Cours - Mécanique I - 1ère année de CPGE scientifique, voie MPSI, Dynamique du point en référentiel galiléen

Damien Decout

Description

Cours de mécanique basé sur le programme de physique de 1re année de la voie MPSI des CPGE. Ce cours est composé de 5 chapitres : (1) Introduction à la mécanique classique - Rappels et domaine de validité (2) Repérage d'un point vitesse et accélération (3) Dynamique du point en référentiel galiléen (4) Energie potentielle - Energie mécanique - Problèmes à un degré de liberté (5) Oscillateur harmonique - Régime libre

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: cours-cpge
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 139
• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 1/6
2
4.2.2 Chute libre avec frottement en v . . . . . . . . . . . . 5
Dynamique du point en r´ef´erentiel
4.3 Tension d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Force de rappel ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
galil´een
4.5 Force de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
e
Il faut bien comprendre que la 2 loi de Newton rappel´ee dans le chapitre d’in-
troduction `a la m´ecanique classique appliqu´ee dans notre r´ef´erentiel Oxyz
1 Lois de Newton
consid´er´e galil´een, suffit `a r´esoudre tous les probl`emes analytiquement ou
re
num´eriquement. Nous aurions pu en rester la`.
1 loi ou principe d’inertie Dans un r´ef´erentiel galil´een, un point mat´eriel
Tout ce qui suit va faciliter la r´esolution (et donc souvent la compr´ehension) de
isol´e `a un mouvement rectiligne uniforme.
certains probl`emes.
e
2 loi ou principe fondamental de la dynamique Dans un r´ef´erentiel gali-
Nous venons de voir que la description du mouvement d’un point peut-ˆetre sim-
l´een ma =F.
plifi´ee avec d’autres syst`emes de coordonn´ees et d’autres bases.
e
3 loi ou principe de l’action et de la r´eaction Les forces d’interaction r´e-
e
Un peu dans le mˆeme ´etat d’esprit, nous allons voir que la 2 loi peut s’´ecrire
ciproque quis’exercent entredeux points mat´eriels sontoppos´ees et ont pour
autrement en faisant apparaˆıtre de nouvelles grandeurs qui peuvent s’av´erer tr`es
support la droite joignant ces points.
utiles pour certains probl`emes.
Enfin nous ferons l’inventaire des forces qui interviennent le plus couramment
dans les probl`emes.
2 Quantit´e de mouvement
2.1 D´efinition
Table des mati`eres
La masse (inertielle) ´etant invariante en m´ecanique clasique on a :
1 Lois de Newton 1
dv d
ma =m = (mv)
dt dt
2 Quantit´e de mouvement 1
2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
La grandeur :
2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . 1
p =mv
2.3 Conservation de la quantit´e de mouvement . . . . . . . . . . . . . 2
est appel´ee quantit´e de mouvement du point M ou` m est la masse de M et v
son vecteur vitesse.
3 Puissance, travail et ´energie cin´etique 2
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Th´eor`eme de la puissance cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Th´eor`eme de la quantit´e de mouvement
3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
e
La 2 loi peut alors s’´ecrire en faisant apparaˆıtre la quantit´e de mouvement :
3.4 L’´energie cin´etique se conserve-t-elle? . . . . . . . . . . . . . . . . 3
dp
=F
4 Forces 3
dt
4.1 Force de pesanteur - Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
e
4.2 Force de frottement dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Comme la 2 loi, le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement s’applique dans un
4.2.1 Chute libre avec frottement en v . . . . . . . . . . . . . 4 r´ef´erentiel galil´een.
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007
MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 2/6
2.3 Conservation de la quantit´e de mouvement P =F.v
est la puissance de la r´esultante des forces F qui s’exercent sur M ou` v est la
Si F = 0 (point isol´e ou pseudo-isol´e) alors :
vitesse de M.
p =cte
δW =F.dOM =F.vdt =P(t)dt
re
ou encore v =cte et l’on retrouve la 1 loi de Newton.
est le travail ´el´ementaire de la r´esultante des forces F qui s’exercent sur M ou`
dOM est le d´eplacement ´el´ementaire de M.
Pour un syst`eme quelconque aussi complexe soit-il nous verrons que la
e
2 loi peut s’´ecrire :
Le travail W entre deux instants t et t s’´ecrit :
1 2
dP
=F
ext
Z Z
dt
t M
2 2
P
ou` P = p est la quantit´e de mouvement totale du syst`eme et F la r´esul- W = P(t)dt = F.dOM
i ext
i
t M
1 1
tante des forces ext´erieures au syst`eme.
La conservation de la quantit´e de mouvement permet alors d’expliquer le recul
enfin :
d’un canon :
1
2
E = mv
l’ensemble canon-projectile ´etant immobile, la quantit´e de mouvement totale c
2
est nulle; la r´esultante des forces ext´erieures s’exer¸cant sur l’ensemble canon-
est l’´energie cin´etique de M ou` m est la masse de M et v sa vitesse.
projectile ´etant nulle, la quantit´e de mouvement se conserve, elle reste nulle;
donc si le projectile part d’un cˆot´e, il faut que le canon parte `a l’oppos´e pour que
la quantit´e de mouvement totale reste nulle. 3.2 Th´eor`eme de la puissance cin´etique
Les avions a` r´eaction et les fus´ees fonctionnent aussi sur ce principe : du gaz est
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
´eject´e d’un coˆt´e pour propulser l’avion ou la fus´ee de l’autre coˆt´e.
dE
c
=P
dt
3 Puissance, travail et ´energie cin´etique
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la puissance de la r´esultante des forces exerc´ees sur
M est ´egale `a la d´eriv´ee par rapport au temps de son ´energie cin´etique.
3.1 D´efinitions
e
Multiplions scalairement la 2 loi de Newton par v :
3.3 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique
ma.v =F.v
Toujours d’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a :
!

