cours 4M2, p.37 à 46 [v6.0]

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èmeMathématiques 4 , niveau avancé page 37Probabilités1. Variables aléatoiresDéfinitionOn rappelle qu’un expérience aléatoire est une expérience dont:— l’ensemble des issues, ou résultats possibles, est connu— l’issue dépend du hasard et n’est pas prévisible. Exemple: Trois jets consécutifs d’une pièce bien équilibrée. (Ce qui revient au même que celui simultané de trois pièces.) L’ensemble des résultats possibles, ou univers, est dans ce cas: U = {PPP; PPF; PFP; FPP; PFF; FPF; FFP; FFF}.Après avoir réalisé une expérience, on s’intéressera plus souvent à une fonction des résultats qu’aux résultats possibles eux-mêmes: ainsi, dans l’expérience consistant à jeter trois fois de suite une pièce équilibrée, il peut être plus intéressant de connaître le nombre de fois où PILE est apparu plutôt que la séquence détaillée décrivant l’issue de l’expérience («PPF», par exemple): U{PPP} X —{PPF} 0{PFP} X est la variable{FPP} 1 aléatoire comptant le{PFF} nombre de «PILE» lors{FPF} 2 de l’expérience “jet{FFP} d’une pièce trois fois”{FFF} 3En associant un nombre à chaque résultat possible de l’expérience, on définit ainsi une fonction. Ces fonctions réelles définies sur l’ensemble des résultats possibles (U) sont appelées variables aléatoires. (Il ne s’agit donc pas à proprement parler d’une “variable”.)La variable aléatoire X ci-dessus, comptant le nombre de «PILE» lorsqu’on jette trois fois de suite une pièce de monnaie, prend les ...

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ème Mathématiques 4 , niveau avancé

Probabilités

1. Variables aléatoires

Définition

On rappelle quunexpérience aléatoireest une expérience dont:  lensemble desissues,ou résultats possibles, est connu  lissue dépend duhasardet nest pas prévisible.

page 37

Exemplebien équilibrée. (Ce qui revient au même que celui simultané: Trois jets consécutifs dune pièce de trois pièces.) Lensemble des résultats possibles, ouunivers, est dans ce cas:U{PPP; PPF; PFP; = FPP; PFF; FPF; FFP; FFF}.

Après avoir réalisé une expérience, on sintéressera plus souvent à unefonction des résultatsquaux résultats possibles eux-mêmes: ainsi, dans lexpérience consistant à jeter trois fois de suite une pièce équilibrée, il peut être plus intéressant de connaître lenombre de fois où PILE est apparu plutôt que la séquence détaillée décrivant lissue de lexpérience (PPF», par exemple):

U {PPP}

{PFP}

{PFF}

{FFP}

{PPF}

{FPP}

{FPF}

{FFF}

X

  0  X est la variable 1 aléatoire comptant le  nombre de PILE» lors 2 de lexpérience “jet  dune pièce trois fois” 3

En associant un nombre à chaque résultat possible de lexpérience, on définit ainsi une fonction. Ces fonctions réelles définies sur lensemble des résultats possibles (U)appelées sont variables aléatoires. (Il ne sagit donc pas à proprement parler dune “variable”.)

La variable aléatoireXPILE» lorsquon jette trois fois de suite une pièceci-dessus, comptant le nombre de de monnaie, prend les différentes valeurs possibles suivantes: 0, 1, 2, ou 3. Et on peut attribuer une probabilité à chacune de ces valeurs:

1 3 P(X=0)=P({FFF})=;P(X=1)=P({PFF;FPF;FFP})= 8 8 3 1 P(X=2)=P({PPF;PFP;FPP})=;P(X=3)=P({PPP})= 8 8

Comme toute variable aléatoire recouvre lensemble detous les cas possibles, la somme de probabilités sera 1 3 3 1 8 forcément égale à 1 (=100%):= =+ + + 1=100% . 8 8 8 8 8

