X X ¡ ¢ j+1 # (A[: : :[A() =¡\: : :\A 1 k+1 1) #A i 1 i j + # (A k+1 ) j=1 1 ·i 1 <: : : <i j ·k ¡# (B\A k+1 ) e # (B\A k+1 ) = #((A 1 \A k+1 )[: : :[(A k \A k+1 )) k X X ¡ ¢ j+1 = (\ \A : ¡1) #A i 1 : : :\A i j k+1 j=1 1 ·i 1 <: : : <i j ·k Ce deûx denièe exeiôn enàînen ien là fômûle àû àngk+ 1. Le incie de là ômme enàîne àûi le célèe :

2

Lemme 2Principe du berger (ou principe des tiroirs) Sif:E!Fest ûne application sûrjectiVeàValeû rn ensembledans û…niF, et s’il eXiste ¡ ¢ ¤ ¡1 p2Ntel qûe#f(fyg) =ppoû rtoû ty2F, alors#E=p£#F. : S ¡1¡1 PreUVen à là àiiôn: ÔE=f(F) =f(fyg)deEen#Fôûenemle y2F P ¡ ¢ ¡1 cônenàn chàcûnpélémen, d’ôù#E= #f(fyg) =p£#F. y2F Dàn le ààgàhe ûiàn, ôn dénôme deplie àn û’il ôi néceàie de cônnàîe le càdinàl dû ôdûi càéien depenemle…ni. Ô neû néànmôin éfée càlcûle ce càdinàl e àliûe le éûlà ôû ôeni le nôme deplie. C’e ûne à¤àie de chôix. àelôn ûe le ôdûi càéien de deûx enemle…niA 1 [: : :[A p e l’enemle de ûie…nie(a 1 ; :: : ;a p )ôùa i 2A i ôû ôûi, l’ôde de eme de ce ûieéàn imôàn. Ceenemle e nôéA 1 £: : :£A p cee d. Aecé …niiôn : Lemme 3Principe du produit Si#A i =n i toû tpoû ri, alors# (A 1 £: : :£A p ) =n 1 £: : :£n p . PreUVe :Le éûlà e iiàl ûàndp= 1. Aûàngp+ 1, ôn dé …ni là ûjeciôn f:A£: : :£A£A!A 1p p+1p+1 (a ; a: : ;a ; :)7!a 1p p+1p+1 ¡1 Cômme#f(fa p+1 g() = #A 1 £: : :£A p ) =n 1 £: : :£n p à àlicàiôn de l’hyôhèe écûene, le incie dû ege enàîne # (A 1 £: : :£A p+1 ) = #(A 1 £: : :£A p )£# (A p+1 ) =n 1 £: : :£n p+1 :

2 Dénombremen desplis es Dé …1ni ionÛnepliste d’éléments deA(on dit aûssi :û ne”pliste deA”) est û nesû itedepéléments deA. Onappelleproduit cartésiendepcopies deAl’ensemble formédesplistes deA. Onle note p A=A£: : :£A: | {z } pfacteû rs Ûneplie deA’éci dônc(x 1 : : ;x; : p )ôùx i 2Aôû ôûi. Ô nemàûeà ien ûe l’ôde de eme d’ûnepà exemle lelie e imôàn :3lie(a; b; c)e(b; a; c) ôn di¤ éene. Ceendànle eme de là lie eûenêe ééé àûàn de fôi û’ôn le déie. héorème 2tant deIl Y a aûplistes deAdqû e’applications deN p dansA. PreUVe: L’àlicàiôn p ª:F(N p ; A)!A f7!(f(1): : ;; :f(p)) ôùF(N p ; A)déigne l’enemle de àlicàiôn deN p dànA, e ijecie.

3

p p héorème 3#A=n PreUVe:Premièionre solU: Ô ncônûi ûn àe de chôix. Il y ànchôix dû emie p eme de là lie,nchôix dû ecônd eme, ...ôi en ôûn£n: : :£n=nàncheàce àe. Leecôûàûn àe eme de iûàlie chàcûne deplie, mài là jûi…càiôn igôûeûe d’ûn el éûlà e feà à exemle en càlcûlàn à écûence le càdinàl dû ôdûi càéien depenemle…ni (cf Lemme 3). DeUXièionme solU: écûence ûpôûn…xé. Leéûlà e iiàl ip= 1. ûôônle ài àû àngp. L’àlicàiôn”eiciôn” ª:F(N p+1 ; A)! F(N p ; A) f!7fj N p e ûjecie.ig2 F(N p ; A), e iª(f) =g,fe àfàiemen cônnûe û chàcûn de ¡1 enie1,: : :,p, e eûlf(p+ 1)eàchôii dànA. Aini#ª(g) =ne le incie p+1 dû ege enàîne#F(N p+1 ; A) =n#F(N p ; A) =n : n Corollaire 1Le cardinal de l’ensembleP(A)des parties deAest2. PreUVe: Achàûe àieXdeAôn àôcie là fônciôn cààcéiiûeÂdé …nie à X Â(x) = 1ix2X, eÂ(x) = 0inôn. Ôn ôien ûne ijeciôn deP(A)û X X F(A;f0;1g).

