COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Chapitre 7ondes électromagnétiques dans le vide1180 7.1 Résumé de courséquation d’onde à une dimensionUne onde est un champ, scalaire ou vectoriel, dans un domaineD de l’espacedont les dépendances spatiales et temporelles sont couplées par une équationaux dérivées partielles.Une onde est dite unidimensionnelle si on peut choisir un axe Ox tel ques(M;t) = s(x;t). La grandeur s(M, t ) a la même valeur dans tout planperpendiculaire à l’axe Ox, appelé plan d’onde ; on parle alors d’onde plane.Une onde est dite longitudinale lorsque la perturbation se produit dans la mêmedirection que la direction de propagation ; elle est dite transversale lorsque laperturbation se produit perpendiculairement à la direction de propagation ;L’évolution de l’onde est régie par l’équation d’onde, ou équation ded’Alembert :2 2¶ s 1 ¶ s2 2 2¶x v ¶xLa constante v dépend des caractéristiques du milieu de propagation.Solutions de l’équation d’onde unidimensionnelleL’équation d’onde admet des solutions particulières de la forme1185 s(x;t) = f(x vt) et s(x;t) = g(x+vt) Chacune de ces fonctions décrit uneonde progressive, c’est-à-dire une onde qui se propage selon Ox sans sedéformer, à la vitesse v, appelée vitesse de propagation ou célérité de l’onde.La fonction f(x vt) correspond à une onde se propageant dans le sens des xcroissants ; la fonction g(x+vt) correspond à une onde se propageant dans le1190 sens des x décroissants. La célérité dune onde dépend des ...

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Chapitre 7

ondes lectromagntiques dans le vide

7.1 Rsumde cours 1180 quation d’onde À une dimension Une onde est un champ, scalaire ou vectoriel, dans un domaineD de l’espace dont les dÉpendances spatiales et temporelles sont couplÉes par une Équation aux dÉrivÉes partielles. Une onde est dite unidimensionnelle si on peut choisir un axe Ox tel que s(M,t) =s(x,t). La grandeur s(M, t ) a la mme valeur dans tout plan perpendiculaire À l’axe Ox, appelÉ plan d’onde; on parle alors d’onde plane. Une onde est dite longitudinale lorsque la perturbation se produit dans la mme direction que la direction de propagation; elle est dite transversale lorsque la perturbation se produit perpendiculairement À la direction de propagation; L’Évolution de l’onde est rÉgie par l’Équation d’onde, ouquation de d’Alembert: 2 2 ∂s1∂s − 2 22 ∂x v∂x La constante v dÉpend des caractÉristiques du milieu de propagation. Solutions de l’quation d’onde unidimensionnelle L’Équation d’onde admet des solutions particuliÈres de la forme s(x,t) =f(x−vt)ets(x,t) =g(x+vt)Chacune de ces fonctions dÉcrit une 1185 onde progressive, c’est-À-dire une onde qui se propage selon Ox sans se dÉformer, À la vitesse v, appelÉe vitesse de propagation ou cÉlÉritÉ de l’onde. La fonctionf(x−vt)correspond À une onde se propageant dans le sens des x croissants ;la fonctiong(x+vt)correspond À une onde se propageant dans le sens des x dÉcroissants. 1190 ♠La cÉlÉritÉ dune onde dÉpend des caractÉristiques dumilieu de propagation. 62

