Cours - Fonctions circulaires

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• Publié par: Nething
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• Langue: Français

Extrait

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c Christophe Bertault - MPSI
Fonctions circulaires
Définition (Fonctions sinus et cosinus)
• Définition analytique : L’existence des fonctions sinus et cosinus est admise. Ces fonctions sont définies et dérivables
(donc continues) surR et 2π-périodiques. La fonction sinus est impaire, la fonction cosinus paire et en outre :
′ ′
sin = cos et cos =−sin.
y = cosxy = sinx
3π 3π
2 2
π π π π2π 2π
2 2
• Lien avec le cercle trigonométrique :
2 2Pour toutx∈R : sin x+cos x = 1.
2 2 2Réciproquement, pour tout couple (x,y)∈R tel que x +y = 1, il existe θ∈R, sinx
uniqueà2π près,telque(x,y) = (cosθ,sinθ).Géométriquement,cerésultatsignifie x
que tout point du cercle trigonométrique peut être écrit sous la forme (cosθ,sinθ)
cosxavec unicité du θ à 2π près.
• Résolution d’équations : Pour tous x,y∈R :
sinx = siny ⇐⇒ x≡y mod 2π ou x≡π−y mod 2π

cosx = cosy ⇐⇒ x≡y mod 2π ou x≡−y mod 2π
• Transformations remarquables : Pour toutx∈R :
π π
sin(x+π) =−sinx sin(π−x) = sinx sin x+ = cosx sin −x = cosx
2 2
π π
cos(x+π) =−cosx cos(π−x) =−cosx cos x+ =−sinx cos −x = sinx
2 2
Ces relations se lisent toutes sur le cercle trigonométrique. Il ne faut donc pas les apprendre bêtement, mais les comprendre.
• Formules d’addition et de produit : Pour tous x,y∈R :
x+y x−y
sinx+siny = 2sin cos 2 21sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny
sinxsiny = cos(x−y)−cos(x+y)
2 x+y x−y
sinx−siny = 2cos sinsin(x−y) = sinxcosy−cosxsiny 2 21
sinxcosy = sin(x+y)+sin(x−y)
2 x+y x−ycos(x+y) = cosxcosy−sinxsiny cosx+cosy = 2cos cos 2 21
cosxcosy = cos(x+y)+cos(x−y)cos(x−y) = cosxcosy +sinxsiny 2 x+y x−y
cosx−cosy =−2sin sin
2 2
• Formules de duplication : Pour tout x∈R :
2 2 2 2sin(2x) = 2cosxsinx, cos(2x) = cos x−sin x = 2cos x−1 = 1−2sin x,
1−cos(2x) 1+cos(2x)
2 2sin x = et cos x = .
2 2
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c Christophe Bertault - MPSI
Définition (Fonction tangente)

π sin• La fonction tangente est définie sur Rr +πZ par la relation : tan = . Elle est dérivable (donc continue)
2 cos
sur son ensemble de définition, π-périodique et impaire, et de plus :
1
′ 2tan = 1+tan = .
2cos
y = tanx
tanxsinx
x
π π π π− cosx
2 2
Les formules suivantes sont vraies pour toutes les valeurs dex et y pour lesquelles chaque terme est bien défini.
• Résolution d’équations :
tanx = tany ⇐⇒ x≡y mod π.
• Formules d’addition et de duplication :
tanx+tany tanx−tany 2tanx
tan(x+y) = , tan(x−y) = et tan(2x) = .
21−tanxtany 1+tanxtany 1−tan x
x x• Expressions en fonction de tan : Si on pose t = tan :
2 2
22t 2t 1−t
tanx = , sinx = et cosx = .
2 2 21−t 1+t 1+t
π π π π
x 0
6 4 3 2
√
11 3√sinx 0 1
2 2 2 Les valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente
√ doivent être connuespar cœur!1 13cosx √1 0
2 22
1 √√tanx 0 1 3 $3
Théorème Soient a et b deux réels. Il existe ϕ∈R et ψ∈R tels que :
p p
2 2 2 2∀θ∈R, acosθ+bsinθ = a +b cos(θ+ϕ) = a +b sin(θ+ψ).
Attention : ϕ et ψ dépendent dea et b, mais pas deθ.
Explication Nous aurons l’occasion d’utiliser souvent ce théorème : en physique, en géométrie, dans le chapitre
« Equations différentielles »...
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c Christophe Bertault - MPSI
Démonstration Si a =b = 0, le résultat est trivial : toute valeur de ϕ (resp. ψ) convient. Nous pouvons donc
2 2supposer (a,b) = (0,0), i.e. quea +b = 0.
a b
2 2• Existence de ϕ : Posonsx = √ ety =−√ . Commex +y = 1, on peut écrire (x,y) sous
2 2 2 2a +b a +b
la forme (cosϕ,sinϕ) pour un certain ϕ∈R. Du coup, pour tout réel θ :
p pa b
2 2 2 2acosθ+bsinθ = a +b √ cosθ+√ sinθ = a +b xcosθ−ysinθ
2 2 2 2a +b a +b p p
2 2 2 2= a +b cosθcosϕ−sinθsinϕ = a +b cos(θ+ϕ).
b a
2 2• Existence de ψ : Posons x = √ et y = √ . Comme x +y = 1, on peut écrire (x,y) sous
2 2 2 2a +b a +b
la forme (cosψ,sinψ) pour un certain ψ∈R. Du coup, pour tout réel θ :
p pa b
2 2 2 2acosθ+bsinθ = a +b √ cosθ+√ sinθ = a +b ycosθ+xsinθ
2 2 2 2a +b a +b p p
2 2 2 2= a +b cosθsinψ +sinθcosψ = a +b sin(θ+ψ).
√ √ √ π
Exemple Pour tout θ ∈ R : 2cosθ + 6sinθ = 2 2sin θ + . Interprétation physique : la somme des signaux
6√ √ √ π
sinusoïdaux θ→ 2cosθ et θ→ 6sinθ est encore un signal sinusoïdal, de nouvelle amplitude 2 2 et déphasé de .
6 √ π
2 2sin θ +
6√ √
2cosθ 6sinθ
√
2 2
√ √2 6 π
6
q√ √ √ √2 2
En effet Tout d’abord : 2 + 6 = 8 = 2 2. Du coup, pour toutθ∈R :
√ √ √ √ √ √1 3 π π π
2cosθ + 6sinθ = 2 2 cosθ+ sinθ = 2 2 sin cosθ+cos sinθ = 2 2sin θ+ .
2 2 6 6 6
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