Cours Agay 2004

Jean-Pierre Nadal

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• Publié par: Saum
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• Langue: Français

Extrait

CAMS
Modélisation de phénomènes collectifs
en sciences économiques et sociales
Jean-Pierre Nadal
Laboratoire de Physique Statistique de l’ENS
et
Centre d’Analyse et de Mathématique Sociales, EHESS
[e-mail]
CogMaster - unité d’enseignement CS2
http://www.lps.ens.fr/~risc/CS2/
et
Ecole « Dynamique des systèmes complexes et applications aux SHS : modèles,
concepts méthodes » (Agay, 8 - 17 mars 2004)
http://www-eco.enst-bretagne.fr/~phan/AgayComplexiteSHS/9
9
9
9
9
Choix discrets sous influence sociale
CAMS
Phénomènes collectifs en sciences sociales :
• Variations sur le thème « Qui se ressemble s’assemble »
T. C. Schelling (« micromotives and macrobehaviour »). Formation de coalitions (Axelrod).
Analogie avec le modèle de mémoire associative de Hopfield (mémoire à court-terme),
et avec des modèles de « spins d’Ising ».
• Retour sur des notions de base : Dynamiques et Equilibres
• Règle de décision : Logit or not logit ? (compromis exploration/exploitation)
• Agents hétérogènes en interaction : équilibres multiples
Mimétisme (Orléan)
« Le séminaire mourrant » (Schelling) ; le dilemme du vendeur
• Dynamique avec apprentissage / adaptation
Principe de l’apprentissage par renforcement.Ilustrations:
El Farol / Minority Game
Marché aux poissons de Marseille
Le séminaire mourrant / apprentissage comportemental (à la Camerer)
2ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Dynamiques et Equilibres
CAMS
• Notions de base : Dynamiques et Equilibres
Point fixe d’une dynamique déterministe - cas avec « énergie » /
Lyapounov
Dynamique stochastique avec potentiel (énergie) : Boltzmann
Nash ; Equilibre de Nash en Stratégie Mixte (MSE) ;
Quantal Response Equilibrium (QRE) / « champ moyen »
Dynamique de meilleure réponse
Expérimentation : comparaison comportements / modèlese population
Illustration : Jeu à deux joueurs - QRE versus dynamique de
populations
3Choix discrets - notations
CAMS
• N agents : i = 1, 2,…, NC hoix discrets -e x e m p le d u cas binaire :
• choix de l’agent numéro i : ω = 1 / ω = 0 (ou : S = +1 / S = -1 )
i i i i
adopter/ne pas adopter un comportement, assister/ne pas assister au
cours, acheter/ne pas acheter, groupe A/groupe B, action 1/action 2,
stratégie 1/ stratégie 2 (coopérer/trahir, signaler/ne pas signaler,…) ;
neurone actif/inactif, automate 1/0, spin d’Ising +/-, …
• Pour chaque agent i : u (S , S ) = utilité = surplus = gain = - insatisfaction
i i -i
S = { choix des agents autres que i} ou { choix des agents ‘voisins’ de i }
-i
• Exemples : u (S , S ) = S h avec : h (S ) = Σ J S + H
i i -i i i i -i k ik k i
u (ω , ω ) = ω h (ω ) = Σ J ω + H
i i -i i i i -i k ik k i
J = influence de l’agent numéro k sur l’agent numéro i (0, > 0 ou < 0)
ik
H = préférence individuelle / prix de réserve – prix /, …
i
H = - θ : θ = seuil d’activation / de décision
i i i
S = { choix de tous les agents} = {S , S , …, S } = « configuration »
1 2 N
S = { choix de tous les agents excepté celui de i } = {S ,…, S , S ,…, S }
1 N
-i i-1 i+1
4ƒ
ƒ
ƒ
Equilibres
(systèmes dynamiques, physique statistique)
CAMS
Dynamique déterministe : à tout instant t,
maximisation de l’utilité - sans anticipation : dynamique « myope »
(dynamique parallèle ou séquentielle) : (stratégie de meilleure réponse)
S (t+1) = choix S qui maximise u (S , S (t) ) , soit :
i i i i -i
S (t+1) = +1 si : h (t) = Σ J S (t) + H > 0, sinon : S (t+1) = -1 .
