De l'algorithme comme liste d'opérations - article ; n°12 ; vol.12, pg 79-94

Karine Chemla

Description

Extrême-Orient, Extrême-Occident - Année 1990 - Volume 12 - Numéro 12 - Pages 79-94
16 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

Informations

• Publié par: EXTREME-ORIENT-_EXTREME-OCCIDENT
• Publié le: 01 janvier 1990
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français
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Extrait

Karine Chemla
De l'algorithme comme liste d'opérations
In: Extrême-Orient, Extrême-Occident. 1990, N°12, pp. 79-94.
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Chemla Karine. De l'algorithme comme liste d'opérations. In: Extrême-Orient, Extrême-Occident. 1990, N°12, pp. 79-94.
doi : 10.3406/oroc.1990.957
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/oroc_0754-5010_1990_num_12_12_957- Extrême-Occident 12 - 1990 Extrême-Orient
De l'algorithme comme liste d'opérations
Karine Chemla
Par opposition à un groupe d'objets (problèmes, algorithmes, for
mules), dont nous avons vu que la constitution dans un texte mathémat
ique véhiculait un sens, nécessitait un travail, tous deux d'ordre
mathématique \ une liste ordonne ses éléments et propose de leur
ensemble un parcours linéaire. Si donc l'étude de la liste comme moyen
d'expression en tant que telle recoupe le problème de la classification,
par là, il s'en démarque ; et ce sont par conséquent ces critères que nous
mettrons à profit pour pour nous demander si les mathématiciens
chinois ont recouru à pareil mode de présentation de l'information et en
quoi cela concerne leur historien.
A cette fin, nous nous pencherons sur les listes d'opérations que l'on trouve
dans leurs textes mathématiques et nous nous demanderons successivement si
l'examen de l'ordre d'énonciation met en évidence des propriétés mathémat
iques spécifiques et si le lecteur chinois travaille effectivement à le faire
signifier..,
Position du problème
Les textes de mathématiques anciens recourent de manière privilé
giée à des « listes d'opérations », ou, pour employer le terme actuel, à
des algorithmes, lorsqu'ils énoncent des méthodes de résolution de
problèmes. Les livres chinois n'échappent pas à cette règle, et les Neuf
Chapitres sur les Procédures Mathématiques \ ouvrage probablement
compilé au premier siècle de l'ère commune, proposent un ensemble de
méthodes générales sous cette forme. Par exemple, dans le chapitre 5,
consacré en particulier à la détermination des volumes de corps solides,
79 De ralgorithme comme liste d'opérations
l'on donne pour calculer le volume de la pyramide tronquée à base
carrée - ou Fangting - 3 la procédure suivante :
« procédure : les côtés des carrés inférieur et supérieur étant multipliés
l'un par l'autre, puis chacun multiplié par lui-même, ajouter ceux-ci ;
avec la hauteur, multiplier ceci ; diviser par 3. »
Procédure que nous rencontrerions dans des livres contemporains, avec
les notations de la figure 1, sous la forme de la formule suivante :
V=[(a1a2 + a12 + a22).h].l/3
Une question s'impose ici : l'expression de « liste d'opérations »
que nous employons pour décrire ces procédures prend-elle dans ce
cadre un sens particulier ? Si elle se pose, c'est qu'û priori, pour en
arriver à un but donné, le mathématicien dispose, dans certaines limites
déterminées par le problème, d'une marge de liberté dans la mise en
ordre de sa liste d'opérations. Il peut choisir un ordre entre d'autres, et
donc mettre en oeuvre pour ce faire des contraintes autres que celle
d'obtenir « un bon résultat ».
Mais cette question éclate aussitôt en deux types d'interrogations.
D'une part, l'ordre dénonciation des opérations est-il mathématique
ment intéressant ? Véhicule-t-il un savoir mathématique, parle-t-il d'une
pratique ? D'autre part, avons-nous des indices de ce que le lecteur
chinois de ce texte cherche une information dans la liste d'opérations, ou
plus précisément dans la forme sous laquelle elle se présente à lui ?
Ces deux types de questions, quoique différentes, sont indissocia
