Correction : Algèbre linéaire, Supplémentaire commun à deux sous-espaces vectoriels

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
• Nombre de lectures: 151
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b

3.c

3.d

4.a

4.b

4.c

4.d

Correction

⊕=⊕donc dim⊕=dim⊕d’où et dim+dim=dim+dimpuis
dim=dim. De plus⊕=+donc dim+dim=dim+dim−dim∩et par suite
dim=dim−dim∩=dim−dim∩.
Puisque≠et dim=dimon a nécessairement⊄(car inclusion et égalité des dimensions
impliquent égalité des espaces). Par suite∃∈tel que∉. De même pour.
Si=+∈alors=−∈par opérations sur les vecteurs de.
Par contraposée :∉⇒∉. De même∉et donc∉∪.
Soit∈∩. Il existeλ∈tel que=λ.et∈
1
Siλ≠0 alors=.∈ce qui est exclu.
λ
Nécessairementλ=0 et=. Ainsietsont en somme directe.
dim⊕=dim+dim=(−1)+1==dimet donc⊕=
Or⊂+,⊂+(car∈+) donc=⊕⊂+.
Par suite⊕=+=. De même⊕=+.
Si=alors+==.= {}résout le problème posé.

∩est un sous-espace vectoriel dequi est un- espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Par suite∩possède un supplémentaire′dans.
′ ∩′⊂∩car′⊂et′⊂.

Or′∩(∩)= {}car′⊕(∩) donc∩′{′=}.
dim=dim+′dim∩et dim=dim+′dim∩.
Puisque dim=dimon a dim′=dim′.
De plus′,′{≠}(car sinon on aurait=) donc dim=′dim=′∈ℕ* .

′et′sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie∈ℕ* donc possède des bases de la
forme annoncée.
  
.
Supposonsλ11+⋯+λ=
On aλ11+⋯+λ= −(λ11+⋯+λ) orλ11+⋯+λ∈′etλ11+⋯+λ∈′avec
 
′∩′={}doncλ11+⋯+λ=λ11+⋯+λ.
=
Puisque la familleest libre, on aλ1=…=λ=0 doncest libre.
La familleest une famille libre et génératrice de, c’est donc une base de.
Puisqu’elle est formée devecteurs on a : dim=.
Soit∈∩
.
∈donc on peut écrire=λ11+⋯+λ=+avec=λ11+⋯+λ∈′et
  
=λ11+⋯+λ∈′.
On a alors=−∈car∈et∈′⊂. Mais∈′⊂donc∈∩.
 
Or∈′et (∩)∩{′=}donc=.
Puisqueest une base, on aλ1=…=λ= par suite0 et=et donc=.
⊂+et⊂+donc+⊂+.
De plus dim⊕=dim+dim=dim+=dim+dim−dim∩=dim+
donc⊕=+.
De manière symétrique+=⊕.