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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le vendredi 23 septembre 2011 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚02 EXERCICE 1 1. Soit x∈R (arbitraire, fix´e). Pour calculer cette somme trigo, on passe en complexes . On calcule tout d’abord la somme des exponentielles imaginaires au moyen de la formule du binˆome de Newton X X Im a = Imak k nX n nikx ixE(x) = e = 1+e k factorisation d’unek=0 nix/2 n n inx/2 somme d’exponen-= 2cos(x/2)e = 2 cos (x/2)e tielles imaginaires Finalement, en prenant les parties imaginaires des deux membres de l’´egalit´e pr´ec´edente, il vient : nX n n nS(x) = sin(kx) = 2 cos (x/2)sin(nx/2) k k=0 2. La formule pr´ec´edente a´et´e´etablie pour tout r´eel x∈R. Choisissons judicieusement! πde l’appliquer `a x = , il vient d’une part 2 √π n n nS( ) = 2 cos (π/4)sin(nπ/4) = ( 2) sin(nπ/4) 2 D’autre part, en observant que sin(kπ/2) est nul lorsque k est pair, on peut r´e´ecrire la somme S(π/2) en deux sommes : nXπ n S( ) = sin(kπ/2) 2 k k=0 X Xn n = sin(kπ/2)+ sin(kπ/2) k k 0≤k≤n 0≤k≤n k impair k pair | {z } =0 X n = sin((2 +1)π/2) 2 +1 0≤2 +1≤n πDans cette somme, on a sin((2 + 1)π/2) = sin( + ℓπ ) = (−1) discutez suivant que 2 lui-mˆeme est pair ou impair1 ℓℓ ℓℓ ℓℓ .

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MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le vendredi 23 septembre 2011
´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚02
EXERCICE 1
1. Soit x∈R (arbitraire, fix´e). Pour calculer cette somme trigo, on passe
en complexes . On calcule tout d’abord la somme des exponentielles
imaginaires au moyen de la formule du binˆome de Newton X X
Im a = Imak k
nX n nikx ixE(x) = e = 1+e
k
factorisation d’unek=0
nix/2 n n inx/2 somme d’exponen-= 2cos(x/2)e = 2 cos (x/2)e
tielles imaginaires
Finalement, en prenant les parties imaginaires des deux membres de
l’´egalit´e pr´ec´edente, il vient :
nX n n nS(x) = sin(kx) = 2 cos (x/2)sin(nx/2)
k
k=0
2. La formule pr´ec´edente a´et´e´etablie pour tout r´eel x∈R. Choisissons judicieusement!
πde l’appliquer `a x = , il vient d’une part
2
√π
n n nS( ) = 2 cos (π/4)sin(nπ/4) = ( 2) sin(nπ/4)
2
D’autre part, en observant que sin(kπ/2) est nul lorsque k est pair, on
peut r´e´ecrire la somme S(π/2) en deux sommes :
nXπ n
S( ) = sin(kπ/2)
2 k
k=0

X Xn n
= sin(kπ/2)+ sin(kπ/2)
k k
0≤k≤n 0≤k≤n
k impair k pair
| {z }
=0
X n
= sin((2 +1)π/2)
2 +1
0≤2 +1≤n
πDans cette somme, on a sin((2 + 1)π/2) = sin( + ℓπ ) = (−1) discutez suivant que
2
lui-mˆeme est pair ou
impair1
ℓℓℓℓℓℓ. De plus, on peut d´eterminer l’ensemble des indices pour lesquels
0≤ 2 +1≤ n de la mani`ere suivante :
n−1 n−1
0≤ 2 +1≤ n ⇐⇒ 0≤ 2 ≤ n−1 ⇐⇒ 0≤ ≤ ⇐⇒ 0≤ ≤
2 2
Finalement, en rebaptisant k l’indice , nous avons :
n−1
2Xπ nkS( ) = (−1) = A
2 2k +1
k=0
π
Des deux expressions obtenues pour S( ), nous tirons
2
n−1
2X √nk nA = (−1) = ( 2) sin(nπ/4)
2k +1
k=0
3. Par rapport `a la question pr´ec´edente, seuls les termes d’indice pairs
dans la somme E(x) doivent contribuer. On a l’id´ee de calculer
nX n
C(x) = cos(kx)
k
k=0
Comme C(x) =Re (E(x)), on a
n nC(x) = 2 cos (x/2)cos(nx/2)
π´Evaluons alors cette ´egalit´e en , il vient d’une part
2
√π
n n nC( ) = 2 cos (π/4)cos(nπ/4) = ( 2) cos(nπ/4)
2
D’autre part, en observant que cos(kπ/2) est nul lorsque k est impair,
on peut r´e´ecrire la somme C(π/2) en deux sommes :
nXπ n
C( ) = cos(kπ/2)
2 k
k=0
X Xn n
= cos(kπ/2)+ cos(kπ/2)
k k
0≤k≤n 0≤k≤n
k pair k impair
| {z }
=0
n
2X Xn n k= cos(ℓπ ) = (−1)
2 2k
0≤2 ≤n k=0
2
ℓ⌊ℓ⌋⌊ℓ⌋⌋ℓℓ⌋ℓ⌊ℓ⌊ℓℓFinalement, des deux expressions de C(π/2), nous tirons :
n
2X √n
k nB = (−1) = ( 2) cos(nπ/4)
2k
k=0
N
EXERCICE 2
Soit n ∈ N un entier naturel non nul et a un r´eel de l’intervalle
]0,π/2[. On souhaite r´esoudre l’´equation
n
1+iz 1+itana
= (2)
1−iz 1−itana
1. Comme a∈]0,π/2[, nous avons
sina
1+i ia1+itana cosa+isina e i2acosa= = = = e
−iasina1−itana cosa−isina e
1−i
cosa
N
2. Les solutions complexes de l’´equation
n 2iaw = e (3)
i`emes 2iasont simplement les racines n de e . M´ethode : Re-
i`eme 2ia 2ia/n cherche des racines• une racine n particuli`ere de e est donn´ee par ζ = e .0
i`emen d’un nombre
i`emes ia• la totalit´e des racines n de e s’en d´eduit en multipliant ζ0
complexe non nul
i`emespar l’ensemble des racines n de 1 :
n o
2iπ 4iπ 2(n−1)iπ
n n nU = 1,e ,e ,...,e .n
n 2ia• l’ensemble des solutions de l’´equation w = e est donc

2i(a+kπ)
S = exp ; k∈{0,..,n−1}
n
Afind’all´egerl’´ecriture,nousnoteronsd´esormaispourk∈{0,..,n−1},
2i(a+kπ)
θ = . Nk
n
3
⋆⌊⌋3. Soit z ∈ C\{−i} une solution de (2). Passant aux modules dans
l’´egalit´e (2), il vient :
n 1+iz i2a =|e | = 1

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