Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Systèmes d’équations linéaires : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Algèbre linéaire

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 299
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Algèbre linéaire

1

SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES

Exercice 1
1) Déterminer tous les polynômesP degré 2 qui vérifient de :P(1)=P(−2)=1,
P' (1)=1 etP' (−2)=2 .
2) Reprendre la question précédente avec les polynômesPde degré 3.
Exercice 2
Déterminer tous les polynômesP (de degré 4 qui admettent−1) comme racine et qui
vérifient :P(1)P'(1) 0 ,P(2)=21 etP(−2)=9 .
= =
Le polynôme sera donné sous forme factorisée et sous forme développée.
Exercice 3 (d’après ISG 1998)

Dans l’atelier du Père Noël, tout le monde travaille fiévreusement ! Et il n’est pas
question de faire du gâchis ! Tous les stocks de matières premières doivent être utilisés
au mieux ! Par exemple, pour fabriquer certains jouets électroniques, on utilise des
composantsC1,C2etC3:

- La fabrication d’un jouetJ1nécessite un composantC1, deux composants C2 et
deux composantsC3.
- Celle d’un jouetJ2 un composant nécessiteC1, trois composants C2 et deux
composantsC3.
- Enfin pour un jouetJ3 il faut un composantC1, cinq composants C2 et trois
composantsC3.
On notey1,y2 ety3 nombres de composants lesC1,C2 etC3nécessaires à la
fabrication dex1jouetsJ1,x2jouetsJ2etx3jouetsJ3.
1) Exprimery1,y2ety3en fonction dex1,x2etx3. On précisera le raisonnement.
2) On suppose que l’atelier dispose d’un stock de 1235 composantsC1, 4004
composantsC2 et de 2880 composantsC3. Calculer les quantitésx1,x2 etx3
de jouetsJ1,J2etJ3dont la fabrication provoquera l’épuisement total du stock.

Exercice 4

Résoudre et discuter selon les valeurs du paramètre réelmle système suivant :
(m+1)x+−y++mz==m−+5
xx++(mym+1z)y=m2−z1m5

Exercice 5
(1−m)x−2y−2z=0
Soitmun paramètre réel. On considère le système (1) :−+x+(2−m)y−z=0 .
x y+(4−m)z=0
1) . Pour quelles valeurs deCe système admet évidemment la solution (0,0,0)mcette
solution est-elle unique ?
2) Pour les autres valeurs demdéterminer l’ensemble des solutions du système.

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

Algèbre linéaire 2

Exercice 6
Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réelλle système :
x y z
(xx2−++(y2λ)−+(λ2+)−y++λ)zz===. 000


Exercices de Mathématiques ECS1 Catherine Laidebeure - 2012
-