2
2 2 2
v
dv dv dv d v d d v d v
x y z y
x z
a.v = v + v + v = + + = , dE =δW
x y z
c
dt dt dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2
donc :

qui constitue la forme diff´erentielle du th´eor`eme de l’´energie cin´etique. En int´e-
d 1
2
grant entre deux instants t et t
mv =F.v
1 2
dt 2
Z Z
ou encore :
t M
2 2
1
2 ΔE =E (t )−E (t ) =W = P(t)dt = F.dOM
c c 2 c 1
d mv =F.vdt =F.dOM
t M
1 1
2
Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007MPSI - M´ecanique I - Dynamique du point en r´ef´erentiel galil´een page 3/6
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la variation d’´energie cin´etique de M entre deux Projection : il s’agit de choisir le param´etrage le plus appropri´e au probl`eme;
instants t et t est ´egale au travail de la r´esultante des forces qui s’exercent sur les coordonn´ees cart´esiennes avec un axe colin´eaire `a g sont, pour la chute
1 2
M entre ces deux instants. libre, les plus appropri´ees.
Attention : en g´en´eral W =W(t )−W(t ).
2 1
z
3.4 L’´energie cin´etique se conserve-t-elle?
~g
Si F = 0 (point isol´e ou pseudo-isol´e) alorsP = 0 et E =cte.
c
Contrairement a` la conservation de la quantit´e de mouvement qui reste
~v
0
valable pour les syst`emes, la conservation de l’´energie cin´etique n’est valable que
pour le point; celle-ci est par exemple mise en d´efaut sur l’exemple du syst`eme
canon-projectile.
α
Nous verrons que pour un syst`eme, le th´eor`eme de la puissance cin´etique
x
s’´ecrit :
O
dE
c
=P +P
int ext 
 
dt
x =v cosαt
0

a = 0 v =v cosα
  
x x 0
y = 0
ou` E est l’´energie cin´etique totale du syst`eme,P la puissance des forces ext´e-
c ext a = 0 v = 0
y y
   1
 2
rieures qui s’exercent sur le syst`eme etP la puissance des forces int´erieures qui
int
a =−g v =−gt+v sinα
z =− gt +v sinαt
z z 0 0
2
s’exercent sur le syst`eme. C’est justement la pr´esence de P qui est a` l’origine
int
Pour trouver l’´equation de la trajectoire, il suffit d’´eliminer t :
de la non conservation de l’´energie cin´etique.
x g
2
t = z =− x +tanαx
2 2
v cosα 2v cos α
0
0
4 Forces
Pour trouver la port´ee, il faut r´esoudre z = 0 :
4.1 Force de pesanteur - Chute libre

 x = 0
Soit un projectile de masse m lanc´e avec une vitesse initiale v et soumis
2
0
v sin2α π