Vortex supraconducteurs de la théorie de Weinberg - Salam, Superconducting vortices in Weinberg - Salam theory

Julien Garaud

Description

Sous la direction de Mikhail Volkov
Thèse soutenue le 29 septembre 2010: Tours
Nous présentons ici, l’analyse détaillée et l’étude de la stabilité de nouvelles solutions de type vortex dans le secteur bosonique de la théorie électrofaible. Les nouvelles solutions généralisent le plongement des solutions d’Abrikosov-Nielsen-Olesen dans la théorie électrofaible et reproduisent les résultats précédemment connus. Les vortex, génériquement porteurs d’un courant électrique, sont constitués d’un coeur massif de bosons chargés Wentouré d’une superposition non-linéaire de champs Z et Higgs. Au loin la solution est purement électromagnétique avec un potentiel de Biot et Savart. Les solutions sont génériques de la théorie et existent en particulier pour les valeurs expérimentales des constantes de couplage. Il est en particulier démontré que le courant dont l’échelle typique est le milliard d’Ampères peut être arbitrairement grand. Dans un second temps la stabilité linéaire des vortex supraconducteurs vis-à-vis des perturbations génériques est considérée. Le spectre de l’opérateur de fluctuations est étudié qualitativement. Lorsque des modes instables sont détectés, ils sont explicitement construits ainsi que leurs relations de dispersion. La plupart des modes instables sont supprimés par une périodisation du vortex. Il subsiste cependant un unique mode instable homogène. On peut espérer qu’un tel mode puisse être supprimé par des effets de courbure si une portionde vortex est refermée afin de former une boucle stabilisée par le courant électrique.
-Théorie électrofaible
In this dissertation, we analyze in detail the properties of new string-like solutions of the bosonic sector of the electroweak theory. The new solutions are current carrying generalizations of embedded Abrikosov-Nielsen-Olesen vortices. We were also able to reproduce all previously known features of vortices in the electroweak theory. Generically vortices are current carrying. They are made of a compact conducting core of charged Wbosons surrounded by a nonlinear superposition of Z and Higgs field. Faraway from the core, the solution is described by purely electromagnetic Biot and Savart field. Solutions exist for generic parameter values including experimental values of the coupling constants. We show that the current whose typical scale is the billion of Ampères can be arbitrarily large.In the second part the linear stability with respect to generic perturbations is studied. The fluctuation spectrum is qualitatively investigated. When negative modes are detected, they are explicitly constructed and their dispersion relation is determined. Most of the unstable modes can be eliminated by imposing periodic boundary conditions along the vortex. However there remains a unique negative mode which is homogeneous. This mode can probably be eliminated by curvature effects if a small piece of vortex is bent into aloop, stabilized against contraction by the electric current.
-Electroweak theory
-Molitons
-Superconductiong strings
-Stability
Source: http://www.theses.fr/2010TOUR4018/document

Sujets

• Interaction électrofaible

Informations

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• Nombre de lectures: 95
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 29 Mo

