Cours MCM3

Raison

Description

Probabilités et statistiques dans le traitement de données expérimentales S. LESECQ, B. RAISON – IUT1, GEII 1Module MC-M1 – 2009-20101II - ProbabilitésModule MC-M1 – 2009-20102Plan de cette partie Notion de probabilité Définition et propriétés des probabilités Axiomes des probabilités Théorème de BayesCours MC-M1 – B. RAISON - GEII 1 / 2009-20103Notion intuitive de probabilitéOn se place dans le cas d’un ensemble d’événements équiprobables en nombre fini.xΩxL’ensemble des probables Ω englobe la x xxtotalité des N éventualités ou résultats x x xxx xpossibles (c’est-à-dire éléments de Ω).xxxx x xxx xx xxx xx xxxxx x1er niveau : les N éventualités sont x xxxéquiprobables. On attribue ainsi à chacune la x x xx xprobabilité 1/N.x xx xxx xxExemple : Quelle est la probabilité de tirer un valet de carreau dans un jeu de cartes de 52 cartes ?Cours MC-M1 – B. RAISON - GEII 1 / 2009-20104Notion intuitive de probabilitéOn se place dans le cas d’un ensemble d’événements équiprobables en nombre fini.2ème niveau : on appelle A un sous-xΩxx xensemble de Ω comportant plusieurs xx x xéventualités en nombre NA.xx xxxxx x xLa probablité d’un événement A est alors xx xx xdéfinie par :xx xNx xAxxPr(A) =xx xN x xxxx x xAx xx xx xxx xxExemple : Quelle est la probabilité de tirer un roi dans un jeu de cartes de 52 cartes ?Cours MC-M1 – B. RAISON - GEII 1 / 2009-20105WVariable aléatoire ...

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Extrait

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S. LESECQ, B. RAISON – IUT1, GEII 1

Module MC-M1 – 2009-2010

1

 

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Module MC-M1 –

2009-2010

2

   









Notion de probabilité

Définition et propriétés des probabilités

Axiomes des probabilités

Théorème de Bayes

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   

On se place dans le cas d’un ensemble d’événements équiprobables en nombre fini.

L’ensemble des probables  englobe la totalité des N éventualités ou résultats possibles (c’est-à-dire éléments de  ).

1er niveau : les N éventualités sont équiprobables. On attribue ainsi à chacune la probabilité 1/N.

Exemple : Quelle est la probabilité de tirer un valet de carreau dans un jeu de cartes de 52 cartes ?

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 x x x  x x x x  x x x  x x x  x  x x x x x x  x  x x xx x x x x x x  x  x x x x x x x x x  x x x x x x  x x

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   

On se place dans le cas d’un ensemble d’événements équiprobables en nombre fini.

2ème niveau : on appelle A un sous- ensemble de  comportant plusieurs éventualités en nombre N A.

La probablité d’un événement A est alors définie par : N Pr( A ) 1 N A

Exemple : Quelle est la probabilité de tirer un roi dans un jeu de cartes de 52 cartes ?

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 x x x  x x x x  x x x  x x x x x  x x x x x  x x x xx xx x x x x  x  x x x x x  x x A x x  x x x x x x  x x

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   

Lorsque le résultat d’une observation ne peut pas être prédit avec certitude , celui-ci est décrit par une variable aléatoire X (dont les valeurs, ou réalisations , sont notées x ) prenant ses valeurs dans  (Univers) .

Les sous-ensembles de  , appelés événements E, sont munis d’une mesure P (pour probabilité).

Qualitativement la probabilité exprime le degré de « chance » d’obtenir la réalisation de l’événement A .

Quantitativement , dans une épreuve où tous les événements sont équiprobables on définit : P ( A ) 1 nombre d d e cas f p a o v s o s r i a b b l l e e s s 1 n n A 1 car n d A ( W ) nombre e cas

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      

 Si A est un événement qui n’existe pas dans l’ensemble  alors N A = 0 et donc Pr(A) = 0.

 D’où 0 ≤ Pr(A) ≤ 1  

 Si on considère comme événement la totalité des éventualités, N A = 1 et donc Pr(A) = 1.  A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  x A x x x x x x x x x  x x x  x  x  x  x x x xx

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     

A

B

 Soient A et B deux sous-ensembles disjoints c’est-à- dire comportant des éléments distincts. On dit que l’intersection est de A et de B est vide :

 Dans ce cas :

A Ç B 1 Σ Υ

Pr ( A Ç B ! 1 Pr ( A et B ! 1 Pr ( A & B ! 1 0

 Alors : Pr ( A È B ! 1 Pr ( A ou B ! 1 Pr ( A # B ! 1 Pr( A ) # Pr( B )

Exemple : dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer un habillé ou un 10 ?

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     

A

 L’intersection de A et de B est non vide. La probabilité d’avoir à la fois l’événement A et l’événement B n’est pas nulle :

Pr ( A Ç B ! 1 Pr ( A et B ! 1 Pr ( A & B ! ¹ 0

B

 Alors pour obtenur la probabilité de l’union, on doit retrancher la contribution de l’intersection :



Pr ( A È B ! 1 Pr ( A ou B ! 1 Pr ( A # B ! 1 Pr( A ) # Pr( B ) % Pr ( A & B !

Exemple : dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer un roi ou un coeur ?

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      

 Cet axiome permet de répondre à une question du type : « quelle est la probabilité de l’événement A lorsque l’événement B est réalisé ? »  Par exemple, ayant tiré un carreau, quelle est la probabilité pour que ce soit une carte supérieure ou égale au 10 ?

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     

 On note Pr(A/B) la probabilité de A sachant que B est réalisé. On l’appelle encore probablilité conditionnelle de A si B est réalisé (ou vrai). Pr ( A / B ! 1 Pr( A ( e B tB ) 1 Pr( Pr A ( & B ) B ) Pr )

 Remarquons que les événements A et B sont nécessairement compatibles puisqu’ils peuvent être réalisés simultanément.

Exemple : dans un jeu de 52 cartes, ayant tiré un carreau, quelle est la probabilité pour que ce soit une carte supérieure ou égale au 10 ?

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