cours-Chap6-Repérage dans le plan-Vecteurs

Olivier

Description

Seconde Chap 6 : Repérage dans le plan. Vecteurs. 1. Repérage des points d’un plan. Un repère du plan est un triplet (O, I, J) de points non alignés. On dit que : J• O est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • la droite graduée de repère (O, I) est O_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I_ _ • la droite graduée de repère (O, J) est _ _ fi fi fi fiRemarque : Si on pose i=OI et j=OJ, le fi firepère se note aussi (O ;i ,j). Cas particuliers : • Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère (O, I, J) est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ • Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et OI = OJ = 1, on dit que le repère est _ _ _ _ _ _ _ théorème Dans un repère (O, I, J) du plan, tout point M est repéré par un unique couple (x ; y) de nombres réels. Ce sont les coordonnées de M dans le repère (O, I, J). x est l’abscisse de M, y est son ordonnée. propriétés • coordonnées du milieu d’un segment : Si A(x ; y ) et B(x ; y ) dans un repère quelconque, alors le milieu P de A A B B[AB] a pour coordonnées x + x y + yA B A B x = et y = P p2 2x + xA BRéciproquement, si les coordonnées de P vérifient x = et y = P p2y + yA B alors P est le milieu de [AB]. 2• distance entre deux points : Dans un repère orthonormé, si A(x ; y ) et B(x ; y ) alors AB = A A B B(x – x )² +(y – y )² B A B A Exercice ?fi ?fiDans un repère (O; i, j), on donne A(1 ; 3) et B(–1 ; –1) et C(3 ; 2). ...

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Extrait

Seconde Chap 6 : Repérage dans le plan. Vecteurs. 1.Repérage des points d’un plan .  Unrepère du plan est un triplet (O, I, J) de points non alignés. On dit que : · J O est_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ ·la droite graduée de repère (O, I) est O _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I ·la droite graduée de repère (O, J) est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ® ¾®® ¾® Remarque: Si on posei=OIetj=OJ, le ® ® repère se note aussi (O ;i,j). Cas particuliers: ·Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère (O, I, J) est _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ·Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et OI = OJ = 1, on dit que le repère est _ _ _ _ _ _ _ théorème Dans un repère (O, I, J) du plan, tout point M est repéré par un unique couple (x; y) de nombres réels. Ce sont lescoordonnéesde M dans le repère (O, I, J). xest l’abscissede M, y est sonordonnée. propriétés ·coordonnées du milieu d’un segment : Si A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) dans un repère quelconque, alors le milieu P de [AB] a pour coordonnées x A +x B y A +y B x P = ety p = 2 2 x A +x B Réciproquement, si les coordonnées de P vérifientx P = ety p = 2 y A +y B alors P est le milieu de [AB]. 2 ·distance entre deux points :  Dansun repèreorthonormé, si A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) alors AB = (x B –x A )² +(y B –y A )² Exercice ¾® ¾® Dans un repère (O; i, j), on donne A(1 ; 3) et B(–1 ; –1) et C(3 ; 2). 1°) Calculer les coordonnées de I milieu de [BC]. 2°) Démontrer que ABC est un triangle rectangle.

BERTAUD MH – Seconde 3 – 28 ex – 17/12/2002

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2. Vecteurs. ¾® Etant donnés deux points distincts A et B, on peut définir le vecteurABet le ¾® vecteurBA ¾® LevecteurABest caractérisé par : · · · ¾® A est ...................... du vecteurABet B son .............................. ¾® Remarque : la longueur du vecteurABest aussi appelée lanormedu vecteur. On la ¾® || || noteAB . Cas particulier : Si A et B sont confondus, alors le vecteur a pour norme 0; on dit alors que c'est levecteur nul. ¾® On le note 0. ¾® ¾®¾® ¾® On dit queBAest levecteur opposédeAB; on noteBA= –AB 2.1. Comment reconnaître des vecteurs égaux?  définition ¾ ¾ ®¾ ¾ ®  Ondit que les vecteurs non nulsAB et CD sontégaux s'ils ont : · · · Remarque : Tou ¾ ¾ s ® les vecteurs ayant la même direction, le même sens et la même ¾® longueur ¾® être notés plus simplement par u. Pour représenter unque AB peuvent vecteur u non nul, on le dessine à partir de deux points du plan auxquels on ne donne pas nécessairement de nom. Exercice : Parmi les vecteurs représentés cicontre : ¾® ® ® 1°) Donner un vecteur égal à u ® k ® .t ® u k 2°) Trouver un vecteur nul. t ® su 3°) Trouver u ¾ n ® vecteur non nul, s différent ¾® de umais de même ® sens que u ® ® v ® ® ® v j 4°) Trouver un vecteur non nul, de même direction mais pas de j ¾® ® même sens que u. ® 5°) Trouve ¾ r ® un vecteur de mêmei norme que umais pas de même i direction. page 2

Figures géométriques où on a une égalité de vecteurs. Le parallélogramme ¾ ¾ ®¾ ¾ ® Dire queAB = DC signifieque ABCD est un parallélogramme Figure : Sur la figure ¾¾ ® ci ¾ ¾ d ® essous, construire : A – D tel que ¾ A ¾ D ® = ¾ C ¾ B ® – E tel que ¾ E ¾ C ® = ¾ A ¾ B ® – F tel queBF = AC C B Le milieu d'un segment ¾ ¾ ®¾ ¾ ® Dire queAI = IB signifieque I est le milieu de [AB] Figure : Avec les données de l'exercice précédent, démontrer que A est le milieu de [ED]. 2.2. Comment additionner des vecteurs?  définition B ¾®  Etantdonnés trois points A, B et C, la somme des vecteursABet ¾® ¾® A BCest le vecteurAC. ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®  Onécrit AB + BC = AC. C  Cetteégalité est appelée larelation de CHASLES. Construction du vecteur somme ·Cas de deux vecteurs quelconques: C B ¾® ¾®  PourconstruireAB+CD, on peut utiliser la relation de Chasles ¾ ¾ ®¾ ¾ ® en plaçant le ¾¾ ® point ¾ ¾® E te ¾ l ¾® que ¾ B ¾ E ® = ¾ C ¾ D ® .  Ona alors :AB + CD = AB + BE = AE A D page 3

