(these)

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66Chapitre 3 : Contributions dans le cadre decette th`eseCe chapitre a pour but d’´enoncer les r´esultats principaux de cette th`ese, ainsi que plu-sieurs r´esultats interm´ediaires obtenus, qui ont leur int´erˆet propre en dehors du probl`eme´etudi´e.1 G´en´ericit´e de la propri´et´e de Morse-SmaleDans le cadre de la dimensiond = 1, nous avons g´en´eralis´e le th´eor`eme 4.4 du chapitre2 au cas de la dissipation non-constante, y compris pour une dissipation sur le bord. Cer´esultat est l’objet du chapitre 4 de cette th`ese.kSoitk≥ 2, on noteG l’espaceC (]0,1[×R,R) muni de la topologie de Whitney engendr´eepar les ouvertsi i{g∈G /|Df(x,u)−Dg(x,u)|≤δ(u), i = 0,...,k,(x,u)∈ Ω×R} .On consid`ere l’´equation des ondes amorties `a l’int´erieur d’un intervalleu (x,t)+γ(x)u (x,t) =u (x,t)+f(x,u) (x,t)∈]0,1[×R tt t xx +u(0,t) = 0 (ouu (0,t) = 0) t≥ 0xu(1,t) = 0 (ouu (1,t) = 0) t≥ 0 x 1 2 1 2(u(x,0),u (x,0)) = (u (x),u (x))∈H (]0,1[)×L (Ω) (ouH (]0,1[)×L (Ω))t 0 1 0(1.1)∞ou` γ ∈ L (]0,1[) est une fonction positive qui est strictement positive sur un ouvert de]0,1[, et l’´equation des ondes amorties sur le bord de l’intervalleu (x,t) = Δu(x,t)+f(x,u) (x,t)∈ Ω×R tt +∂u(x,t)+γ(x)u (x,t) = 0 (x,t)∈∂Ω×R (1.2)t +∂ν 1 2(u(x,0),u (x,0)) = (u (x),u (x))∈H (Ω)×L (Ω)t 0 1ou`γ(0) etγ(1) sont deux nombres positifs, dont au moins un est strictement positif et telsque γ(0) = 1 et γ(1) = 1.Th´eor`eme 1.1. L’ensemble des non-lin´earit´es f ∈ G, telles que tous les ...

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Chapitre 3 : Contributions dans le cadre de cetteth`ese

Cechapitreapourbutd’´enoncerlesre´sultatsprincipauxdecetteth`ese,ainsiqueplu sieursre´sultatsinterm´ediairesobtenus,quiontleurinte´rˆetpropreendehorsduproble`me ´etudi´e.

1Ge´n´ericite´delaproprie´t´edeMorseSmale Dans le cadre de la dimensiondn,1=chdu.4e4reitapil´slete´hoe`rmeousavonsg´en´era 2 au cas de la dissipation nonconstante, y compris pour une dissipation sur le bord. Ce r´esultatestl’objetduchapitre4decetteth`ese. k Soitk≥2, on noteGl’espaceC(]0,1[×R,ReintdnreydeenWghogie´oepeolletanudim) par les ouverts i i {g∈G/|D f(x, u)−D g(x, u)| ≤δ(u), i= 0, ..., k,(x, u)∈Ω×R}. Onconsid`erel’´equationdesondesamortiesa`l’inte´rieurd’unintervalle  u tt (x, t) +γ(x)u t (x, t) =u xx (x, t) +f(x, u) (x, t)∈]0,1[×R +   u(0, t) = 0 (ouu x (0, t) = 0)t≥0 u(1, t) = 0 (ouu x (1, t) = 0)t≥0   1 21 2 t (x,0)) = (u 0 (x), u (u(x,0), u 1 (x))∈H 0 (]0,1[)×L(Ω) (ouH(]0,1[)×L(Ω)) (1.1) ∞ o`uγ∈L(]0,ur un ouvert de1[) est une fonction positive qui est strictement positive s ]0,rvalintedel’bordrueleissomtredasonesndioatqu´el’te,[1el   u tt (x, t) = Δu(x, t) +f(x, u) (x, t)∈Ω×R + ∂ u (x, t) +γ(x)u t (x, t) = 0(x, t)∈∂Ω×R + (1.2) ∂ ν  1 2 (u(x,0), u t (x,0)) = (u 0 (x), u 1 (x))∈H(Ω)×L(Ω) ou`γ(0) etγent positif et tels(1) sont deux nombres positifs, dont au moins un est strictem queγ(0)6= 1 etγ(1)6= 1.

