Statistique et probabilités

Jean-Pierre Lecoutre

Description

Notionde probabilité 1Si on veut formaliser un problème dans lequel le hasard intervient, on doit construire unmodèle probabiliste, choisi en fonction du but que l’on poursuit. Ce modèle est constitué d’unensemble fondamental, d’une tribu d’événements et d’une probabilité. Le choix de l’ensemblefondamental est très important pour le calcul ultérieur des probabilités des événements.Nous introduirons aussi les notions de probabilité conditionnelle et d’indépendance. Laformule de Bayes est souvent très utile pour le calcul de probabilités conditionnelles.1. Ensemble fondamentalLe résultat d’une expérience aléatoire s’appelle un événement élémentaire.L’en-semble des résultats possibles s’appelle ensemble fondamental (ou univers) et estnoté traditionnellementΩ. Chaque élémentω deΩ représente donc un événementélémentaire, et toute partie A⊂Ω (ou A∈P(Ω)) sera un événement. Parfois on ditqueΩ est l’ensemble des éventualités possibles et les événements élémentaires sontalors les singletons, c’est-à-dire les ensembles réduits à un seul élément{ω},quisont effectivement en toute rigueur des événements, puisqu’appartenant àP(Ω),ce qui n’est pas le cas du pointω.2. Algèbre et tribu d’événements Le couple Ω,P(Ω) s’appelle un espace probabilisable.MêmesiΩ est fini, le cardinalde P(Ω) peut être un nombre très grand et dans ce cas on est amené alors àne considérer qu’une famille restreinteA de parties de Ω,A⊂P(Ω).Pourquele résultat des opérations ensemblistes (union ...

Informations

• Publié par: Dihom
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

Notion 1 de probabilité

Si on veut formaliser un problème dans lequel le hasard intervient, on doit construire un modèle probabiliste, choisi en fonction du but que l’on poursuit. Ce modèle est constitué d’un ensemble fondamental, d’une tribu d’événements et d’une probabilité. Le choix de l’ensemble fondamental est très important pour le calcul ultérieur des probabilités des événements. Nous introduirons aussi les notions de probabilité conditionnelle et d’indépendance. La formule de Bayes est souvent très utile pour le calcul de probabilités conditionnelles.

1.Ensemble fondamental

Le résultat d’une expérience aléatoire s’appelle unévénement élémentaire. L’en semble des résultats possibles s’appelleensemble fondamental(ou univers) et est noté traditionnellementΩ. Chaque élémentωdeΩreprésente donc un événement élémentaire, et toute partieA⊂Ω(ouA∈P(Ω)) sera un événement. Parfois on dit queΩest l’ensemble deséventualités possibleset les événements élémentaires sont alors les singletons, c’estàdire les ensembles réduits à un seul élément { ω } , qui sont effectivement en toute rigueur des événements, puisqu’appartenant àP(Ω), ce qui n’est pas le cas du pointω.

2.Algèbre et tribu d’événements   Le coupleΩ,P(Ω)s’appelle unespace probabilisable. Même siΩest fini, le cardinal deP(Ω)peut être un nombre très grand et dans ce cas on est amené alors à ne considérer qu’une famille restreinteAde parties deΩ,A⊂P(Ω). Pour que le résultat des opérations ensemblistes (union, intersection, complémentaire) soit encore un événement, il est nécessaire que la famille d’événements qui a été retenue soit fermée, ou stable, visàvis de ces opérations, c’estàdire qu’il soit bien un

2

TD Statistique et probabilités

élément de la famille. De plus, les événements « certain »,Ω, et « impossible »,∅, doivent également appartenir à cet ensemble. Ainsi, on associera à une épreuve aléatoire un ensemble non vide de parties deΩ, notéA, qui vérifiera : ¯ C 1 pour toutA∈A, alorsA∈A; C 2 pour toutA∈Aet toutB∈A, alorsA∪B∈A. Il y a fermeture pour le complémentaire et l’union. Cet ensembleAs’appelle une algèbrede parties deΩ. Bien entendu, grâce aux lois de Morgan, on a une définition équivalente en remplaçant la conditionC 2 par :  C pour toutA∈Aet toutB∈A, alorsA∩B∈A. 2

 Propriétés d’une algèbre P 1 La famille étant non vide, on en conclut que :

∅ ∈AetΩ∈A

P 2 SiA j ∈Apour 1≤j≤n, on démontre par récurrence que : n  A j ∈A j=1

P 3 SiA j ∈Apour 1≤j≤n, on démontre également par passage au complé mentaire que :

n  A j ∈A j=1

Cependant, certaines expériences peuvent se dérouler indéfiniment et on a donc besoin de renforcer la propriétéP 2 de fermeture pour l’union finie par une condition de fermeture pour l’union dénombrable, soit : C 3 SiA n ∈Apour toutn∈N, alors : ∞  A n ∈A n=0 Cette condition exprime que toute union dénombrable d’événements est encore un événement. L’ensembleAauquel on impose les conditionsC 1 etC 3 s’appelle alors uneσalgèbreoutribud’événements. Le couple formé de l’ensemble fondamentalΩet de la tribu d’événements associée As’appelle unespace probabilisable.

TD 1 • Notion de probabilité

3.Probabilité

3

Définition.On appelle probabilitéPsur (Ω,A) une applicationP:A→[0, 1] telle que : (i)P(Ω)=1; (ii) pour toute suiteA n d’événements incompatibles, soitA n ∈AavecA m ∩A n = ∅ pourm=n:   ∞ ∞   P A n =P(A n ) n=0n=0

propriété dite deσadditivité. Une probabilité est donc une application qui à un événement va associer un nombre compris entre 0 et 1. Le triplet ( Ω,A,P ) s’appelle unespace probabilisé.

 Propriétés P 1 L’événement impossible est de probabilité nulle : P(∅)=0

P 2 La probabilité de l’événement complémentaire d’un événement quelconque As’obtient par :

¯ P(A)=1−P(A)

P 3 Si un événement en implique un autre, sa probabilité est plus petite :

A⊂B⇒P(A)≤P(B)

P 4 La probabilité de l’union de deux événements s’obtient par la formule de Poincaré :

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

4.Probabilités conditionnelles

On considère l’espace probabilisé ( Ω,A,P ) et un événement particulierBdeA tel queP(B) >0. La connaissance de la réalisation deBmodifie la probabilité de réalisation d’un événement élémentaire, puisque l’ensemble des résultats possibles est devenuBet non plusΩ. Cette nouvelle probabilité, notéeP(.|B), est définie sur la tribu conditionnelle :

A|B = { A∩B/A∈A }