Retards moyens et multiplicateurs dynamiques - article ; n°4 ; vol.24, pg 646-664

Pierre-Marie Larnac

Description

Revue économique - Année 1973 - Volume 24 - Numéro 4 - Pages 646-664
Retards moyens et multiplicateurs dynamiques
Quelques techniques puissantes, très utilisées en théorie de la commande des systèmes dynamiques, sont rapidement exposées puis appliquées à l'analyse des modèles économiques dynamiques linéaires.
La formule donnant le retard moyen est déduite de la fonction de transfert, puis appliquée aux retards échelonnés de Solow.
Des équations d'état sont déduits :
— les multiplicateurs dynamiques,
— la matrice de transfert, dans le cas particulier d'un système multidimensionnel 2 X 2 à retards échelonnés de Koyck.
Mean lags and dynamic multipliers
A few powerful tools, much used in the theory of dynamical system control, are briefly sketched, then aplied to the analysis of linear dynamic economic models. The formula giving the mean lag is deduced from the transfer function, then applied to Solow's distributed lags.
From the state equations are deduced :
- the dynamic multipliers,
- the transfer matrix, in the particular case of a 2 X 2 multivariable system with Koyck type distributed lags.
19 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

Sujets

• Sociologie, société et politique

Informations

• Publié par: REVUE_ECONOMIQUE
• Publié le: 01 janvier 1973
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

