MTH2302B plan de cours automme 2006

Bernard Clément

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• Publié par: Ensoo
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• Langue: Français

Extrait

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Département de mathématiques et de génie industriel
MTH 2302D – Probabilités et statistique
TD-3: VECTEURS ALÉATOIRES
DATE vendredi 29 janvier 2010 - 12h45 / 13h45
LOCAL groupe 01 M-2203 Julien Hackenbeck LAMBERT
groupe02 B-316.1 Walid MATHLOUTHI

HMGB x.y Hines, W.W., Montgomery, D.C., Goldsman, D.M. , Borror, C.M.,
Probabilités et statistique pour ingénieurs x = chapitre y = numéro
W x.y site WEB http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH2302.htm
Exercices supplémentaires x = chapitre y = numéro
Remarque
Il y aura un examen (intra 1) tel que prévu au plan de cours.
L’examen aura lieu de 13h40 à 14h40.
La première heure peut être employée pour répondre à vos questions.

1. (HMGB 4.2) Un gestionnaire de stocks a observé la demande du produit de son entreprise durant plusieurs
mois. Le tableau présente le résultat de la distribution conjointe de X et Y.
X = nombre de demandes quotidiennes reçues Y = nombre d’unités vendues
X x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7 x=8 x=9
Y
y=1 0,10 0,06 0,03 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01
y=2 0,08 0,05 0,03 0,02 0,01 0,01 0,01 0,00 0,00
y=3 0,08 0,05 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
y=4 0.07 0,04 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
y=5 0,06 0,03 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
y=6 0,05 0,03 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1a) Calculez toutes les distributions marginales et distributions conditionnelles.
1b) Calculez la probabilité que le nombre d’unités vendues est supérieure ou égal à 3.
1c) Sachant que la demande est inférieure ou égale à 3, quelle est la probabilité que le nombre
d’unités vendues soit supérieure ou égal à 2?
1d) Montrez que les variables ne sont pas indépendantes.
1e) Calculez le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.
1f) Déterminez une autre distribution conjointe ayant les mêmes distributions marginales mais
dont les variables seraient indépendantes.

2. (HMGB 4.10) La densité de probabilité conjointe de deux variables aléatoires (X, Y) est

2 2f (x, y) = c x y exp( - x - y ) si x, y > 0 X,Y
= 0 ailleurs
2a) Déterminez la constante c.
2b) Déterminez les densités marginales.
2c) Déterminez la densité conditionnelle de X étant donné Y = y.
2d) Les variables sont-elles indépendantes?
2e) Calculez : moyenne et écart type de X, moyenne et écart type de Y, covariance, coefficient
de corrélation linéaire.

3. (W 4.20) La fonction de masse p (x, y) d’un vecteur aléatoire (X, Y) est définie par X, Y
x - θ y x – y p (x, y) = θ e (1 / x!) [ x! / ( y! (x – y)!)] p (1 – p) θ > 0 , 0 < p < 1 X, Y
x = 0, 1, 2, … ; y = 0, 1, 2, …, x
3a) Calculez: loi marginale de X, loi marginale de Y, loi conditionnelle de Y étant donné X = x
3b) Calculez : les moyennes, les écarts types, le coefficient de corrélation.
3c) Les variables X et Y sont-elles indépendantes?

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4. (W 4.29) Un guichet automatique permet de retirer avec une carte magnétique un seul billet de 20$ ou de
100$ seulement. Il se peut aussi que le client ne puisse pas retirer de l’argent si le compte n’est pas
approvisionné ou si le guichet est défectueux. Le nombre X de clients qui utilise le guichet dans un intervalle
de 5 minutes est une variable aléatoire dont la masse de probabilité p (x) est X
X 0 1 2

p (x) 0,3 0,5 0,2 X

Le montant total Y retiré du guichet en 5 minutes est une variable aléatoire dont la masse de probabilité
conditionnelle pour X = 1 client est

Y | X=1 0 20 100

P (y | X=1) 0,1 0,7 0,2 Y

4a) Complétez le tableau des probabilités conditionnelles de Y pour X = 2 clients

Y | X=2 0 20 40 100 120 200
P (y | X=2) 0,01 ? ? ? ? 0,04 Y

4b) Déterminez la masse de probabilité de Y.
4c) Les variables X et Y sont-elles indépendantes?
4d) Calculez le coefficient de corrélation.

5. (W4.24) Soient X, Y, Z, trois variables aléatoires indépendantes 2 à 2. Leurs moyennes et leurs écarts types
sont précisés dans le tableau

variable X Y Z
moyenne 0 1 3
écart type 1 2 4

Définissons les variables aléatoires suivantes : V = X + Y et W = 2X – 3Z
5a) Calculez la moyenne et l’écart type de V.
5b) Cala moyenne et l’écart type de W.
5c) Calculez le coefficient de corrélation entre V et W.

6. (W4.21) On désigne par X un nombre choisi au hasard sur l’intervalle (0. 1) et par la suite
un nombre Y est choisit au hasard sur l’intervalle (0, x) où x est la réalisation de X.

6a) Déterminez la densité marginale de X.
6b) Déterminez la densité conditionnelle de Y si X = x.
6c) Calculez la probabilité que X + Y > 1
6d) Cales moyennes de X et Y, les écarts types de X et Y, le coefficient de corrélation.

7. (W4.30) L’émission de deux signaux électroniques est aléatoire et indépendante. La densité de probabilité des
signaux X et Y est constante sur un intervalle de temps T. La réception des signaux est brouillée dès que
l’écart entre les temps d’émission entre les signaux est inférieur à T/2. Calculez la probabilité d’un brouillage.

8. (W4.34) Deux procédés de fabrication indépendants produisent des cylindres évidés et des pistons pour un
assemblage. Le diamètre extérieur des pistons est représenté par une variable X distribuée uniformément sur
l’intervalle (98,5 100,5). Le diamètre intérieur des cylindres est représenté par une variable Y distribuée
uniformément sur l’intervalle (99 100). Calculez la probabilité d’effectuer l’insertion du piston dans le
cylindre.
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