ème Mathématiques 4 , niveau avancé

Ces données sont souvent regroupées dans un tableau quon appelleloi de Xoudistribution de X:

X P(X)

0 1 8

1 3 8

De manière plus générale:

X P(X) 

2 3 8

x 1 p 1

3 1 8

x 2 p 2

←valeurs possibles de la variable aléatoire X ←probabilités de chacune des valeurs possibles de la v.a. X

x 3 p 3

L L

x n-1 p n-1

x n p n

←valeurspossibles ←probabilitésdecesvaleurs

n ∑ avec:p i =P(X=x i )etp 1 +p 2 +K+p n =p i =1=100% i=1 

(Autrement dit,p i désigne la probabilité que la variable aléatoireXprenne la valeurx i .)

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Autre exemple:onau jeu suivant: considère la variable X, comptant  On dun participant les gains» jette deux dés en notant la somme des points montrés par les dés; si la somme est 7, on gagne 3 F; si la somme est 11, on gagne 4 F; dans tous les autres cas, on perd 1 franc.

On obtient donc la loi de probabilité suivante:

P(X=3)

=P ({ (1 , 6);(2 , 5);(3 , 4);(4 , 3);(5 , 2);(6 , 1) })

2 P(X=4)=P ({ (5 , 6);(6 , 5) }) = 36 28 P X=−1=P1 , 1 ; etc ( ) ({ ( ) ; ( 21 , ) K } = ) 36  X+3+4−1 Résumée dans le tableau: 6 2 28 . P(X) 36 36 36

=

6 36

Sintéresser aux gains» dun joueur revient à se demander si le jeu lui sera, à la longue, favorable ou défavorable. Dans cet exemple, sur 360 parties, le joueur devrait, en théorie, gagner 60 fois 3 francs, 20 fois 4 francs, et perdre 280 fois un franc, ce qui conduit à un gain» théorique de: 60(3 F) + 20(4 F) – 280(1 F), ce qui représente, en moyenne et par partie, 6 0⋅3+2 0⋅4−2 8 0⋅1 6 0 2 8 0 0 2 2 86 2 =⋅3+⋅4+⋅(−1)=⋅3+⋅4+⋅(−1)≅ −5, 5 centimes, 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 3 6 3 6 soit une perte pour le joueur.

Cette espèce demoyennepondéréepar les valeurs queXpeut prendre, les poids étant les probabilités que ces valeurs soient prises, est une notion très importante, appeléeespérance mathématique.

Fonction de répartition

Lafonction de répartitionF dune variableXest définie sur par:

F(x)=P(X≤x)

Autrement dit,F(x) est la probabilité que la variable aléatoireXprenne une valeur inférieure ou égale àx.

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Dans lexemple du jet successif de trois pièces de monnaie, dont létude aboutissait au tableau X 0 1 2 3 , la fonction de répartition est donnée par: 1 3 3 1 P(X) 8 8 8 8  0 ,si x<0  0,125 ,si0≤x<1  F(x)= 0,5 ,si1≤x<2  0,875 ,si2≤x<3    1 ,si x≥3

Cest, comme souvent, une fonctionen escalierdont le graphique est:

2. Espérance mathématique

Définition

On rappelle le tableau résumant le jeu de lancer de 2 dés  accompagné de gains ou de pertes dargent  et X+3+4−1 donné plus haut en exemple: 6 2 28 . P(X) 36 36 36

On avait calculé à ce propos une moyenne théorique, sur 360 parties: 60(3F) + 20(4F) – 280(1F), ce qui 6 0⋅3+2 0⋅4−2 8 0⋅2 80 2 0 2 8 0 6 2 1 6 donne sur une partie: =⋅3+⋅4+⋅(−1)=⋅3+⋅4+⋅(−1)≅ −5, 5  . 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 3 6 3 6 On aboutissait donc à une perte théorique pour le joueur. On observe quil sagit de la somme de tous les produits verticaux du tableau.