·Cas de deux vecteurs de même origine :  règledu ¾¾ ® par ¾ a ¾ l ® lélogramme B  Pourconstruire AB + AD, on se ramène à la relation de Chasles ¾ ¾ ®¾ ¾ ® en construisant C tel queBC = AD.  ABCDest alors un parallélogramme de diagonale [AC] A Soustraction de deux vecteurs D  Soustraireun vecteur, c'est ajouter son opposé. ¾ ¾ ®¾ ¾ ® Exemples :AB – AC = ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®  AB+ AC – DB + CB = 4.Comment multiplier un vecteur par un nombre?  définition ¾® ¾®  Etantdonnés un vecteur uet un réel k, on appelle produit du vecteur upar le réel ¾® ¾® k, le vecteur w, noté k uayant les caractéristiques suivantes : ¾® · siu n'estpas le vecteur nul : ¾® ¾®  –si k = 0alors w= 0 ¾® ¾®  –si k > 0alors uet w ont la même direction, le même sens et la ¾® ¾® longueur de west le produit par k de la longueur de u. ¾® ¾®  –si k < 0alors uet w ont la même direction, sont de sens contraire et ¾® ¾® la longueur de west le produit par – k de la longueur de u. ¾® ¾® ¾® · siu estle vecteur nul alors w= 0. Exemples : Construire les points C, D, EFet G tels que : ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ® 1 34 AC =– 2AB ;AD =3 AB; AE= –AB ; CF= AB ; DG= –CB 2 23 A B ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾®¾ ¾ ®¾ ¾ ® ´ ´´ Cas particuliers : 1AB = AB; (–1) AB= –AB =BA ;0 AB= 0 Règles de calculs ¾® ¾® Que ¾ l ® s qu ¾® e soien ¾ t ® les v ¾® et v et les réels a et b, on a :ecteurs u a (u+ v ¾® ) = a ¾® au + ¾® v (a + ¾ b ® ) u= a u ¾® + b u a (b ¾ u ® ) = ¾® (ab) u ¾® ¾® Si k u= 0 alors k = 0 ou u= 0. Exemp ¾® les : ¾® ¾®¾®  3u +5 (u– v) +2 v= page 4

¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®  Del'égalité 5AB =3 CD, on peut déduire queAB =.......... ou encoreCD = .......... ¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®¾ ¾ ®  Del'égalité 2AB +8 CD =3 AB ,on peut déduire que : 8CD = ..................... = ........... 3. Coordonnées d’un vecteur. définit ¾® ion ¾® Soit (O; i, j) un repère du plan. ® Les coordonnées d’un vecteurusont les coordonnées du point M tel que y M ¾® ® u OM=u.  théorème ·Si A et B sont les points de j coordonnées A(x A ;y A ) et B(x b ;y B ), alors le O o i x ¾® vecteurABa pour coordonnées :  (x B –x A ;y B –y A ) Exercice ¾® ¾® ¾® ¾® ¾® ¾® ¾® ¾ ® 1°) Lire les coordonnées des vecteurs u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 , u 8 donnés sur la figure ci–dessous. u ur 7 ur u 3 u u r 1 ur u j 1 i ur u ur 4 u 2 u u r 6 u ur 5 ® ® ®® 2°) Lireles coordonnées des vecteursu,v,wet x. ® ®® u ® v j w ® i ® x page 5

· ® ® uetvsont les vecteurs de coordonnées : ® ® u(x; y) etv(x’ ; y’). ® ® Dire queu=vsignifie quex=x’ et y = y’. (Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées) ® ® u+va pour coordonnées (x+x’ ; y + y’). ® kua pour coordonnées (kx; ky). ¾® ¾® Exemple(–3 ; 5) et v(2 ; 4): On donne u ¾® ¾®¾® ¾®¾® ¾®  Calculerles coordonnées de u+ v ; –3 u; 5 v; –2 u+ 3 v 4. Vecteurs colinéaires.  définition ® ®  Direque deux vecteursuetvnon nuls sont colinéaires signifie ® ® qu’il existe un réel k non nul, tel quev=ku. Remarques : ·Deux vecteurs colinéaires ont même _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ®® ·0= 0u: par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.  Vecteurscolinéaires et points alignés Dire que A, B et C sont trois points alignés équivaut à dire que_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  Vecteurscolinéaires et droites parallèles Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à dire que _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  Expressionanalytique de la colinéarité ¾® ¾® Soit deux vec ¾ t ® eurs ¾® u (x; y) et v(x' ; y') Les vecteurs uet v sont colinéaires si et seulement si _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) page 6

3 ¾® ¾®¾® ¾® Exercice 1: On donne u( ;2) et vet v sont–ils3). Les vecteurs u( 2 ; 2 colinéaires ? 5 Exercice 2). Les points A, B et C sont–ils: On donne A(2 ; 4), B(6 ; –2) et C(3 ; 2 alignés ? 7 63 Exercice 3Les droites (AB) et; ).; 3), C(–3 ; 2) et D(: On donne A(–1 ; 4), B( 2 52 (CD) sont–elles parallèles ?

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