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• Langue: Français

Extrait

Processus Aléatoires
JEAN FRANÇOIS DELMAS BENJAMIN JOURDAIN
BERNARD LAPEYRETable des matières
1 Rappels de Probabilités 7
1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Théorèmes de convergences pour les espérances . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Loi d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Loi d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Convergence presque sûre et théorèmes liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Convergence en loi d’une famille de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Autres type de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Problème corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Vecteurs gaussiens - Mouvement Brownien 33
2.1 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Vers une construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Régularité des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Caractère gaussien du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Travail dirigé : Test d’adéquation à une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Espérance conditionnelle 49
3.1 Tribus construites à partir de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Notion d’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Cas d’un couple gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Travail dirigé : Estimation bayesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Martingales à temps discrets 61
4.1 Introduction à la notion de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Un exemple générique de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Notion de temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Théorème de convergence des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Convergence de Martingales et algorithmes stochastiques . . . . . . . . . . . . 69
4.7 Travail dirigé : Temps de sortie d’une marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . 75
4.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
34 TABLE DES MATIÈRES
5 Chaînes de Markov à temps discret 79
5.1 Chaîne de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Calcul de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Exemple d’utilisation des chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4 Chaînes de Markov et espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.1 Solution d’un problème d’arrêt optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.6 Travail dirigé : Modélisation de l’évolution d’une population . . . . . . . . . . 95
5.7 Travail dirigé : Algorithme de Hastings Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.8 Travail dirigé : Récurrence de la marche aléatoire simple . . . . . . . . . . . . 98
6 Propriété de Markov forte 101
6.1 Propriété de Markov génèrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Introduction à la propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3 Tribu des événements antérieurs à un temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Propriété de Markov forte : première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.6 Contrôle : Loi du supremum d’une marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 109
7 Options européennes dans le modèle de Cox Ross Rubinstein 111
7.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.1 description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.2 liens entre les paramètresr;a etb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.3 le cas d’une seule période de temps :N =1 . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2 Portefeuilles, arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.1 portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.2 Absence d’Opportunités d’Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3 Pricing des options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8 Mouvement brownien et martingales 121
8.1 Généralités sur les processus à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2 Extensions de la définition du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3 Exemples de martingales browniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4 Ex d’utilisation de la propriété de martingale . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5 Propriété de Markov forte du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7 Travail dirigé : Principe de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292
2
-
n
x
n
1
n
2n
Table des figures
p
1.1 Densitée = 2… deN(0;1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Loi deY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Loi deY -Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Loi deZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Projection orthogonale surH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B
4.1 Trajectoire de la marche aléatoire symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Temps de sortie de[a;b] par une marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1 Histogramme de la loi du nombre maximum de F consécutifs après 100 tirages 85
5.2 Probabilité d’avoir au moinsn F consécutifs après 100 tirages . . . . . . . . . 85
8.1 Principe de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5n
1
k
i
c
1
i
1
i
i
i
i
Chapitre 1
Rappels de Probabilités
1.1 Notion de tribu et de variables aléatoires
Définition 1.1.1 Soit› un ensemble etA un sous ensemble de l’ensembleP(›) des parties
de ›. On dit que A est une tribu si cet ensemble est stable par les opérations ensemblistes
naturelles, plus précisément :
– stabilité par\,[ et passage au complémentaire : siA etB appartiennent àA, alorsA\B,
A[B etA appartiennent àA.
⁄– stabilité par réunion et intersection dénombrables : si pour tout i 2 N , A 2 A alors
[ A et\ A sont dansA.‚ ‚
– ;;›2A.
Remarque 1.1.2 A représente une information disponible.
Exemples
– A =f;;›g est la plus petite tribu. On l’appelle la tribu triviale. Elle représente l’absence
totale d’information.
– A =P(›) est une tribu appelée tribu discrète qui représente l’information totale.
– Soit(B ;:::;B ) une partition de›, alors :
' “
A = [ B ;réunion finie
est une tribu.
– Soit› = R, on appelle tribu borélienne la plus petite tribu contenant les intervalles de R.
On la noteB(R).
Remarque 1.1.3 Il est facile de vérifier que l’intersection d’une famille quelconque de tribus reste une
tribu. La tribu borélienne de R est donc définie comme l’intersection de toutes les tribus qui contiennent
les intervalles de R. Comme tout ouvert de R s’exprime comme union dénombrable d’intervalles ouverts
disjoints, la tribu borélienne contient tous les ouverts de R et tous les fermés par passage au complémen
taire.
En fait la tribu borélienneB(R) est strictement plus petite que l’ensemble de toutes les parties de R, mais
la preuve de ce résultat délicat repose sur l’utilisation de l’axiome du choix.
La notion de tribu permet de préciser la définition d’une variable aléatoire.
Définition 1.1.4 Une applicationX de› dans R est une variable aléatoire mesurable par rap
port à la tribuA, si pour toutB2B(R) :
f!2›;X(!)2Bg =fX2Bg2A:<