Cette espèce demoyennepondéréepar les valeurs queXpeut prendre, les poids étant les probabilités que ces valeurs soient prises, est une notion très importante, appeléeespérance mathématique.

Plus généralement, si la loi de la variable aléatoireXest:

X P(X) 

x i p i

x 2 p 2

x 3 p 3

L L

x n−1 p n−1

x n , avecp i =P(X=x i ) p n

Lespérance mathématique, ou aussimoyenne, dune variableXest notéeE(X) et définie surpar: n ∑ E(X)=x i ⋅p i =x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +K+x n−1 p n−1 +x n p n i=1 

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Il sagit bien dune “moyenne pondérée” quon peut rapprocher dun calcul classique de moyenne de notes à lécole. Prenons par exemple, deux épreuves “comptant double”  lune de 4, et lautre de 3,5  et une 2⋅4+2⋅3, 5+1⋅2 15 2 récitation de 5; la moyenne donnée par peut aussi sécrire:⋅4+⋅3, 5+⋅5 . 5 5 5 5 Il sagit bien du même type de calcul que lespérance et lon pourrait aussi utiliser un tableau de répartition note: 4 3,5 5 2 2 1 pour lillustrer: . Là aussi, la somme des coefficients vaut 1+ + =1 . 2 2 1 ( ) pondération: 5 5 5 5 5 5

En dautres termes, lespérance mathématique dune estvariable aléatoire la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire , moyenne pondérée par les probabilités respectives de ces valeurs.

Exemple: La variable aléatoireXde PILE» lorsquon jette simultanément trois, comptant le nombre 4 x0 1 2 3 i 1 3 3 1 ∑ pièces de monnaie a comme loi: . Lespérance deXest donc:E(X)=x⋅p, soit i i p i8 8 8 8 i=1 1 3 3 1 1 2 dans ce cas:E(X)=0⋅+1⋅+2⋅+3⋅= =. Ce nombre de côtés PILE» nest évidemment1, 5 8 8 8 8 8 réalisé lors daucun des jets les seules possibilités étant les valeurs entières de 0 à 3  mais correspond à la valeur espérée de la moyenne du nombre de PILE», valeur dautant plus proche de la réalité que le nombre de jets est élevé.

Variable aléatoire binomiale

Un exemple important de variable aléatoire est issu de létude de la loi binomiale:népreuves indépendantes, chacune ayantppour probabilité de succès et 1−p pour probabilité déchec.

Laqui compte variable aléatoire X le nombre de succès sur lensemble des n épreuvesest ditevariable aléatoire binomiale de paramètre (n;p).

La variable aléatoireXqui compte le nombre de succès (chacun ayant probabilitépde survenir) sur un ensemble denépreuves indépendantes est dite variable aléatoire binomialeparamètres ( de n;p).

Laloi de probabilitédune variable aléatoire binomiale de paramètre (n;p) est donnée par:

n n−i i C P ( {X=i} ) =p(1−p), pouri= 0, 1, 2, ,n. i

Reprenons unexemple historiquedatant des débuts de létude des probabilités. En 1654, le chevalier de Méré, philosophe et homme de lettres, pose le problème suivant au mathématicien Pascal: dans un jeu de dés, qu'est-ce qui est plus probable, obtenir au moins un "6" en lançant quatre fois un dé (événementA), ou obtenir au moins un "double six" en lançant deux dés vingt-quatre fois (événementB) ?

