Cours - Introduction a l'algebre lineaire

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c Christophe Bertault - MPSI
Introduction à l’algèbre linéaire
Dans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est un
corps quelconque — à l’exception de ceux du paragraphe sur les symétries.
La notion d’espace vectoriel introduite dans ce chapitre est un nouvel exemple fondamental de structure algébrique — après
les groupes, les anneaux et les corps. Cependant, alors que vous n’aviez pratiquement rien à savoir sur les groupes, les anneaux
et les corps, on exige de vous au contraire que vous sachiez tout — ou presque — sur les espaces vectoriels en fin de seconde
année.
Comme nous le verrons, la notion d’espace vectoriel généralise, comme son nom l’indique, les notions de vecteurs du plan
et de l’espace introduites au lycée. Malheureusement pour vous qui débutez, elle les généralise tellement qu’on peut parfois ne
pas comprendre quel rapport il y a entre nos petits vecteurs avec des flèches et les vecteurs tels que nous allons les pratiquer
à présent. Vous devez toutefois vous forcer à vous représenter le plus possible les résultats des espaces vectoriels en général au
moyen des concepts de la géométrie classique que vous connaissez; sans cela vous êtes perdus.
La théorie mathématique dont l’objet d’étude est la structure d’espace vectoriel s’appelle l’algèbre linéaire.
1 Espaces vectoriels
1.1 Définition
Définition (Espace vectoriel) On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K tout triplet (E,+,) vérifiant les
propriétés suivantes :
• (E,+) est un groupe commutatif dont l’élément neutre est noté 0 ou 0 et appelé le vecteur nul de E;E
• est une application deK×E dans E : à partir d’un réel λ et d’un élément x de E, fournit un nouvel élément de E
noté λx ou plus simplement λx — les notations xλ et xλ sont interdites; par définition, cette application doit satisfaire
les propriétés suivantes :
1) pour tout x∈E : 1x =x ;
2) pour tout λ∈K et pour tous x,y∈E : λ(x+y) = (λx)+(λy) ;
3) pour tous λ,∈K, et pour tout x∈E : (λ+)x = (λx)+(x) ;
4) pour tous λ,∈K, et pour tout x∈E : λ(x) = (λ)x.
Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi, qui n’est pas une loi de composition interne sur E
puisqu’à travers elle des éléments deK agissent sur des vecteurs, est qualifiée de loi externe. En tant qu’ils agissent via sur les
vecteurs de E, les éléments deK sont appelés des scalaires. La loi + est appelée addition et la loi est appelée multiplication par
un scalaire. Le corpsK est qualifié de corps de base pour E.
Sachez que la plupart des mathématiciens ne mettent jamais de flèches au-dessus de leurs vecteurs, sauf quand ils font de la
géométrie dans le plan et dans l’espace comme vous en avez fait jusqu’ici. Finies les flèches!
Théorème Soit E unK-espace vectoriel.
∀x∈E, 0x = 0E
(i) Pour tousλ∈Ketx∈ E : λx = 0 ⇐⇒ λ = 0 ou x = 0 . Enparticulier : .E E ∀λ∈K, λ0 = 0E E
(ii) Pour tout x∈E : −x = (−1)x, où−x est l’opposé de x dans E et−1 l’opposé de 1 dansK.
Démonstration
• Soit x∈E. Alors 0x = (0+0)x = 0x+0x, et donc après simplification dans le groupe (E,+) d’élément
neutre 0 : 0x = 0 .E E
• Soit λ∈K. Alors λ0 =λ(0 +0 ) =λ0 +λ0 , et donc après simplification : λ0 = 0 .E E E E E E E
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• Soient λ∈K et x∈E. Montrons à présent que si λx = 0 et si λ = 0, alors x = 0 .E E
1 1 1
x = 1x = ×λ x = (λx) = 0E = 0E. L’assertion (i) est ainsi démontrée.
λ λ λ
• Enfin,pourl’assertion(ii),soitx∈ E.Alors: (−1)x+x =x+(−1)x = 1x+(−1)x = (1−1)x = 0x = 0 ,E
donc en effet−x = (−1)x.
Explication Mais pourquoi les mathématiciens ont-ils appelé « vecteurs » les objets que nous venons de définir?
L’idée provient simplement du fait que les propriétés données dans la définition des espaces vectoriels sont des propriétés très
naturelles des vecteurs. Dans notre chapitre sur les structures algébriques, nous avons déjà montré que l’ensembleV des vecteurs
du plan (ou de l’espace) est un groupe abélien. Les figures ci-dessous représentent deux des propriétés de l’addition et de la
multiplication par un scalaire surV qui font deV unR-espace vectoriel.
~v ~u+~v ~v
(~u+~v)+w~ =~u+(~v +w~)~u ~u
~v +w~
(~u+~v)+w~ ~u+(~v +w~)
w~ w~ 2(~u+~v)2~u+2~v
2~u
2~u+2~v = 2(~u+~v) ~u+~v
~u ~u
~v 2~v ~v
La représentation des espaces vectoriels au moyens de vecteurs « concrets » sera utilisée très souvent. Cette possibilité de
représenter en deux ou trois dimensions les espaces vectoriels les plus généraux sera justifiée par la grande similarité de tous
les espaces vectoriels entre eux. Je ne vous conseillerai jamais assez de vous représenter géométriquement les définitions et les
théorèmes de l’algèbre linéaire.