AMAMI MP-PC14 dcembre 2009 x ♠Les ondes progressives peuvent aussi semettre sous la formeφ(t−)et v x ψ(t+ ) v ♠Ces solutions sont appelÉes ondes planes progressives (OPP). La solution gÉnÉrale de l’Équation de d’Alembert peut s’Écrire comme 1195 la superposition de deux ondes progressives de sens de propagation opposÉs :s(x,t) =f(x−vt) +g(x+vt) Les fonctions f et g ne sont pas dÉterminÉes par l’Équation d’onde mais par les conditions initiales et les conditions aux limites : -une source Émet une onde progressive qui s’Éloigne d’elle; 1200 -si l’onde se rÉflÉchit À une extrÉmitÉ du milieu de propagation, elle donne naissance À une onde progressive de sens de propagation opposÉ. ♠La sommef(x−vt) +g(x+vt)des deux ondes progressives n’est pas une onde progressive. 1205 Ondes planes progressives harmoniques Une onde est dite pÉriodique sis(x,t)est une fonction pÉriodique du temps. Une onde est dite harmonique sis(x,t)est une fonction sinusodale du temps. L’amplitude d’une onde plane progressive (dans le sens des x croissants) harmonique (OPPH) s’Écrit 1210 x s(x,t) =s 0 cosω[(t−) +φ 0 ] v 2π La pÉriode temporelle de l’onde estT= ω 2πv La pÉriode spatiale de l’onde, appelÉe longueur d’onde, estλ= ω On retiendraλ=vT t x ♠on peut Écrires(x,t) =s 0 cos[2π(−) +φ 0 ]On dÉfinit le vecteur d’onde T λ d’une OPPH dans le sens des x croissants par −→ 2π −→ k=e x λ L’amplitude de l’onde peut s’Écrire s(x,t) =s 0 cos(ωt−kx) +φ 0 ] −→ −→−→ ♠Elle peut Écrire plus gÉnÉralements(x,t) =s 0 cos(ωt−k.r) +φ 0 ]our= −→ OM ♠La phase instantanÉe de l’onde estωt−kx+φ 0 . ♠La linÉaritÉ de l’Équation de d’Alembert permet l’utilisation de la notation complexe : s(x,t) =s 0 expj(ωt−kx+φ 0 ) 2009/2010page 63http://chimiephysique.hautetfort.com/

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On as(x,t) =Re(s(x,t)). 1215 ♠La cÉlÉritÉ v de l’onde, appelÉe aussi vitesse de phase vÉrifie la relation de ω dispersionk= v ♠On peut aussi utiliser la notations(x,t) =s 0 cos(kx−ωt+φ 0 ). ♠L’utilisation des OPPH est justifiÉe par la linÉaritÉ de l’Équation de d’Alembert et la dÉcomposition d’une fonction pÉriodique en sÉrie de Fourier : 1220 une onde pÉriodique peut se dÉcomposer comme combinaison linÉaire d’OPPH. ♠Lorsque la cÉlÉritÉ d’une OPPH dÉpend de la pulsationωde l’onde, lemilieu est dit dispersif.

Ondes stationnaires Une onde est dite stationnaire si son amplitude peut semettre sous la forme s(x,t) =F(x)G(t) ♠Il n’y a plus de propagation ♠Les points tels queF(0) =0 sont appelÉs noeuds de vibration; on a alors s(x,t) =0,∀ten ces points ♠Les points tels queF(x)est maximum sont appelÉs ventres de vibration.Une onde stationnaire solution de l’Équation de d’Alembert et de la forme s(x,t) =s 0 cos(kx+φ 0 )cos(ωt+ψ 0 ) avecω=kv. La distance entre deux ventres ou deux noeuds de vibration λ λ successifs estLa distance entre un noeud et un ventre voisins est 2 4 ♠Une onde stationnaire peut s’Écrire comme la superposition de deux OPPH de mme amplitude, de sens de propagation opposÉs : s 0 s 0 s(x,t) =cos(ωt−kx+φ 0 +ψ 0 ) +cos(ωt+kx+ψ 0 −φ 0 ) 2 2 ♠Une onde plane progressive peut s’Écrire comme la superposition de deux ondes stationnaires : s(x,t) =s 0 cos(ωt−kx) =s 0 cos(ωt)cos(kx) +s 0 sin(ωt)sin(kx) .♠La rÉflexion parfaite d’une OPPH sur un obstacle donne naissance À une 1225 onde stationnaire.

quation de propagation du champ lectromagntique dans le vide

Dans le vide, en l’absence de charges et de courants, les Équations de 1230 Maxwell s’Écrivent

