cours-Chap5-Notions de fonctions

Olivier

Description

Seconde Chap 5 : Notion de fonction 1. Définition D est une partie de IR. Définir une fonction sur D, c'est associer à chaque réel x de D, un réel et un seul appelé image de x. D est appelé l'ensemble de définition de la fonction. Notations : • On utilise généralement les lettres f , g, h ... pour désigner une fonction. • L'image d'un réel x par f est notée f(x) (on lit : "f de x"). • On écrira indifféremment f : D ¾¾fi IR ou plus simplement f : ‰¾¾fix f (x) ‰¾¾fi x f (x) pour dire que : f est la fonction de D dans Y qui à tout x de D associe le réel f (x). Exemple 1 : Un appareil a permis de relever la température, de façon continue, de 6 heures à 22 heures pendant la même journée. t em pérat ur e (en °C ) 6 3 t em ps (en h)J OI 6 8 12 20 22 A chaque instant x de l'intervalle [6 ; 22], on associe un unique résultat y : la température à cet instant. S'il fait 11° C à 8 heures, alors f (8) = 11 ; on dit que 11 est l'image de 8 par f . Compléter : f(10) = _ _ _ _ f(17) = _ _ _ _ _ _ f(22) = _ _ _ _ _ _ Quel est l'ensemble de définition de f ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Vocabulaire : x est appelé la variable. Dans l'exemple précédent la variable est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Si y est l'image de x par f , alors _ _ _ _ _ _ _ _ _ On dit que x est un antécédent de y par f . Dans l'exemple cité plus ...

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Extrait

Seconde Chap 5 : Notion de fonction 1. Définition  Dest une partie de IR. Définir unefonctionsur D, c'est associer à chaque réelxde D, un réel et un seul appeléimagedex. D est appelél'ensemble de définitionde la fonction. Notations : ·On utilise généralement les lettresf ,g, h ... pour désigner une fonction. ·L'image d'un réelxparfest notéef(x) (on lit : "fdex"). · ¾ ¾ ® On écrira indifféremmentfplus simplement: DIR ouf: ½ ¾ ¾ ® xf(x) ¾ ¾ ® xf ½ (x)  pourdire que :fest la fonction de D dans Y qui à toutxde D associe le réelf(x). Exemple 1: Un appareil a permis de relever la température, de façon continue, de 6 heures à 22 heures pendant la même journée. t empérat ur e(en °C) 6 3 t emps(en h) J O I 12 20226 8 A chaque instantxl'intervalle [6 ; 22], on associe un unique résultat y : la de température à cet instant. S'il fait 11° C à 8 heures, alorsf(8) = 11 ; on dit que 11 est l'image de 8 parf. Compléter :f(10) =_ _ _ _f(17) =_ _ _ _ _ _f(22) = _ _ _ _ _ _ Quel est l'ensemble de définition def ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Vocabulaire : xest appelé lavariable. Dans l'exemple précédent la variable est_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  Siy est l'image dexparf, alors_ _ _ _ _ _ _ _ _  Ondit quexest unantécédentde y parf. Dans l'exemple cité plus haut, à quelle(s) heure(s) la température est–elle de 3°C ? _ _ _ _ _de –2°C ? _ _ _ BERTAUD MH – Seconde 5 – 25 ex – 27/11/2001page 1

On dit que 3 a pour antécédents_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ et que –2 a pour antécédents_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ½ ¾ ¾ ® Exemple 2 : On considèref:xx² + 2x– 3 ´  L'imagede 1 parfest le nombref(1) = 1² + 2 1 – 3 = 0  L'imagede 2 parfest le nombref(2) =  L'imagede – 10 parfest le nombref( – 10) =  L'(ou les) antécédent(s) de – 3 parfest (sont) le (les) nombre(s)xtel(s) quef(x)= – 3. Pour les déterminer, il faut donc résoudre l'équationx² + 2x– 3 = – 3. Les antécédents de – 3 parf.sont donc les nombres 2. Représentations graphiques (ou courbes représentatives). y  Achaque fonctionf, on peut associer sareprésentation graphiqueC (oucourbe représentative) dans un repère orthogonal C (O; I, J). C est l'ensemble des points M de coordonnées (x;f(x)), oùxest un réel de l'ensemble de définition def. x L'abscissexdécrit l'ensemble de définition D defet l'ordonnée y est l'image dexparf. propriété  Soitfune fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. Î Î M(x,y) Céquivaut àx Dety=f(x) –4x–3 Exemple 3: Soitfla fonction définie sur [–4 ; 7] parf(x.) = x² + 1 On veut tracer point par point la courbe représentative def. Pour cela, compléter le tableau de valeur suivant en utilisant la calculatrice.  page2

x4 6 71,5 20,5 1–0,5 0–3 –2 –1 –4 f(x)

3. Sens de variation d'une fonction. définition fest une fonction définie sur un intervalle I. ··Dire quef estcroissanteDire quesur If est décroissanteI sur signifie quepour tous réels a et bsignifie quepour tous réels a et b de I :de I:  sia < b alorsf(a)Âf(b) sia < b alorsf(a)Ãf(b) Conséquences Une fonction croissante conserveUne fonction décroissante "inverse" l'ordre :l'ordre : pour tous réels a et b de I,f(a) etpour tousréels a et b de I,f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre quef(b) sont rangés dans l'ordre contraire a et b.de a et b.

o a b

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o a b

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Remarque : Si, dans la définition, on remplace l'inégalitéf(a)Âf(b) (resp.f(a)Ãf(b)) parf(a) <f(b) (resp.f(a) >f(b)), on dit quefest strictementcroissante sur I (resp. strictementdécroissantesur I). Exemple 4 : On reprend la fonction de l'exemple 3. A l'aide du graphique, dire sur quel intervallefest croissante. Sur quel intervalle fest décroissante. On résume ces propriétés dans un tableau appelétableau de variationdef. x f 4. Notion de minimum et de maximum. définition  Soitfune fonction définie sur D son ensemble de définition.  Iest un intervalle contenu dans D etx 0 est un réel de I. ·£ Dire quef(x 0 ) est lemaximumdefsur I signifie que pour toutxde I,f(x)f (x 0 ). ·³ Dire quef(x 0 ) est leminimumdefsur I signifie que pour toutxde I,f(x)f (x 0 ) Exemple :les graphiques cidessous, on donne la représentation graphique des Sur fonctionsfet g. Compléter les phrases suivantes : Le maximum de la fonctionfsur [ 6; 7 ] est .....; il est atteint pourx= ..... Le minimum de la fonctionfsur [ 6; 7 ] est .....; il est atteint pourx= ..... Le maximum de la fonction g sur [ – 5 ; 7] est .....; il est atteint pourx= ..... Le minimum de la fonction g sur [ 5; 7 ] est .....; il est atteint pourx= .....

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Le maximum de la fonctionfsur [ 0 ; 5 ] est ....; il est atteint pourx= ... Le minimum defsur [0; 5] est ...; il est atteint pourx=

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