Essai d'interprétation topologique des systèmes interrégionaux (1re partie) - article ; n°3 ; vol.18, pg 353-373

Claude Ponsard

Description

Revue économique - Année 1967 - Volume 18 - Numéro 3 - Pages 353-373
21 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

Sujets

• Sociologie, société et politique

Informations

• Publié par: REVUE_ECONOMIQUE
• Publié le: 01 janvier 1967
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Claude Ponsard
Essai d'interprétation topologique des systèmes interrégionaux
(1re partie)
In: Revue économique. Volume 18, n°3, 1967. pp. 353-373.
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Ponsard Claude. Essai d'interprétation topologique des systèmes interrégionaux (1re partie). In: Revue économique. Volume
18, n°3, 1967. pp. 353-373.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/reco_0035-2764_1967_num_18_3_407765ESSAI D'INTERPRETATION TOPOLOGIQUE
DES SYSTEMES INTERREGIONAUX
L'intuition qui a été à l'origine des recherches dont les premiers
résultats sont consignés dans le présent article * est née de l'étude des
graphes de fluence 1, encore appelés graphes de transfert 2, qui sont
utilisés en électronique et en électrotechnique. Ces graphes servent à
représenter des systèmes physiques, notamment des réseaux électriques.
Leur dénomination n'est que la traduction de l'expression anglo-saxonne
signal flow graphs et souligne bien qu'il s'agit de l'application d'un
type de graphe à un système de transmission de signal entre des sta
tions émettrices et des stations réceptrices qui combinent les signaux
reçus et transmettent à leur tour le signal résultant.
Or, la correspondance entre les réseaux électriques et les systèmes
d'équations linéaires simultanées d'une part, la correspondance entre
les systèmes et les graphes de transfert d'autre part, font ap
paraître que tout circuit, pourvu qu'il possède une structure linéaire,
présente les mêmes propriétés mathématiques, quelle que soit sa
nature.
« II est bien évident — écrivent Chow et Cassignol (op. cit., p. 2) —
que les applications de la technique des graphes de transfert ne se
limitent pas aux circuits électriques, mais s'étendent à tout système
linéaire régi par un ensemble d'équations simultanées obtenues soit
directement soit par la transformation de Laplace ».
En d'autres termes, toute théorie des circuits linéaires peut être
formalisée à l'aide d'un système d'équations simultanées dont la réso-
(*) Monsieur G. Gaudot, Maître-Assistant à la Faculté de droit et des sciences
économiques de Dijon, a bien voulu lire le manuscrit de cette étude et nous a
suggéré d'utiles améliorations. Nous tenons à lui exprimer ici nos remerciements
et notre amitié. Bien entendu, la responsabilité des imperfections de cette étude
ne saurait être imputée qu'à nous-même [C. P.].
1. L.P.A. Robichaud, M. Boisvert, J. Robert, Graphes de fluence, Québec, les
Presses de l'Université Laval; Paris, Editions Eyrolles, 1961, 237 p.
2. Y. Chow, E. Cassignol, Théorie et applications des graphes de transfert,
Paris, Dunod, 1965, 158 p.
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lution s'effectue par application du calcul matriciel. Du point de vue
mathématique, la technique des graphes de transfert consiste à passer
de la méthode matricielle à une méthode topologique : l'étude de tout
système linéaire est effectuée à partir de sa configuration topologique
et des lois qui régissent le réseau considéré.
Les circuits économiques linéaires apparaissent ainsi justiciables
non seulement du calcul matriciel, dont l'emploi est maintenant clas
sique dans ce domaine de l'analyse économique, mais encore de la
technique des graphes de transfert qui permettrait de formuler une
interprétation topologique originale.
Un graphe se définit, d'une manière générale, comme un couple
constitué par un ensemble X et une application F de X dans X et
se note G = (X, F). Si l'on représente les éléments appartenant à
lensemble X par des points du plan et si deux de ces points, %., et .t.,
par exemple, sont tels que x2 £ F xu on trace une flèche partant de
Xi et aboutissant à x2. Cette flèche est appelée un arc et s'écrit (xu x->).
Un élément de X est appelé un sommet ou un nœud 3 du graphe.
Fig. 1
[On convient d'écrire Fx1 pour désigner l'ensemble des images de xx par F]
Si l'on considère maintenant un sous-ensemble A de l'ensemble X
auquel on applique la loi F, on définit un sous-graphe du graphe G.
Si une restriction porte sur la loi F, et non plus sur X,
3. Il faut noter que, dans la terminologie de la théorie générale des graphes,
les concepts de nœud et d'anti-nœud sont pris dans une acception différente. A
titre exceptionnel, le terme de nœud a été conservé ici avec le sens qu'il a dans
la théorie des graphes de transfert, pour des raisons de commodité qui apparaî
tront évidentes ultérieurement. DES SYSTEMES INTERREGIONAUX 355 INTERPRETATION
on définit un graphe partiel. Enfin, si une restriction porte sur l'e
nsemble X et une autre sur la loi V, on définit un sous-graphe partiel 4.
On peut associer une matrice à un graphe — et réciproquement
— qu'il s'agisse d'une matrice usuelle ou d'une matrice booléenne.
Un graphe de transfert est un type particulier de graphe en ce
sens qu'il est associé à un système d'équations linéaires simultanées.
L'ensemble X a pour éléments les variables, indépendantes et dépen
dantes ; la loi d'application V est donnée par l'ensemble des relations
entre les variables et les arcs du graphe sont values à l'aide des para
mètres des équations.
Par conséquent, comme être mathématique, le graphe de trans
fert apparaît indépendant de la nature physique des systèmes à
l'étude desquels il a servi et d'où il a tiré sa dénomination. Les rai
sons fortuites qui ont présidé à l'élaboration de sa théorie ont toutef
ois eu pour effet de maintenir cette dernière en marge de la théorie
générale des graphes et il en résulte que la terminologie utilisée par
les spécialistes de la théorie des graphes de transfert est entièrement
distincte de celle qui s'est universellement imposée en même temps
que la théorie générale des graphes se développait, notamment au
cours de son vigoureux essor des dix dernières années. Plus grave
encore est le fait qu'un même terme peut être utilisé dans le cadre
de l'une ou l'autre analyse dans un sens différent.
La présente étude étant insérée dans un programme de recher
ches plus vaste, consacré aux applications de la théorie des graphes
à l'analyse de l'espace économique, la terminologie particulière à
la théorie des graphes de transfert a été abandonnée, après avoir
fait l'objet d'une transcription, parfois laborieuse quand des péri
phrases ne pouvaient être évitées, dans le langage général des graphes.
Cette traduction d'une langue dans une autre ne répond donc pas
à une nécessité d'écriture du présent article qui est limité à l'exploi
tation des graphes de transfert ; elle ménage l'intégration de ces déve
loppements dans le cadre d'un ouvrage plus important, en cours de
préparation 5.
4. Les définitions relatives à la théorie des graphes sont limitées ici à celles
qui sont strictement nécessaires à la compréhension du présent article. Pour une
étude complète de la terminologie et de la théorie des graphes, on se reportera à
la littérature spécialisée et notamment à l'ouvrage fondamental de C. Berge,
Théorie des graphes et ses applications, 2e éd., Paris, Dunod, 1963, 269 p.
5. Dans cette direction de recherches, on lira un autre modèle, présenté par
nous le 9 juin 1965 devant le Centre d'économétrie de la Faculté des sciences de
Lyon, et intitulé a Une application de la théorie des graphes à l'analyse de l'espace
économique : un modèle de localisation optimale de l'unité de production dans une
structure de concurrence », Techniques économiques modernes 4, 1966, pp. 1 sqq. 356 REVUE ECONOMIQUE
Cette dernière préoccupation explique que le champ de l'étude
qui suit soit celui des systèmes économiques interrégionaux. Bien que
la théorie des graphes de transfert soit applicable à tout circuit éc
onomique linéaire, elle sera utilisée ici à l'analyse