Cours sur l'analyse vectorielle et l'analyse complexe

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Analyse III et IV
Prof. TudorRatiu — Notes de Markus B.Schenkel
1 2Ce document comporte les notes prises par Markus B.Schenkel
dans le cours Analyse III et IV, enseign´e par Prof. TudorRatiu
`a l’EPFL en 2006 / 2007.
1R´evision 36 du 2007-06-18
[e-mail] et http://www.markus-schenkel.ch/analyseTable des mati`eres
1 Rappel 7
1.1 G´eom´etrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Analyse en plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Conv´ergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 D´eriv´ees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 D´eriv´ee directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 D´eriv´ee d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 Th´eor`eme de la fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Les chemins et courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I Analyse Vectorielle 19
2 Champs vectoriels 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Lignes de flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Le rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Int´egration 27
3.1 Changement des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Int´egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Reparam´etrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 Courbes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Surfaces param´etris´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1 L’aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.2 Changement de param´etrisation . . . . . . . . . . . . . . . 43RR
~3.4.3 Digression – Interpr´etation physique de Fd~σ . . . . . 44
S
33.4.4 Th´eor`eme deGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
´3.4.5 Equations deMaxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.6 Theor`eme de divergence de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.7 Interpr´etation g´eometrique de la divergence . . . . . . . . 57
3.4.8 Th´eor`eme du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.9 Th´eoreme du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.10 Loi deGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.11 Formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.12 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.13 La r´eciproque du th´eor`eme de la moyenne . . . . . . . . . 80
3.5 Coordonn´ees curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . 84
II Analyse Complexe 91
4 Analyse complexe 93
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Fonctions ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
¨4.2.3 Homographie (transformation deMobius) . . . . . . . . . 98
4.2.4 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.5 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.6 Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.7 Fonction racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.8 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.9 Int´erpr´etation g´eom. des applications . . . . . . . . . . . . 106
4.2.10 La sph`ere deRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Fonctions diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2 Les ´equation de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.3 Th´eor`eme de la fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.4 D´eriv´ees des fonctions ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.5 Int´egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.6 Th´eor`eme deCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.7 Existence des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.8 Remarques importantes sur le th´eor`eme deCauchy . . . 127
4.3.9 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.10 Formules int´egrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3.11 Formule de Cauchy pour les d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . 132
4.3.12 Les in´egalit´es de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 Le th´eor`eme du module maximal et fonctions harmoniques . . . . 136
4.4.1 Etude des fonction harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 1374.4.2 Le Principe du maximum - version locale . . . . . . . . . . 139
4.4.3 Principe du maximum - version globale . . . . . . . . . . . 139
4.4.4 Probl`eme deDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.5.1 Test deWeierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.6 Th´eor`eme deTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6.1 Z´eros des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.6.2 Continuation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7 Singularit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7.1 Cas sp´ecial tr`es important . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.7.2 Caract´erisation de toutes les singularit´es . . . . . . . . . . 156
4.7.3 Calcul des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.7.4 Th´eor`eme des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.8 Transform´ee deLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.8.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.9 S´eries deFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.9.1 Convergence de la s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.9.2 Calcul des s´erie deFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
´4.9.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5 work in progress 1776
Version 36 du 2007-06-181
Rappel
Il y a trois invention de l’humanit´e : le feu, la roue et l’analyse.
Prof. TudorRatiu, Math´ematicien, 2006
1.1 G´eom´etrie vectorielle
Produit vectoriel
a = (a ,a ,a )1 2 3
b = (b ,b ,b )1 2 3