Monsieur Pierre-Marie Larnac
Retards moyens et multiplicateurs dynamiques
In: Revue économique. Volume 24, n°4, 1973. pp. 646-664.
Résumé
Quelques techniques puissantes, très utilisées en théorie de la commande des systèmes dynamiques, sont rapidement
exposées puis appliquées à l'analyse des modèles économiques dynamiques linéaires.
La formule donnant le retard moyen est déduite de la fonction de transfert, puis appliquée aux retards échelonnés de Solow.
Des équations d'état sont déduits :
— les multiplicateurs dynamiques,
— la matrice de transfert, dans le cas particulier d'un système multidimensionnel 2 X 2 à retards échelonnés de Koyck.
Abstract
Mean lags and dynamic multipliers
A few powerful tools, much used in the theory of dynamical system control, are briefly sketched, then aplied to the analysis of
linear dynamic economic models. The formula giving the mean lag is deduced from the transfer function, then applied to Solow's
distributed lags.
From the state equations are deduced :
- the dynamic multipliers,
- the transfer matrix, in the particular case of a 2 X 2 multivariable system with Koyck type distributed lags.
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Larnac Pierre-Marie. Retards moyens et multiplicateurs dynamiques. In: Revue économique. Volume 24, n°4, 1973. pp. 646-
664.
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/reco_0035-2764_1973_num_24_4_408104RETARDS MOYENS
ET MULTIPLICATEURS DYNAMIQUES
1. Introduction
Cet article a pour objet la reformulation, dans le langage de la
théorie moderne de la commande des systèmes dynamiques linéaires
discrets, de deux des concepts les plus utiles de la dynamique économi
que 1.
Il semble utile d'emprunter aux spécialistes de l'automatique leur
langage et leurs techniques de calcul très élaborées, lorsque les pro
blèmes rencontrés en analyse macroéconomique sont de même nature
que ceux qu'ils traitent. Cette démarche naturelle ne semble cepen
dant pas avoir été suivie systématiquement jusqu'à présent 2.
C'est ainsi par exemple que les économètres, même dans les publi
cations les plus récentes, en utilisant systématiquement l'opérateur
retard L (lag operator) 3 manipulent en fait les transformées en z, dont
la technique est maintenant très répandue en automatique.
De même la technique des variables d'état qui, dans d'autres do
maines, se révèle extrêmement féconde, ne commence à être employée
en analyse économique que d'une façon très marginale.
Après un rappel de définitions et de résultats très classiques de la
théorie mathématique des systèmes dynamiques, nous illustrerons leurs
possibilités d'application au calcul des retards moyens puis à celui des
multiplicateurs (matriciels) dynamiques.
1. L'article de A.-L. Dumay (« Contribution de la théorie des asservissements à l'étude des
modèles macro-économiques » in Revue d'économie politique, mars-avril 1972) présente la
reformulation de modèles simples en temps continu, l'accent étant mis sur l'étude de la
stabilité.
2. Les travaux regroupés dans le numéro de mars-avril 1972 de la Revue d'économie poli
tique constituent des tentatives dans des domaines très voisins.
S. Voir en particulier Z. Griliches, « Distributed Lags : A Survey », Econome! rica, January
1967, et P.J. Dhrymes, Distributed Lags, Holden Day, San Francisco, 1971. RETARDS MOYENS ET MULTIPLICATEURS DYNAMIQUES 647
2. Représentation des systèmes
LJn modèle macroéconomique dynamique linéaire déterministe en
temps discret est une représentation d'un système. Le passage du lan
gage des modèles à celui des systèmes est très facile, car un grand
nombre de mots se retrouvent dans l'un et dans l'autre avec le même
sens. Il importe cependant de signaler quelques différences de termi
nologie notables : aux expressions « variables exogènes » et « variables
endogènes », il faut substituer les termes « entrées » et « sorties ». De
plus, en théorie des systèmes dynamiques, on insiste particulièrement
sur le concept d'« invariance » (par rapport au temps), c'est-à-dire sur
le fait que les coefficients des variables dans le modèle linéaire ne
varient pas au cours du temps.
Considérons d'abord un système discret 4, déterministe, linéaire,
invariant comportant une seule entrée et une seule sortie. Mathémati
quement, cette entrée et cette sortie sont des suites scalaires réelles
que nous noterons u ou \u (k)\ et y ou {y (k)\ respectivement. La
variable temps, désignée par k, prend des valeurs entières.
Habituellement un modèle dynamique s'écrit sous la forme d'une
équation permettant de calculer la valeur de la variable endogène à
la date k à partir des valeurs prises par les variables « prédétermi
nées » :
(1) S bh y (k — h) = S ol u (k — l) avec p < q
h=o 1=0
On pose en général b0 = 1, ce qui permet d'écrire immédiatement
la forme habituelle :
(2) y (*)=_£ h=l bh y (k — h) + l=u v c u (fc _ \)
En fait cette écriture du modèle ne constitue que l'une des « repré
sentations » du système ; plus précisément il s'agit de la représentation
par « la relation entrée-sortie ». La fonction de transfert, le diagramme
fonctionnel et les équations d'état constituent d'autres représentations,
équivalentes, dont l'utilité pratique justifie une étude approfondie 5.
2,1 Représentation par la fonction de transfert
La fonction de transfert apparaît naturellement par application des
méthodes du calcul symbolique à la représentation précédente du
4. Les systèmes discrets sont le plus souvent appelés k échantillonnés ».
5. Il existe encore d'autres représentations intéressantes (réponse impulsionnelle, réponse à
l'échelon unité, réponse harmonique). Pour leur définition voir R. Pallu t>e la Barrière.
Cours d'automatique théorique. Dunod, Paris, 1968, chapitre 8. •
.
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système. Plus précisément, la relation entrée-sortie apparaissant comme
une équation linéaire aux différences à coefficients constants, on l'étu-
die par une méthode analogue à celle qui consiste à utiliser les tran
sformées de Laplace pour la résolution des équations différentielles
linéaires.
A une suite {s (k)\, on associe sa «transformée en z» qui est la
fonction de la variable complexe z, notée & (s) ou S? (z), et définie
par :
(3) & (s) = S? (z) = +<Z s (k) z-*
pour \z\ > — , où p est le rayon de convergence de la série.
P
Cette double notation permet de mettre en évidence, tantôt le fait
que la transformée est une fonction de la variable z, le fait
qu'elle est l'image de la suite s = \s(k)\.
On vérifie immédiatement la propriété de linéarité de cette tran
sformation :
(4) & (a v + 0 w) = a & (v) + ß & (w)
avec a et ß scalaires quelconques.
Le produit de convolution \x(k)\ de deux suites { v (k) } et { w (k) } ,
noté x = v $t w, étant défini par :
(5) x (k) = y. v (p) w (q) = S o (p) w (k — p)
p+q = k P
= S « (k — q) w (q)
p
la propriété fondamentale de la transformée en z s'exprime par :
(6) ^T (v * w) = & (o) . & (w)
c'est-à-dire que la transformée en z du produit de convolution de deux
suites est le produit des transformées en z de ces deux suites.
Remarquons enfin que la transformée en z d'une suite retardée
s'écrit très simplement" :
(7) iT [{.s- (k — p)}] = s-» &> (z)
ce qui montre bien la liaison étroite entre la variable z (ou plutôt son
inverse) et l'opérateur retard L tel que
(8) L" {.9 (k)} = {s (k - p)} RETARDS MOYENS ET MULTIPLICATEURS DYNAMIQUES 649
Si l'entrée et la sortie du système représenté par l'équation (1)
ont respectivement pour transformées ££(u) = °U (z) et 2£ (y) = <W (z),
il existe entre ces deux la relation :
(9) <& (z) . I L h=oï bh z-* J~\ = W (z) A L i=o l
d'où
(10) <&
h=o S
et la fonction de transfert $? (z) du système est définie par :
Cl V
l 1