La variable aléatoire comptant le nombre de fois où lon obtient “6” en lançant un dé 4 fois de suite est une 1 variable aléatoire binomiale de paramètres ( 4 ; ) probabilité est donnée par:. Sa loi de 6

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i4−i  1   1  4 C P X= =  ( { A i} ) 1−. Par exemple, obtenir deux fois i  6  6  2 4−2 2 2  1   1   1   5  4 4  C 2 C 2 P ( {X A =2} ) =  1−=≅11, 57% .  6  6  6  6

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un “6” a comme probabilité:

De manière analogue, la variable aléatoire comptant le nombre de fois où lon obtient “double 6” en lançant 1 deux dés 24 fois de suite est une variable aléatoire binomiale de paramètres ( 24 ; ) . Sa loi de probabilité est 36 i24−i  1   1  24  donnée par:P ( {X B =i} ) =  1 −  exemple, obtenir . Par 6” a commedeux fois un “double C i  36  36  2 22  1   35  24 C probabilité:P ( {X B =2} ) =  ≅11, 46% . 2  36  36 Quant à la réponse au problème du chevalier de Méré, elle est apportée par les deux calculs: 0 4  1   5  4 P ( {X A ≥1} ) =1−P ( {X A =0} ) =1 −  ≅51, 77% C 0  6  6 0 24  1   35  24 P ( {X B ≥1} ) =1−P ( {X B =0} ) =1 −  ≅49,14% C 0  36  36 Ilau moins un "6" en lançant quatre fois un dé que dobtenir au moins unplus probable dobtenir est donc "double six" en lançant deux dés vingt-quatre fois.

−4 Voici la distribution complète de la variable aléatoireX A ):(probabilités à 10

X P(X)

0 0.4823

1 0.3858

2 0.1157

3 0.0154

4 0.0008

−4 Et la distribution, partielle, de la variable aléatoireX B (probabilités à 10 ):

X P(X)

0 1 2 3 4 0.5086 0.3488 0.1146 0.0240 0.0036

 

1 2 4e-13

 

2 0 7e-28

 

∑= 100%

2 4 4e-38∑= 100%

(La somme des probabilités des cinq premières valeurs deX B presque 1; onest denviron 99,954826%, soit peut sans grand risque parier de ne pas obtenir 24 fois consécutives “double six” en jetant un dé 24 fois, quoique la probabilité de cet événement ne soit pas nulle comme on peut le contrôler dans le tableau ci- 37 dessus: environ une chance sur 2, 2⋅10 )

Espérance de la variable aléatoire binomiale

Contrôlons tout dabord que la somme de toutes les probabilités vaut 1, en application directe du théorème du binôme de Newton:

n n−i i C i Pour une variable aléatoire binomiale,P ( {X=i} ) =p(1−p), on a: n ∑ P ( {X=i} ) =1 . i=0

Démonstrationla formule du binôme de Newton: pour tout: On rappelle n∈Ule développement de , n n n n n n−k k (a+b)est donné par(a+b)=a b. De là résulte queP({X=i})=en effet:1 ; ∑C k ∑ k=0i=0

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n n n n−i i ∑C i 1 2 3 p(1−p)= [ p+(1−p) ] i=0 formule du binôme 

n =[p+1−p]

n = [ 1 ]

=1(=100%).

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Autre propriété de calcul prévisible: sil y a une probabilité depréussite à chaque tentative, le nombre de moyen de réussites surntentatives doit être denp. Et cest bien le cas:

Lespérance dune variable aléatoire binomiale (n;p) est égale au produitnp: E(X bin )=n⋅p

Démonstration: Elle nutilise “que” de lalgèbre  distributivité, jeu sur les indices, binôme  accrochez-vous, cest très ludique: n ∑ , i» étant le nombre de succès, et p»,P ({ X=i }) E [ X ] =i⋅p i i i=0 n n n n−i n−i n! i n−i n n i i =i⋅p ( 1−p ) =i⋅p ( 1−p ) =i⋅p ( 1−p ) ∑C i ∑C i ∑ i!(n−i)! i=0i=1i=1 n n n⋅(n−1)! i−1 n−i (n−1)! i−1 n−i =i⋅p⋅p(1−p)=np⋅i⋅p(1−p) ∑ ∑ i! ( n−i ) !i! ( n−i ) ! i=1i=1 n n−1 (n−1)! i−1 n−i (n−1)! k n−k−1 ∑ ∑ =np⋅p(1−p)=np⋅p(1−p) ( i−1 ) ! ( n−i ) !k! ( n−k−1 ) ! i=1k=0 { en posant i−1=k n−1 n−1n−1 n−1−k k n−1 =np⋅p(1−p)=np⋅ [ p+(1−p) ] =np⋅1=np ∑C 142 43 k k=0 encore l e binômeK 