Th´eor`eme1.1.e´s’Lesneelbmsndelon´einitarf∈Gt,edseqseuleelles´touslibrequi l’e´quationdesondesavecamortissementinterne(1.1)sonthyperboliquesetqueleurs

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vari´et´esstablesetinstablessecoupenttransversalement,estge´ne´riquedansG. L’ensembledesnonline´arite´sf∈Geqs´leustouesqlelet,ondesationdesed’le´uqiuilrbse amortiessurlebord(1.2)sonthyperboliquesetqueleursvarie´te´sstablesetinstablesse coupenttransversalement,estg´en´eriquedansG.

Notonsqueler´esultatduchapitre4estenfaitplusge´ne´ralqueleth´eor`eme1.1etest valablepourunecertaineclassed’EDPdedimensionun,dontles´equationsdesondes(1.2) et (1.1) ne sont que les exemples principaux.

Lastructuredelapreuveduthe´ore`me1.1estsemblablea`celledur´esultatde[1].La plupartdesdifficulte´snouvellesprovientdelastructureduspectredel’ope´rateurline´aire A).Da(1.2casdnsleitnoqeau)1te(s.1soas´ecix´auissidalenoitapγconstante, les valeurs γ propresnonr´eellessonttoutessurlamˆemedroiteverticale{z∈C/ Re(z) =− }et 2 lesvaleurspropresainsiquelesvecteurspropressontlie´sdemani`ereexplicite`aceuxdu Laplacien. En dimension 1, dans le cas de la dissipationγ(x) non constante, ou d’un amor tissementa`supportdansleborddel’intervalle,lespectredeAest plus complexe. On sait toutefoisquelasuitedespartiesr´eellesdesvaleurspropresaunseulpointd’accumulation quieststrictementn´egatifetquelesvecteurspropresformentunebasedeRiesz(voir[2]et [3]).Cettestructurespectralepluscomplexeame`nedesproble`mesnouveauxparrapport au cas de la dissipation constante. Par exemple, il faut montrer que si (e,0) est un point d’´equilibre,laline´arisationdusyste`medynamiquepr`esde(e,no´n)0d,lro’eeapateup´err   0 0 A e =A+, ′ f(x, e) 0 u

poss`edelesmˆemeproprie´t´esspectralesqueAtirtviaidlnalsceas,cequi´etaγconstant. D’autrepart,lad´emonstrationde[1]utiliselefaitque,siγest constant, pour une fonction f(x, u´eeng´)lee,quri’unevalerapportdopisitevrurppoerλdeA e apeltiartdee´reelle de n’importe quelle autre valeur propreµdistincte deλest irrationnel. Dans le casγ(x) variable, nous ne pouvons le montrer que siµ.Ilfautdoncadaptserte´legraselrestnemu finaux de la preuve du casγconstant et montrer que siµestpn’xeseemmˆilesr´asl,ee posantsret−Re(µ)/λ−tn(s.4)9lepoepem1desd´evtnostnede´ce´rperitapchdu0).1(4et ´egaux,lasommedestermesdominantsdeI 0 etI 1 ne s’annule pas. L’autredifficulte´principaleconcernel’e´tudeasymptotiquedelafonctiont7−→ψ(x 0 , t) quel’onutilisedanslede´veloppement(4.10)delapreuveduthe´ore`me4.4duchapitre pre´ce´dent.Eneffet,onnepeutplusutiliserlespropri´et´esdepresquepe´riodicite´del’e´quation desondeslibrescommecelae´taitlecaspourunamortissementconstant.Ilfaututiliser enremplacementunargumentdetransform´eedeLaplace. Enoutre,commedanslade´monstrationdeBrunovsky´etRaugel,ilfautmontrerquesi f(x, u) est analytique enu´neessruoitttnuobsroslessolu,alorRsont analytiques en temps. Sicetteproprie´te´e´taitconnuepourl’e´quationdesondesamorties`al’inte´rieur(1.1),c’est

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