3 DépermU a ionse desarrangemen snombremen des Dé …ni ion2Ûnarrangement depéléments deAû n(on dit encore :parrangement deA) est ûnepliste deAformée d’éléments deûXàdistincts. Ûnedeû Xpermutation deAnest ûnarrangement deA. héorème 4Il Y a aûtant deparrangements deAqû ed’applications injectiVes deN p dansA. PreUVe: L’àlicàiôn ª:I(N; A)! A p f!7(f(1); :: : ;f(p)) ôùI(N p ; A)déigne l’enemle de àlicàiôn injecie deN p dànA, eAl’enemle de ààngemen deA, e ijecie.

Dé …ni ion3Le nombre d’arrangements depéléments d’ensembleû nànéléments est p notéA n .

héorème 5On a

oùn! :=n£(n¡1)£

n! p A=n(n¡1): : :(n¡p+ 1) = n (n¡p)! £2£1et0! := 1.

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PreUVe:Premièionre solU: Ô ncônûi ûn àe, ce ûi eienàfàie le àiôn nemen ûiàn.Il y ànÛne fôi cechôix ôile ôû le emie eme de là lie. chôix e¤ecûé, il een¡1chôix ôile ôû le deûxième eme de là lie, e àini de ûie... Finàlemen,il eeàn¡p+ 1ôiilié ôû lepième eme de là lie.Le nôme de ànche de l’àe eà dôncn(n¡1): : :(n¡p+ 1). DeUXièionme solU: Ôn dénômeI(N p ; A)à écûence ûpôûn…xé. Le éûlà e iiàl ip= 1. ilà fômûle e ôûée àû àngp, mônônlà àû àngp+ 1. L’àlicàiôn”eiciôn” ª:I(N p+1 ; A)! I(N p ; A) f!7fj N p e ûjecie.ig2 I(N p ; A), e iª(f) =g,fe cônnûe û chàcûn de enie1p; :: : ;. Le ôlôngemen defôile déenden eûlemen dû chôix def(p+ 1)dànA, e ¡1 feà injecie i, e eûlemen i,f(p+ 1)2Anf(N p )àûà. Ô n#ª(g) =n¡pe le incie dû ege enàîne #I(N p+1 ; A) = (n¡p) #I(N p ; A) ôi#I(N p+1 ; A) = (n¡p) [n(n¡1): : :(n¡p+ 1)]à l’hyôhèe écûene. RemarqUeûne jûi: Dônnôn…càiôn igôûeûe de l’ûiliàiôn d’ûn àe dàn là démônàiôn dû héôème écéden. pôûcelà, àiônnôn à écûence ûn. Nôôn A n (p)l’enemle depààngemen d’ûn enemleAànélémen, e cônidéôn là ôiéé H(n) :”# (A n (p)) =n(n¡1): : :(n¡p+ 1)ôû ôûp2 f1n: : ;; :g.” Là ôiééH(1)i là ôie iiàle.ééH(n)e àie, cônidéôn là ôjeciôn ¼:A n (p)!A (a 1 a: : ;; : p )!7a p : ip= 1, àlô# (A n (1)) =ne iiàl.ip >1, nôôn ûe là ôjeciôn¼e ûjecie e éi…e ¡ ¢ ¡1 8a2A#¼(fag# () =A(p¡1)): n¡1 Le incie dû ege dônne # (A n (p)) =n£# (A n¡1 (p¡1)) e l’hyôhèe écûene ’éci # (A n¡1 (p¡1)) = (n¡1): : :((n¡1)¡(p¡1) + 1) = (n¡1): : :(n¡p+ 1): Dônc # (A n (p)) =n(n¡1): : :(n¡p+ 1) e là ôiééH(n)e ien démônée.

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