Devoir Libre N°09: Années précédentes

Description

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Mathématiques

Informations

• Publié par: devoir-mpsi
• Nombre de lectures: 68
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

1.
2.
3.
a.

b.

4.

1.
2.

3.

4.

5.

MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e

DEVOIR LIBRE N˚09

a`rendrelelundi23janvier2012

`
PROBLEME 1:Diviseurs positifs d’un entier naturel
Soitnrnaturelunentieuoruage´´puseirempco´eosa2l`´e,dcaetdtfedoiunerpersremiursp
sous la forme
r
n=p1α1× ∙ ∙ ∙ ×prαr=Ypiαi
i=1
ou`lespisont des nombres premiers distincts et les exposantsαisont des entiers strictement
positifs.
Partie I. Nombre de diviseurs positifs d’un entier
Notation :Soitn∈N, on noteD(n)lenombre de diviseurs positifsden.

Donnezl’expressionge´n´eraled’undiviseurpositifden.
D´eduisez-enlenombredediviseurspositifsden.
Applicationsnume´riques
De´terminezunentierna2l`el,tequ,us´preeiruuoe´agD(n) = 13.
n∧m= 18
Determinez deux entiers naturelsnetmtels queD(n) = 21
´
D(m) = 10
Montrez que sinetmsont deux entiers naturels premiers entre eux, alors

D(n×m) =D(n)×D(m)

Partie II. Somme des diviseurs positifs d’un entier
Notation :tnodEatler´ennenunertitunan∈N, on noteS(n)la somme des diviseurs
positifs den.

CalculezS(6).
Soitn∈Ntel quen=p1α1. Quels sont les diviseurs positifs den? Exprimez en fonction
dep1etα1la somme de tous ces diviseurs.
Soientnetmdeux entiers naturels premiers entre eux. Montrez que

S(n×m) =S(n)×S(m)

Danslecasge´ne´ral,montrezparr´ecurrencesurlenombrerde diviseurs premiers den
que
r
S(n) =Ypiαi+1−−1
i=1pi1
Applicationsnum´eriques

1

a.
b.

CalculezS(180).
De´terminezunentiern, n’ayant que deux facteurs premiers distincts, tel queS(n) = 847
etD(n2) = 3D(n).

Partie III. Nombres parfaits
D´efinition:On dit qu’un entier naturelnestparfaitsiS(n) = 2n.

1.SoitMn= 2n−1. Montrez que siMnest premier, alorsnest premier.
2.Montrez que siMn+1est premier, alors 2nMn+1est parfait.
3.R´eciprotiosmeuq,tneNun nombre pair, parfait.
a.Montrez qu’il existe un nombre entiern∈N⋆, et un nombre impairq
N= 2nq.
b.Montrez queMn+1diviseq, puis queq=Mn+1
c.Enfin, montrez queMn+1est premier.

2

∈N⋆

tels que

Fin du sujet