Etude et contrôle de la corrosion feuilletante des alliages d'aluminium 2024 et 7449 par bruit électrochimique

Bellenger, Simonne Fabien

Description

qqANNEXE ICalcul des Spectres d’Impédance de Bruit ElectrochimiqueLe calcul des spectres d’impédance de bruit électrochimique est réalisé à partir desdiagrammes de densité spectrale des signaux de bruit en potentiel et en courant. Ces densitéspectrales sont calculées directement par le logiciel Mustig.Obtention des spectres de densité spectrale :La densité spectrale des signaux est leur représentation dans le domaine fréquentiel. Soit unsignal représenté par la fonction g(t) dans le domaine temporel. La transformée de Fourier(TF) est un algorithme qui transforme cette fonction en une somme de fonctions sinusoïdalessimples T(f) (avec f fréquence de chaque signal sinusoïdal). Cette transformation permet ainsile transfert de l’information contenue dans le signal temporel au domaine fréquentiel selon larelation (10).+¥2 ftT ( f ) = g(t) e dt(10)?T(f) peut aussi s’écrire :i (f) i (f)T(f) = ?T(f)?. e = A(f). e (11)A(f) : amplitude de la TF à la fréquence f(f) : module de la TF à la fréquence f.Cependant, cet algorithme n’est applicable que pour des signaux continus. Or, les appareilsd’enregistrements expérimentaux fournissent un signal digital (discret). Dès lors, la FT n’estplus applicable et pour effectuer le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel, ilest nécessaire d’utiliser l’algorithme de la Transformée de Fourier Discrète (TFD). Poursimplifier les calculs nous utilisons l’algorithme de la TFD en base 2. Cet algorithme imposende ...

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Extrait

ANNEXE I

Calcul des Spectres d’Impédance de Bruit Electrochimique

Le calcul des spectres d’impédance de bruit électrochimique est réalisé à partir des diagrammes de densité spectrale des signaux de bruit en potentiel et en courant. Ces densité spectrales sont calculées directement par le logiciel Mustig.

Obtention des spectres de densité spectrale : La densité spectrale des signaux est leur représentation dans le domaine fréquentiel. Soit un signal représenté par la fonction g(t) dans le domaine temporel. La transformée de Fourier (TF) est un algorithme qui transforme cette fonction en une somme de fonctions sinusoïdales simples T(f) (avec f fréquence de chaque signal sinusoïdal). Cette transformation permet ainsi le transfert de l’information contenue dans le signal temporel au domaine fréquentiel selon la relation (10).

T(f) peut aussi s’écrire :

#¥ % 2 p ft T ( f ) 1 g ( t ) ´ e dt(10) ò %¥

i q (f) i q (f) T(f) = ï T(f) ï . e= A(f). e(11)

A(f) : amplitude de la TF à la fréquence f

q (f) : module de la TF à la fréquence f.

Cependant, cet algorithme n’est applicable que pour des signaux continus. Or, les appareils d’enregistrements expérimentaux fournissent un signal digital (discret). Dès lors, la FT n’est plus applicable et pour effectuer le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel, il est nécessaire d’utiliser l’algorithme de la Transformée de Fourier Discrète (TFD). Pour simplifier les calculs nous utilisons l’algorithme de la TFD en base 2. Cet algorithme impose n de travailler avec un nombre de points N = 2. Les relations, entre le signal original appartenant au domaine temporel et ses composantes périodiques qui le définissent alors dans le domaine fréquentiel, sont présentées ci-dessous (3 et 4) :

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Pour les N/2 premiers points traités : N N % 1 % 2 pi´ 2 mk% 2 pi´k % 1 % 2 pi´ 2 mk 2 2 N N N k å 2 m å 2 m T ( f ) 1 g ( t ). e # e ´ g ( t ). e(12) , m1 0 m1 0 pour les N/2 derniers points traités : N N % 1 % 2 p i ´ 2 mk % 2 pi´k % 1 % 2 pi´ 2 mk 2 2 N N N T ( f N ) 1 g ( t ). e # e ´ g ( t ). e(13) , k # å å 2 m 2 m 2 m1 0 m 1 0 Avec : - N : nombre de points enregistrés sur la fenêtre traitée. - m : incrément des points acquis dans le domaine temporaire. - k :incrément des points dans le domaine fréquentiel.

Cette représentation du signal est symétrique par rapport à la fréquence numérotée N/2. Aussi, seule la moitié des fonctions sinusoïdales ainsi définies est nécessaire à l’exploitation des données dans le domaine fréquentiel. La fenêtre de fréquences balayée par ces fonctions sinusoïdales dépend des paramètres expérimentaux (durée de l’enregistrement, fréquence d’échantillonnage).