Extrait

UNIVERSITÉ
FRANÇOISRABELAIS
DETOURS
École Doctorale Santé, Sciences, Technologies
LABORATOIRE DE MATHÉMATHIQUES ET PHYSIQUE THÉORIQUE
THÈSE présenté par :
Julien GARAUD
soutenue publiquement le : 29 septembre 2010
pour obtenir le grade de : Docteur de l’Université François - Rabelais
Discipline/ Spécialité : Physique Théorique
VORTEX SUPRACONDUCTEURS
DE LA THÉORIE DE WEINBERG-SALAM
THÈSE dirigée par :
VOLKOV Mikhail Professeur, Université François Rabelais
RAPPORTEURS:
BACHAS Constantin Directeur de Recherche, École Normale Supérieure de Paris
CHAPOCHNIKOV Mikhail Professeur, École Polytechnique Fédérale de Lausanne
SUTCLIFFE Paul Professeur, Université de Durham
JURY :
BACHAS Constantin Directeur de Recherche, École Normale Supérieure de Paris
CHAPOCHNIKOV Mikhail Professeur, École Polytechnique Fédérale de Lausanne
CHERNODUB Maxim Chargé de Recherche, Université François Rabelais
GRANDCLEMENT Philippe Chargé de Recherche, Observatoire de Paris-Meudon
NIEMI Antti Directeur de recherches, Université François Rabelais
VOLKOV Mikhail Professeur, Université François RabelaisRésumé
Nous présentons ici, l’analyse détaillée et l’étude de la stabilité de nouvelles solutions
de type vortex dans le secteur bosonique de la théorie électrofaible. Les nouvelles solu-
tions généralisent le plongement des solutions d’Abrikosov-Nielsen-Olesen dans la théorie
électrofaible et reproduisent les résultats précédemment connus.
Les vortex, génériquement porteurs d’un courant électrique, sont constitués d’un coeur
massifdebosonschargés Wentouré d’une superpositionnon-linéaire dechamps ZetHiggs.
Au loin la solution est purement électromagnétique avec un potentiel de Biot et Savart.
Les solutions sont génériques de la théorie et existent en particulier pour les valeurs expé-
rimentales des constantes de couplage. Il est en particulier démontré que le courant dont
l’échelle typique est le milliard d’Ampères peut être arbitrairement grand.
Dans un second temps la stabilité linéaire des vortex supraconducteurs vis-à-vis des
perturbations génériques estconsidérée. Lespectre del’opérateur defluctuations estétudié
qualitativement.Lorsquedesmodesinstablessontdétectés,ilssontexplicitementconstruits
ainsi que leurs relations de dispersion. La plupart des modes instables sont supprimés par
une périodisation du vortex. Il subsiste cependant un unique mode instable homogène. On
peut espérer qu’un tel mode puisse être supprimé par des effets de courbure si une portion
de vortex est refermée afin de former une boucle stabilisée par le courant électrique.
Mots clés : Théorie électrofaible, solitons, vortex supraconducteurs, stabilité.
34Abstract
In this dissertation, we analyze in detail the properties of new string-like solutions of
the bosonic sector of the electroweak theory. The new solutions are current carrying gene-
ralizations of embedded Abrikosov-Nielsen-Olesen vortices. We were also able to reproduce
all previously known features of vortices in the electroweak theory.
Generically vortices are current carrying. They are made of a compact conducting core
ofcharged Wbosonssurrounded byanonlinear superpositionofZandHiggsfield.Faraway
from the core, the solution is described by purely electromagnetic Biot and Savart field.
Solutions exist for generic parameter values including experimental values of the coupling
constants. We show that the current whose typical scale is the billion of Ampères can be
arbitrarily large.
In the second part the linear stability with respect to generic perturbations is studied.
The fluctuation spectrum is qualitatively investigated. When negative modes are detected,
they are explicitly constructed and their dispersion relation is determined. Most of the
unstable modes can be eliminated by imposing periodic boundary conditions along the
vortex. However there remains a unique negative mode which is homogeneous. This mode
can probably be eliminated by curvature effects if a small piece of vortex is bent into a
loop, stabilized against contraction by the electric current.
Keywords : Electroweak theory, solitons, superconducting strings, stability.
56Table des matières
Introduction 19
I Cadre Théorique et contexte historique 25
1 Généralités sur les théories de jauge 27
1.1 Brisure spontanée de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.1 Théorème de Goldstone – Brisure d’une symétrie globale . . . . . . . 28
1.1.2 Mécanisme de Higgs – Brisure d’une symétrie locale . . . . . . . . . 30
1.1.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2 Formation de défauts et transitions de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Quelques notions de supraconductivité – Les vortex en matière condensée . 33
2 Les Vortex en théories de jauge 39
2.1 Modèle de Higgs abélien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Le Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Les solutions de Nielsen et Olesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3 Propriétés physiques des vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Vortex supraconducteurs – Le modèle de Witten . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Le modèle de Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2 Les vortex supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Cordes Cosmiques et Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II Vortex supraconducteurs dans la théorie de Weinberg-Salam 53
3 Rappels sur la théorie de Weinberg-Salam 57
3.1 Le secteur bosonique de la théorie de Weinberg-Salam . . . . . . . . . . . . 57
7TABLE DES MATIÈRES
3.1.1 Échelle de longueurs – Variables adimensionnées . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 Spectre de masse de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Définition des champs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Plongement des solutions ANO dans la théorie de Weinberg et Salam . . . . 62
3.2.1 Z-strings et W-strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2 Instabilité du plongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.3 Condensation de bosons chargés W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Construction des vortex supraconducteurs électrofaibles 69
4.1 Réduction de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Équation des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Conditions aux bords et quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.1 Conditions sur l’axe de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2 Conditions asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.3 Calcul des quantités conservées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Rappel des solutions déjà connues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.1 Z-strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.2 W-strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.3 Z-strings faiblement perturbées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Propriétés physiques des solutions 83
5.1 Solutions génériques supraconductrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 Construction numérique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.2 Description des grandeurs physiques et numériques . . . . . . . . . . 84
5.2 Description semi-analytique dans la limite de faibles courants . . . . . . . . 92
5.2.1 Déviation par rapport à la solution Z-string . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.2 Corrections de la déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.3 Reconstruction des amplitudes et du twist . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Description approchée de la limite de grands courants . . . . . . . . . . . . 100
5.3.1 Le coeur du vortex et le condensat chargé – vortex de Yang-Mills . . 102
5.3.2 La région externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.3 Reconstruction de la solution – Restauration de la symétrie . . . . . 104
5.4 Limites spéciales de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Limite semilocale d’hypercharge (θ =π/2) . . . . . . . . . . . . . . 108W
5.4.2 Limite semilocale d’isospin (θ =0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110W
5.4.3 Limite du Higgs infiniment massif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.4 Solutions chirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .