MODÉLISATION DES ÉLÉMENTS FINIS - Cours et exercices corrigés

Jean-Charles Craveur

Description

Chapitre 1 Rappels de mécanique 1.1. VECTEUR DES CONTRAINTES On ne s’intéresse qu’aux milieux continus qui sont des domaines de l’espace à trois dimensions. Ce sont des corps purement fictifs où la matière est uniformément distribuée dans le volume, de sorte que tout élément infinitésimal a les mêmes propriétés que le corps lui même. On suppose de plus qu’au voisinage d’un point quelconque du milieu, ces propriétés sont des fonctions continues et différentiables par rapport à toutes les variables définissant le point (coordonnées, temps...). Ces milieux continus ne subissent que des transformations continues. En particulier, deux points initialement voisins le restent à tout instant, tout en ayant des déplacements quelconques (finis ou infinitésimaux). Les forces de surface sont réparties sur la surface (ou portion 2de surface) extérieure du corps, elles ont la dimension d’une pression en N/m dans le système international. Ce sont par exemple des efforts de contact entre deux solides mais aussi les efforts exercés par un fluide sur la structure (vent, neige, charge hydrostatique dans une cuve …). En Résistance Des Matériaux, si la surface dS sur laquelle s’exerce l’effort est suffisamment petite devant la surface S de l’enveloppe du corps, on admet que la force est ponctuelle. En Mécanique des Milieux Continus, ce modèle mathématique n’est pas utilisable. 3Les efforts volumiques sont des actions à distance exprimées en N/m , réparties dans le volume ...

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Extrait

C

hapitre

1

Rappels de mécanique

1.1. VECTEUR DES CONTRAINTES

On ne s’intéresse qu’aux

milieux continus

qui sont des domaines de l’espace à

trois dimensions. Ce sont des corps purement fictifs où la matière est

uniformément distribuée dans le volume, de sorte que tout élément infinitésimal

a les mêmes propriétés que le corps lui même. On suppose de plus qu’au

voisinage d’un point quelconque du milieu, ces propriétés sont des fonctions

continues et différentiables par rapport à toutes les variables définissant le point

(coordonnées, temps...). Ces milieux continus ne subissent que des

transformations continues

. En particulier, deux points initialement voisins le

restent à tout instant, tout en ayant des déplacements quelconques (finis ou

infinitésimaux). Les

forces de surface

sont réparties sur la surface (ou portion

de surface) extérieure du corps, elles ont la dimension d’une pression en N/m

2

dans le système international. Ce sont par exemple des efforts de contact entre

deux solides mais aussi les efforts exercés par un fluide sur la structure (vent,

neige, charge hydrostatique dans une cuve …). En Résistance Des Matériaux, si

la surface

dS

sur laquelle s’exerce l’effort est suffisamment petite devant la

surface S de l’enveloppe du corps, on admet que la force est ponctuelle. En

Mécanique des Milieux Continus, ce modèle mathématique n’est pas utilisable.

Les efforts volumiques sont des actions à distance exprimées en N/m

3

, réparties

dans le volume de la structure. Il n’y a pas d’agent extérieur qui transmet ces

efforts, comme dans le cas précédent. Les forces d’inertie, les forces

centrifuges, les forces thermiques ou les forces électro-magnétiques en sont des

exemples.

A l’intérieur de toute structure mécanique, il existe des actions mécaniques

s’exerçant entre les différentes parties qui le constituent, appelées « forces

intérieures » par abus de langage. Pour déterminer ce qui se produit dans la

structure sous l’action des forces extérieures, on est amené à imaginer des

2

Chapitre 1

coupures virtuelles au sein de la structure considérée, et à prendre en compte les

actions mutuelles de ces deux parties au travers de la section effectuée. On isole

la partie I, la section est définie par un point de passage M, et la normale à la

section, dirigée vers l’extérieur de la partie I considérée. On appelle

facette

un

élément infinitésimal de surface

dS

appartenant au plan de coupe. Soient

F

I

et

F

II

les deux systèmes partiels de forces extérieures respectivement appliqués aux

parties I et II. Pour qu’en isolant la partie I, elle garde la position d’équilibre, il

faut y appliquer les efforts extérieurs

F

1

et les actions de la partie II sur la partie

I dans la section

(Figure 1.1).

F

r

∆

est la force qui représente l’action exercée en

M par la partie II sur la partie I.

2

t

r

r

F

in

r

F

it

1

r

F

it

2

F

r

∆

r

t

1

r

n

M

Figure 1.1 : Efforts en M dans la section orientée

On appelle

vecteur contrainte

en M suivant la normale

n

r

le vecteur défini

par :

dS

n

M

dS

F

T

r

r

r

∆

=

→

0

lim

)

,

(

Bien que la notion de contrainte soit très largement utilisée en mécanique, c’est

une notion purement mathématique. Une contrainte ne se mesure pas. On a

accès, sur la surface externe des solides, à des déformations par l’intermédiaire

des

jauges de déformations

,

que les francophones appellent

jauges de

contraintes

.

Une contrainte est homogène à une pression, c’est-à-dire à une

force par unité de surface. Elle s’exprime dans le système SI en Pascal

(1 Pa = 1 N/m

2

) mais on utilise souvent le Méga-Pascal (1 MPa = 10

6

N/m

2

= 1

N/mm

2

). Le vecteur contrainte peut être projeté sur la normale et selon deux

directions qui lui sont orthogonales et sont contenues dans le plan de la facette,

Rappels de mécanique

3

ou dans tout autre système d’axes. Les composantes du vecteur contrainte dans

le repère attaché à la section en M sont :

dS

dS

dS

t

t

2

1

,

,

F

F

F

n

∆

∆

∆

Ces rapports ont une limite finie lorsque

dS

tend vers 0. Par abus de langage, on

parle de contrainte au point M. En fait, il s’agit des trois composantes du

vecteur contrainte

au point M, dans le plan de coupe dont la normale est

orientée selon

n

r

.

dS

dS

n

F

∆

→

0

lim

est une

contrainte normale

car c’est la composante du vecteur

contrainte au point M orthogonale au plan de coupe. On la note généralement

nn

σ

. C’est une traction si elle est dirigée dans le sens de la normale sortante,

auquel cas elle a une valeur positive. C’est une compression si elle est dirigée

dans le sens de la normale rentrante, auquel cas, elle a une valeur négative.

dS

dS

t1

0

lim

F

∆

→

et

dS

dS

t2

0

lim

F

∆

→

sont les

contraintes tangentielles

ou

contraintes de

cisaillement

et elles sont notées respectivement

1

nt

σ

et

2

nt

σ

ou

1

nt

τ

et

2

nt

τ

2

2

1

1

)

,

(

t

t

n

t

n

n

M

nt

nt

r

r

r

r

r

r

r

τ

τ

σ

τ

σ

+

+

=

+

=

T

Dans la notation

σ

ij

ou plus fréquemment

τ

ij

, le premier indice indique que la

normale au point considéré est portée par l’axe dont le vecteur directeur est

i

. Le

second indice indique quelle est la composante du vecteur contrainte qui est

considérée. On a défini le vecteur contrainte et ses composantes pour la partie I

dans la section orientée passant par le point M. Par application du principe

d’action/réaction, le vecteur contrainte représentant l’action en M de la partie I

sur la partie II est l’opposé de celui représentant l’action de la partie II sur la

partie I. Mais la normale sortante pour la partie II est l’opposée de la normale

sortante pour la partie I, de sorte que les composantes du vecteur contrainte en

M sont les mêmes que l’on considère l’équilibre de l’une ou l’autre des deux

parties. La contrainte en un point de la section caractérise intrinsèquement ce

qui s’y passe et ne dépend pas du fait que l’on examine l’action de II sur I ou de

I sur II.

1.2. MATRICE DES CONTRAINTES

Puisqu’il existe une infinité de plans passant par un point donné, on y définit

une infinité de vecteurs contraintes qui forment le

faisceau des contraintes

en

M, l’extrémité du vecteur contrainte en M décrivant dans l’espace une surface.

La contrainte normale et les contraintes tangentielles changent avec

4

Chapitre 1

l’orientation de la normale sortante. La connaissance au point M d’une matrice

3

x

3 appelée

matrice des contraintes

est néanmoins suffisante pour déterminer

l’état de contrainte

en ce point pour une orientation quelconque de la facette.

Prenons trois axes de référence absolus, par exemple les axes

Ox

,

Oy

et

Oz

. On

suppose connus les vecteurs contraintes en M suivant les directions de ces trois

axes. Soit un tétraèdre infinitésimal d’origine M dont trois arêtes sont parallèles

aux axes (Figure 1.2). Ce tétraèdre étant en équilibre, la somme des efforts qui y

sont appliqués est nulle.

0

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

3

2

1

r

r

r

r

r

r

r

r

r

=

+

−

+

−

+

−

ds

n

M

ds

z

M

ds

y

M

ds

x

M

T

T

T

T

z

y

x

n

r

A

3

A

1

Figure 1.2 : Equilibre du tétraèdre

A

2

On projette cette équation vectorielle sur les trois axes de coordonnées, on

obtient :

[

]

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

M

z

y

x

zz

yz

xz

zy

yy

xy

zx

yx

xx

z

zz

y

yz

x

xz

z

zy

y

yy

x

xy

z

zx

y

yx

x

xx

r

r

r

σ

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

σ

τ

τ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

+

+

+

+

+

=

)

,

(

T

La matrice [

σ]

est la matrice des contraintes au point M. Si on connaît les

vecteurs contraintes sur trois facettes deux à deux perpendiculaires, on peut

calculer le vecteur contrainte sur une facette d’orientation quelconque. Cette

matrice est définie par neuf termes qui sont les trois composantes des trois

vecteurs contraintes dans un repère orthonormé direct arbitraire de référence. La

relation ci-dessus donne les composantes du vecteur contrainte dans le repère

Oxyz

. Les composantes normales et tangentielles sont les composantes du

vecteur contrainte dans le repère lié à la facette (Figure 1.3). La matrice des

contraintes est représentative d’un tenseur du second ordre appelé

tenseur des

contraintes

.