3. Variance et écart type

Lespérance nous donne une moyenne pondérée des valeurs possibles deX, elle ne nous dit rien des variations deXautour de lespérance. On peut sen rendre compte grâce aux exemples suivants, qui, bien que très dissemblables, ont tous la même espérance (E[X] = E[Y] = E[Z] = 3):

X P(X)

1 0 . 2 5

loi de X

2 0 . 2 5

1 0,75 0 5 0,25 0 1 2 3 4 5 6

4 0 . 2 5

P(X)

5 0 . 2 5

Y P(Y)

1 0 . 5

loi de Y

1 0 75 0,5 0,25 0 1 2 3 4 5 6

5 0 . 5

P(Y)

Z P(Z)

1 0 . 0 5

2 0 . 0 5

3 0 . 7 5

loi de Z

1 0,75 0 5 0,25 0 1 2 3 4 5 6

4 0 . 1 5

P(Z)

Un deuxième nombre permet de caractériser plus “finement” une variable aléatoire: celui qui mesure lécart moyen entreXgrande dispersion des valeurs prises par la variable et son espérance, soit, la plus ou moins autour de la moyenne. Par exemple, pourY, lécart est de deux unités:

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0

1

?

E[X]=3

?

5

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Mesurer un écart à la moyenne» revient à sintéresser à la grandeur:X−E(X)pour, soit, Y: 1−3 et 5−3 , cest-à-dire 2 (= | –2 | = | 2 | ). Faire la moyenne de ces écarts consiste à calculer lespérance des écarts à la moyenne:E(X−µ), oùµ(lire mu», comme moyenne»;µla minuscule grecque  étant correspondant à la lettre m) est lespérance deX: µ=E(X).

Pour des raisons techniques (la manipulation des valeurs absolues étant difficile) on lui préfère lespérancedes carrés des écartsentre les valeurs deXetµ:

Définition:

2 On appellevariancede la variable aléatoireX que lon noteV(X)ou aussiσ(sigma carré)  le nombre: 2 V(X)=E ( X−µ ) [ ] n 2 2 2 2 ∑ =(x i −µ)⋅p i =(x 1 −µ)⋅p 1 +(x 2 −µ)⋅p 2 +K+(x n −µ)⋅p n i=1 

Pour revenir à un écart correspondant de manière plus proche à la réalité, et défaire partiellement linfluence des carrés, on utilise lécart-type»:

On appelleécart-typede la variable aléatoireX, la racine carrée de la variance: σ=V(X)

Exemple: Voici le calcul de lavariance, pour la variable aléatoireYplus haut, à laide de cette proposée 2 2 Y1 5 définition: V(Y)=1−3⋅0,5+1−3⋅0, 5=4⋅0,5+4⋅0, 5=4 Il .  { {  { {  { { P(Y)0, 5 0,5 x  µ  µ  P(x 1 )2P(x 2 ) x 1  résulte donc que lécart-type est ici de 2: σ=V(Y)=4=2 .

Néanmoins, on utilise plutôt une autre formule pour le calcul de la variance, plus pratique demploi, donnée par le théorème:

2 2 V(X)=E [ X ] −(E[X])

,ou:

V(X)=

2 2 E [ X ] −µ

Exemple: Voici le calcul de lavariance, pour la même variable aléatoireY, à laide de ce théorème: 2 2 2 Y1 5Y1 5 2 st: . On obtient ainsi,  et donc, la loi de Y  e 2 P(Y)0, 5 0,5P ( Y ) 0,5 0, 5