i i k ik k i i
Cas d’interactions symétriques, J =0, dynamique séquentielle :
ii
{attracteurs} = {points fixes } = {minima de E ( S ) }.
Dynamique stochastique
P(S (t+1) = +1)
i
(bain thermique, bruit synaptique, main temblante)
(pente = β = 1/ T)
1
avec interactions symétriques
+ logit : p(S = +1) = 1/[1 + exp – 2β h ]
i i
T = ‘température’ = 1/β
½
P ( S ) = (1/Z ) exp – β E ( S ).
équ.
= distribution de Boltzmann (1844 - 1906)
h (t)
i
(→ ‘potential games’ en théorie des jeux)
0
5Choix discrets avec interactions symétriques
CAMS
Choix discrets -e x emple du cas binaire :
S = ensemble des choix de tous les agents
= {S , S , …, S } = « configuration »
1 2 N
• « Utilité sociale » ? U ( S ) = Σ u (S , S )
i i i -i
• Cas avec symétrie des influences et sans auto-couplage
(pour toute paire (i,k), J = J ; pour tout i, J = 0)
ik k i ii
dynamique « myope » : minimisation de l’« énergie »
E ( S ) = - ½ Σ J S S - Σ S H
i k i k i k i i i
• Rem. : en général pas de relation entre U ( S ) et E ( S )
(sauf pour deux cas particuliers : H tous nuls, U = - ½ E ; J tous nuls, U = - E ).
i ik
6Equilibres (économie, théorie des jeux)
CAMS
• Nash :
S* est un équilibre de Nash si, pour tout i :
u (S* , S* ) ≥ u (S , S* ) quel que soit S .
i i -i i i -i i
• selon les cas, il existe 0, 1 ou plusieurs équilibres de Nash.
• un point fixe attractif de la dynamique déterministe est un équilibre de Nash.
• les équilibres de Nash sont les minima de E ( S ) (lorsque cette quantité existe).
• Equilibre de Nash en Stratégie Mixte
(Mixed-Strategy Equilibrium)
Chaque joueur i joue la stratégie S avec une probabilité p (S )
i i i
Gain anticipé par i: < u (S ) > = Σ p (S ) u (S , S )
i i -i i i -i
{S }
-i
MSE : < u (S ) > identique quel que soit S .
i i i
• il existe toujours un MSE.
7Stratégies mixtes
CAMS
• Quantal Response Equilibrium (QRE)
p (S ) = f (< u (S ) > ) / Σ f (< u (s) > )
i i i i i
{s}
( < u (S ) > = gain anticipé par i s’il choisit la stratégie S )
i i i
Exemple (logit !) :
f(x) = exp ( β x ).
• remarque : QRE ≈ « approximation de champ moyen » en physique
Expériences :
comparaison des comportements avec les prédictions MSE et QRE
Réf. :
McKelvey and Palfrey, Quantal response equilibria for normal form games, Games and
economic behavior, 7:6-38 (1995)
Colin F. Camerer, « Behavorial Game Theory », Princeton Univ. Press 2003
8Equilibre QRE
CAMS
Cas d’un jeu symétrique à deux joueurs et deux stratégies :
la « chasse au cerf »
jeu inspiré d’un passage du
Discours sur l ’origine de l ’inégalité parmi les hommes de J.J. Rousseau (1754)
Gain du joueur 1
S1\S2
-1
2jou e S =1 2 joue S =-1
+ 1
2 2
+ 1
a b
1joue S=1
(5,5) (0,4)
1
-1
d
c
1jou e S=-1
(4,0) (3,3)
1
a > c > d > b
Deux équilibres de Nash en stratégies pures : (+1, +1) et (-1, -1)
Un équilibre de Nash en stratégie mixte (MSE) : i =1,2 : P(S =1) = p*(1)=3/4
i
pour l’équilibre MSE : < u (+1 ) > = < u (-1 ) >
i i
9QRE (2 joueurs)
CAMS
• u (S , S ) = J S S + H S u (S , S ) = J S S + H S
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
• Dans l’exemple : J= 1 , H = -1/2 et : p*(1) = (J-H)/2J = 3/4
• QRE :
i=1,2 : p (S ) = exp (β < u (S ) >) / Σ exp (β < u (s) >)
i i i i i
{s=+1, -1}
∆ ≡ < u (S =1) > - < u (S =-1) >
1 1 1 1 1
p (+1) = 1/[ 1 + exp (- β ∆ ) ]
1 1
• < u (S =1) > = p (+1) u (1 , 1 ) + p (-1) u (1 , -1 )
1 1 2 1 2 1
∆ = 4 J p (+1) - 2 (J - H) ∆ = 4 J p (+1) - 2 (J - H)
1 2 2 1
‘auto-consistence’ : p (+1) dépend de ∆ qui dépend de p (+1) qui dépend
1 1 2
de ∆ qui dépend de p (+1) ...
2 1
p (+1) = p (+1) = 1 / [ 1 + exp (- 4 β J ( p (+1) - p*(1) ) ]
2 1 1
10