bles l'une de l'autre. En effet, s'il apparaît que l'ordre donné des opé
rations d'un algorithme a des propriétés mathématiques intéressantes,
il reste à prouver que l'auteur, tacite sur la question, a travaillé sur ce
point précisément, que ce n'est pas le hasard qui a conduit sa plume
lorsque, rédigeant une procédure, il a choisi l'expression qui lui conf
érait des propriétés particulières. Mais si donc l'on montre que le
lecteur cherche dans l'ordre choisi d'énonciation des opérations une in
formation, cela étayera la thèse selon laquelle le mathématicien n'a pas
laissé cet ordre au hasard, mais a rédigé en satisfaisant à certaines cont
raintes, non explicitées dans le texte, qui confèrent à cet ordre des pro
priétés et constituent l'algorithme en liste signifiante en tant que telle.
80 De l'algorithme comme liste d'opérations
Du sens mathématique dans la structure d'une liste -'
Lors d'études antérieures que j'ai consacrées à l'analyse des algo
rithmes d'extraction de racines carrée et cubique 4, tels qu'on les trouve
dans les Neuf Chapitres, y ai montré que l'ordre dans lequel était donné
l'ensemble des opérations à effectuer pour extraire une racine, loin
d'être indifférent, munissait ralgorithme d'une propriété intéressante.
Expliquons-nous sur le cas de l'algorithme d'extraction de la racine
carrée. La procédure donnée pour la réaliser se décompose en trois
parties. Une première partie (I) calcule le premier chiffre, a, de la racine
du nombre A, puis prépare le tableau de nombres suivant sur la surface
sur laquelle sont effectuées les opérations :
a*
A-a2
2a
A cet endroit-là, un choix s'impose, que le calculateur effectuera en
fonction des données : si la procédure s'arrête là, ce tableau est lu
comme résultat de l'opération, à savoir comme [a + (A-a2)/2a], c'est la
partie (III) de la procédure ; sinon, l'on entre dans la partie (II), qui
calcule le second chiffre, b, de la racine et prépare le nouveau tableau :
(a+b) -
A-(a+b)2
2(a+b) .
Ici, à nouveau, le même choix se propose : soit les données sont telles
que le calcul chiffre à chiffre s'arrête là, et le tableau est lu de la même
manière, comme résultat (III), soit l'on poursuit les calculs des chiffres
suivants en réitérant la phrase (II) autant de fois qu'il le faut, avant d'en
venir à la phase (III), finale. La procédure a donc la structure suivante :
81 De l'algorithme comme liste d'opérations
Elle articule deux types de calcul : l'un permet de chercher les chiffres de
la partie entière de la racine, l'autre permet, étant donné cette partie ent
ière, d 'en déduire une approximation fractionnaire meilleure de la racine.
La préparation du tableau sert simultanément l'un et l'autre but ; les
données du tableau décideront à chaque étape s'il est construit dans
l'une ou l'autre des intentions, sans qu'il soit nécessaire de modifier
cette préparation. Ainsi le fait de proposer le calcul qui parfait ce
tableau avant d'ouvrir l'option, de demander dans quelle branche de
l'alternative l'on se trouve, met en évidence une opération, commune
aux deux décisions possibles, et qui prendra son sens a posteriori en
fonction du contexte : soit elle construit la valeur approchée, soit elle
construit un nombre qui sera utile pour le calcul du chiffre suivant.
La procédure recourt à une rédaction conditionnelle pour articuler
les deux programmes (II) et (III), et, dans ce contexte, met en oeuvre des
opérations à sémantiques multiples, point qui relève d'une histoire de
l'algèbre 5.
Nous avons donc ici un cas où l'ordre d'énonciation des opérations
présente un intérêt mathématique, qui ne se manifeste que dans ce
phénomène. Cela concourt à faire penser que l'auteur a travaillé à la
formulation de sa liste d'opérations sous certaines contraintes qui
n'apparaissent pas à la simple lecture. La suite des opérations, ou liste,
aurait dons des vertus que sa structure exprime ; une information y
serait engrangée, sans plus d'explicitation dans l'ordre des opérations.
Hypothèses certes, mais que nous allons voir confortées par l'étude
d'un deuxième cas pour lequel, au lie