1.2 Exemples fondamentaux
Les exemples présentés dans ce paragraphe sont essentiels et nous serviront régulièrement par la suite.
Exemple (K,+,×) est unK-espace vectoriel.
En effet Cela résulte directement de la définition des corps. Il suffit de considérer la multiplication× sur K
comme une loi de composition externe. On a alors toutes les propriétés voulues sans aucun travail.
∗Théorème (Espace vectoriel produit) Soient n∈ N et E ,E ,...,E des K-espaces vectoriels. On munit l’ensemble1 2 n
E ×E ×...×E de deux lois + et en posant, pour tous λ∈K et (x ) ,(y ) ∈ E ×E ×...×E :1 2 n k 16k6n k 16k6n 1 2 n
(x ) +(y ) = (x +y ) et λ(x ) = (λx ) .k 16k6n k 16k6n k k 16k6n k 16k6n k 16k6n
Alors (E ×E ×...×E ,+,) est unK-espace vectoriel. Ici, 0 = (0 ,0 ,...,0 ).1 2 n E ×E ×...×E E E E1 2 n 1 2 n
Démonstration
• Nous savons déjà que (E ×E ×...×E ,+) est un groupe commutatif en tant que groupe produit de1 2 n
groupes commutatifs.
• Soit (x ) ∈E ×E ×...×E . Alors : 1(x ) = (1x ) = (x ) .k 16k6n 1 2 n k 16k6n k 16k6n k 16k6n
• Soient λ∈K et (x ) ,(y ) ∈E ×E ×...×E .k 16k6n k 16k6n 1 2 n
λ (x ) +(y ) =λ(x +y ) = λ(x +y ) = λx +λyk 16k6n k 16k6n k k 16k6n k k k k
16k6n 16k6n
= (λx ) +(λy ) = λ(x ) +λ(y ) .k 16k6n k 16k6n k 16k6n k 16k6n
• Les autres axiomes de la structure d’espace vectoriel se vérifient aussi facilement.
n foisz }| {
n ∗ nExemple (Espaces vectoriels K , n∈N ) La construction précédente munit en particulierK =K×K×...×K d’une
∗structure deK-espace vectoriel pour tout n∈N .
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Théorème (Espace vectoriel d’applications) Soient X un ensemble non vide et E un K-espace vectoriel. On munit
X Xl’ensemble E des applications de X dans E de deux lois + et; si f,g∈ E et si λ∈K, les applications f +g et λf sont
définies par :
∀x∈X, (f +g)(x) =f(x)+g(x) et (λf)(x) =λ f(x) .
XAlors E ,+, est unK-espace vectoriel. Ici, 0 est l’application nulle x→ 0 de X dans E.X EE
Démonstration
X• Montrons que + est associative. Soient f,g,h∈ E . Pour tout x∈ X :
(f +g)+h (x) = (f +g)(x)+h(x) = f(x)+g(x) +h(x) =f(x)+ g(x)+h(x) par associativité de (E,+)
=f(x)+(g +h)(x) = f +(g +h) (x). Cela montre bien que (f +g)+h =f +(g +h).
X• Montrons que + est commutative. Soient f,g∈E . Pour tout x∈X :
(f +g)(x) =f(x)+g(x) =g(x)+f(x) = (g +f)(x) par commutativité de (E,+).
Cela montre bien que f +g =g +f.
• Iln’estpasplusdifficiledemontrerquel’application nulle 0 estélémentneutrepour +etquetoutélémentXE
Xde E possède un opposé pour +.
X• Soit f∈E . Montrons que 1f = f. Or pour tout x∈E : (1f)(x) = 1 f(x) =f(x).
• Les autres axiomes de la structure d’espace vectoriel se vérifient aussi facilement.
Exemple (Fonctions et suites)
I• Pour tout intervalle I de R, l’ensemble K des applications de I dans K est un K-espace vectoriel pour les opérations
naturelles d’addition et de multiplication par un scalaire.
N• L’ensemble K des suites à coefficients dans K est un K-espace vectoriel pour les opérations naturelles d’addition et de
multiplication par un scalaire.
XEn effet Ces exemples sont deux cas particuliers des espaces vectoriels d’applications « E » présentés
précédemment — ici, E est leK-espace vectorielK. Il faut bien sûr savoir qu’une suite n’est qu’une application de
N dansK; la notation (u ) désigne l’application qui à n associe u pour tout n∈N.n nn∈N
Exemple (Polynômes) K[X] est unK-espace vectoriel pour l’addition et la multiplication par un scalaire usuelles.
En effet Nous savons déjà que K[X],+ est un groupe commutatif. Les autres axiomes de la structure d’espace
vectoriel se vérifient aisément.
Exemple ToutC-espace vectoriel est aussi unR-espace vectoriel.
En effet Si E est un C-espace vectoriel, alors λx est défini pour tout λ∈ C et x∈ E; λx est donc en
particuli