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PhÉnomÈne Équationsde structurerelations aux sources champ Équationde Maxwell fluxÉquation de maxwell ampÈre −→ −→ −→ −→ ∂E(M,t) magnÉtique div B(M,t) =0 rot B(M,t) = 0 ε 0 ∂t Champ Équationde Maxwell Faraday Équationde Maxwell Gauss −→ −→ −→ −→ ∂B(M,t) Électrique div E(M,t) =0 rot E(M,t) =− ∂t −− −→−→ −→ → −→−→ −→ On Établit (en utilisantrot(rot)A=graddiv A−ΔAque Les champsEet −→ BobÉissent À l’Équation de d’Alembert −→ 2 −→ 1∂E ΔE− 2 2 c∂t −→ 2 −→ 1∂B ΔB− 2 2 c∂t 2 1 ouc=est la cÉlÉritÉ de la lumiÈre dans le vide  0 ε 0 ♠Les ondes ÉlectromagnÉtiques se propagent dans le vide À la vitesse c, dans tous les rÉfÉrentiels galilÉens −1 ♠On ac=299792458m.spar dÉfinition du mÈtre 1235 Cas de l’onde plane progressive harmonique −→−→ Les composantes des champsEetBd’une onde plane progressive −→ harmonique se propageant dans le sens deu(vecteur unitaire) sont de la −→−→ −→−→ −→−→ formes=s 0 expj(ωt−k.r−ϕ)aveck=k ules opÉrateurs diffÉrentiels se ramÈnent, en coordonnÉes cartÉsiennes, aux transformations algÉbriques 1240 suivantes −→ ∂s −→ =jωs ∂t −→ −→−→ div s=−j k.s −→ −→ −→−→ rot s=−j k∧s −→ 2 −→ Δs=−k s Structure de l’OPPH Le champ Électrique et le champ magnÉtique d’une onde plane progressive harmonique ÉlectromagnÉtique qui se propage dans le vide dans la direction −→ usont transverses : −→−→ −→−→ u.E=0 etu.B=0 Le champ magnÉtique de l’onde est reliÉ À son champ Électrique par la relation de structure de l’onde −→ −→ −→ u∧E B= c 2009/2010page 65http://chimiephysique.hautetfort.com/

AMAMI MP-PC14 dcembre 2009 −→−→ −→ ♠Le triÈdre(u,E,B)les champs sont transverses(sont perpendiculaires À la direction de propagation) ♠Les champs Électrique et magnÉtique sont en phase. −→ −→ kEk ♠ kBk= 1245 c ♠Ces propriÉtÉs, Établies facilement dans le cas de l’OPPH avec la notation complexe, peuvent tre gÉnÉralisÉes À l’onde plane progressive ÉlectromagnÉtique. Relation de dispersion Dans le cas de l’OPPH, les Équations deMaxwell conduisent au systÈme

PhÉnomÈne Équationsde structurerelations aux sources −→ −→ champ Équationde Maxwell fluxk.=0 Équationde maxwell ampÈre −→ −→ −→ ω magnÉtique k∧B=− 2 E c Champ Équationde Maxwell Faraday Équationde Maxwell Gauss −→ −→−→ −→ −→ Électrique k.E=ωB k.E=0

1250 L’Équation conduit À une relation entre k etω, appelÉe relation de dispersion : 2 ω 2 k= 2 c ω Ainsi, dans le vide, les vitesse de phasev ϕ = =c k le vide se comporte comme un milieu non dispersif (v ϕ est indÉpendant de la frÉquence) et non absorbant (k est rÉel) Polarisation d’une OPPH −→ La direction du champEdans le plan perpendiculaire À la direction de 1255 propagation de l’onde dÉfinit la direction de polarisation de d’onde. −→ La courbe dÉcrite dans ce plan par l’extrÉmitÉ deEainsi que son sens de parcours, dÉfini l’État de polarisation de l’onde. Par convention, l’observateur −→ −→ voit l’onde arriver sur lui Conventionnellement, le plan(k,E)est appelÉ le −→ −→ plan d’oscillation et le plan(k,B)le plan de polarisation 1260 Par convention, le sens de rotation (gauche ou droite) est dÉfini pour un observateur qui reÇoit l’onde Soit une OPPH se propageant suivant l’axe z’z, vers les z positifs. Moyennant un choix convenable de l’origine des dates, on peut toujours Écrire le champ   E x =E 0x cos(ωt−kz) E y =E 0y cos(ωt−kz−φ)  E z =0 2009/2010page 66http://chimiephysique.hautetfort.com/