Obtention des spectres de bruit électrochimique : Soient U et I les fonctions temporelles relatives, respectivement, à l’évolution du potentiel libre et à l’évolution du courant enregistrés durant les tests de corrosion. Les blocs de données 14 de bruit électrochimique étant d’une longueur de 2points, les fonctions I et U peuvent être traitées par TFD en base 2. U est alors transférée par TFD en base 2 dans le domaine fréquentiel où elle est représentée par une somme de fonctions sinusoïdales simples notées u(f) (avec f fréquence de chaque signal sinusoïdal). De même I(t) est transformée par TFD en base 2 en une somme de fonctions sinusoïdales i(f). Ces fonctions sinusoïdales, u(f) et i(f), vérifient alors les relations suivantes :

-i q (f) -i j (f) u(f) = |u(f)|.e; i(f) = |i(f)|.e (14) , avec : u(f) : la densité spectrale d’amplitude à la fréquence f du potentiel libre q (f) : la densité spectrale de phase à la fréquence f du potentiel libre i(f) : la densité spectrale d’amplitude à la fréquence f du potentiel libre j (f) : la densité spectrale de phase à la fréquence f du potentiel libre

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Le rapport entre les fonctions sinusoïdales relatives à l’évolution du courant et du potentiel libre esthomogène à une impédance. Ce rapport définit alors l’impédance de bruit électrochimique :

-i q (f) -i j (f) i f (f) Z BE ] = |Z] / [|i(f)|.e(f) = u(f) / i(f) = [|u(f)|.e BE (f)|.e(15).

Avec : Z BE (f) = |u(f) / i(f) | : module de l’impédance de bruit électrochimique pour la fréquence f f(f) =q(f) -j(f) : phase de l’impédance de bruit électrochimique pour la fréquence f.

La fenêtre de fréquence balayée par les spectres d’impédance électrochimique est bornée par, d’une part, la longueur du bloc de donnée, et d’autre part, la fréquence d’échantillonnage. Dans le cas de nos enregistrements de bruit électrochimique, les signaux de bruit sont ainsi -2 traités par calcul des densité spectrale dans un domaine fréquentiel borné entre 6.10Hz et 20Hz. Les spectres d’impédance de bruit électrochimique balayent donc de façon régulière -2 cette fenêtre entre 6.10Hz et 20Hz.

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ANNEXE II

Obtention des densités spectrales moyennes (DSM)

Obtention des spectres de densité spectrale : De même que pour les signaux de bruit électrochimique, les signaux d’émission acoustique sous enregistrés sous forme digitale. Ilssont donc également traités par calcul des TFD en base 2 (cf Annexe I). Ce calcul est réalisé à l’aide du logiciel MATLAB qui dans nos 11 conditions ne prend en compte uniquement les 4096 = 2premiers points du signal pour effectuer le calcul. Là encore, seule la moitié des fonctions sinusoïdales obtenues par TFD en base 2 est nécessaire (soit 4096/2 = 2048fonctions différentes) à l’exploitation des données dans le domaine fréquentiel. La fenêtre de fréquences balayée par ces fonctions sinusoïdales dépend des paramètres expérimentaux. Les fonctions sinusoïdales ont des fréquences propres réparties régulièrement entre la fréquence minimale (définie à partir de la longueur de la fenêtre temporelle utilisée lors de l’acquisition) et la fréquence maximale (liée à la fréquence d’échantillonnage). Ces fréquences ont pour expression :

fréquence minimale = 1/(durée totale de la fenêtre considérée) soit ici : f min = 1/(512ms) = 1,953 kHz = f 0 (16) fréquence maximale = (fréquence d’échantillonnage)/2 = 8000/2 = 4000 kHz(17).

Obtention des densités spectrales moyennes : la densité spectrale d’amplitude à la fréquence f du signal original révèle l’importance du signal sinusoïdal (dont la fréquence propre est f) dans le signal original. Cette propriété des densités spectrales est utilisé ici pour évaluer la présence de signaux caractéristiques dans l’ensemble des signaux d’émission acoustique enregistrés.

La moyenne des densités spectrales d’amplitudes obtenues à chaque fréquence f est calculée pour un ensemble de 100 signaux selon la relation :

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p T(f) å h k h 1 1 T(f) 1 (18) mp k p Avec : -T mp (f k, ), densité spectrale d’amplitude moyenne obtenue à fréquence f k sur p (100) signaux. -T h (f k )), densité spectrale d’amplitude obtenue à la fréquence f k , pour le signal noté h.

Les spectres de densités spectrales moyennes (T mp (f k, )) révèlent alors l’importance relative des divers signaux sinusoïdaux utilisés dans la décomposition de chacun des 100 signaux traités. Ces spectres permettent donc d’évaluer la présence, parmi un ensemble des signaux enregistrés, de divers signaux dont la fréquence propre est parfaitement connue.

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