AMAMI MP-PC14 dcembre 2009 −→ Dans le planz=0, l’extrÉmitÉ deEdÉcrit la courbe d’Équations  E x =E 0x cos(ωt−kz) E y =E 0y cos(ωt−kz−φ) En Éliminant le temps entreE x etE y on obtient la relation E E E x 2 y 2 x E y 2 ( )+ ()−2( )( )cosφ=sinφ E 0x E 0y E 0x E 0y On reconnat l’Équation d’une ellipse, le sens de parcours dÉpendant du signe de 1265 sinφAinsi, dans le cas le plus gÉnÉral, une OPPM est polarisÉe elliptiquement Valeurs particulires du dphasage −→ E x ♠siφ=0 ouφ=πalors=csteetEgarde une direction fixe au cours du E y temps. L’OPPH est dite polarisÉe rectilignement π π 2 2 ♠siφ= +,φ=−et siE 0x =E 0y alorsE+E=cstec’est l’Équation d’un 1270 2 2 x y cercle L’OPPH est dite polarisÉe circulairement (on distingue la polarisation circulaire gauche et la polarisation circulaire droite selon la valeur deφ) ♠Toute onde ÉlectromagnÉtique peut s’Écrire comme la somme de deux ondes polarisÉes rectilignement, perpendiculairement ♠On a de mme que toute OPPHR s’Écrit comme la superposition de deux 1275 OPPH polarisÉes circulairement, droite et gauche de mme amplitude tude nergtique des ondes lectromagntiques planes dans le vide L’Énergie ÉlectromagnÉtique volumique, dÉfinie par l’expression 2 2 ε 0 E B u em = + 2 2 0 −→ −→ kEk commekBk= c 2 B 2 u em =cE=  0 Il y a Équipartition de l’Énergie sous les formes Électrique et magnÉtique. Dans le cas de l’OPPH, on a 2 2 ε 0 E B 0 0 <u em >= = 2 2 0 Le problme du calcul du vecteur de Poynting Le vecteur de Poynting n’Étant pas linÉaire vis-À-vis du champ ÉlectromagnÉtique, il faut le dÉterminer À partir des expressions rÉelles de −→−→ EetB −→−→ −→ E(M,t)∧B(M,t) Π(M,t) =  0 2009/2010page 67http://chimiephysique.hautetfort.com/

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Pour une OPP le vecteur de Poynting peut s’exprimer en fonction du seul champ Électrique (ou du seul champ magnÉtique) selon −→ 2 −→ Π(M,t) =ε 0 cE(M,t)u ou avec l’Énergie volumique −→ −→ Π(M,t) =cu em u L’Énergie se propage À la vitesse c, qui est aussi la vitesse de propagation des OPP ÉlectromagnÉtiques Le vecteur de Poynting n’Étant pas linÉaire vis-À- vis du champ ÉlectromagnÉtique,il faut le dÉterminer À partir des expressions −→−→ rÉelles deEetB ♠ComplÉment :le vecteur de Poynting complexe On dÉfinit, comme simple intermÉdiaire de calculs, un vecteur de Poynting complexe, sans signification physique, mais qui permet de conserver les grandeurs complexes relatives aux −→−→ champsEetBCe vecteur complexe s’Écrit −→−→ ∗ −→ E(M,t)∧B(M,t) Π(M,t) =  0 −→−→ ouB* est le complexe conjuguÉ deBLa moyenne temporelle du vecteur de Poynting rÉel s’Écrit alors comme la partie rÉelle du vecteur de Poynting complexe : −→−→ ∗ −→ E∧B <Π reel >=ℜ( )  0

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