Exercices de probabilités - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voies ECS et ECE, Variables aléatoires discrètes : énoncés

Catherine Laidebeure

Description

Ces exercices ou problèmes de probabilités, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Dénombrement (2) Probabilités (3) Variables aléatoires discrètes (4) Variables aléatoires à densité. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Cours
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Dénombrement

Informations

• Publié par: exercices-cpge
• Publié le: 01 janvier 2013
• Nombre de lectures: 7 104
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Probabilités - 1 -

VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

Exercice 1 (d’après ESSEC 1999 voie T)
Une expérience aléatoire consiste à lancer simultanément deux dés équilibrés, et l’on
répète indéfiniment cette expérience. On suppose les lancers indépendants.
Partie A : Etude du temps d’attente pour obtenir un double six
On note X la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où l’on
obtient pour la première fois un double six (c’est-à-dire où les deux dés donnent six).
1) Calculer la probabilité d’obtenir un double six si l’on lance une fois les deux dés.
2) Reconnaître la loi de X et la préciser.
3) Calculer l’espérance et la variance de X.
4) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que l’on
obtienne un double six, et qui affiche la valeur prise par X.
Partie B : Etude du temps d’attente pour qu’au moins un dé ait amené un six
On note Y la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où l’on
obtient pour la première fois un six (où l’un des deux dés au moins donne un six).
1) Calculer la probabilité de n’obtenir aucun six si l’on lance une fois les deux dés.
2) Reconnaître la loi de Y et la préciser.
3) Calculer l’espérance et la variance de X.
4) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que l’on
obtienne au moins un six, et qui affiche la valeur prise par Y.
Partie C : Etude du temps d’attente pour que chacun des dés ait amené un six
On note Z la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où pour la
première fois chacun des deux dés a amené un six. Par exemple si les résultats des
expériences sont, dans cet ordre : (1, 4), (6, 5), (6, 2), (2, 4), (3, 6), …, alors Z prend la
valeur 5.
1) Calculer la probabilité pour qu’un dé n’amène aucun six au cours de ses n premiers
lancers.
2) En déduire la probabilité pour tout . P(Z ≤ n) n∈*
3) En déduire P(Z = n) pour tout n∈*.
+∞
4) Vérifier que : P(Z = n)= 1. ∑
n=1
5) Montrer que Z admet une espérance que l’on calculera.
6) Montrer que Z (Z −1) admet une espérance et la calculer. En déduire que Z admet
une variance que l’on calculera.
7) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que chacun
des deux dés ait amené un six, et qui affiche la valeur prise par Z.
Exercice 2 (d’après EM Lyon 2000 voie E)
Soit n∈*. On dispose d’un jeu de 2n cartes qui contient deux rois rouges. On
envisage deux jeux d’argent régis par les protocoles suivants.
A – Premier protocole
Les cartes du jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire. Le joueur retourne les
cartes une par une jusqu’à obtenir un roi rouge.
On définit les événements :
R : « la k-ième carte retournée est un roi rouge ». k
E : « le premier roi rouge obtenu est la k-ième carte retournée ». k
1) Calculer P(E ) , puis en fonction de n et de k la probabilité de E si k ≥ 2 . 1 k
Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Probabilités - 2 -

2) Il donne 1 euro chaque fois qu’il retourne une carte et dès qu’il obtient un roi
rouge, il gagne a euros ( a∈*) et le jeu s’arrête. Son gain est une variable
aléatoire X. Il sera compté algébriquement : positif s’il gagne et négatif s’il perd.
a) Quelle est la valeur prise par X si le premier roi rouge obtenu est la k-ième
carte retournée ? En déduire l’univers image X (Ω) .
2n− k
b) Démontrer que : ∀k∈P1,2nT P(X = a− k)= .
n(2n−1)
2n
c) Vérifier que : P(X = a− k)= 1. ∑
k=1
2n
d) Calculer l’espérance de X, c’est-à-dire E(X )= (a− k)P(X = a− k) . ∑
k=1
B – Deuxième protocole
Les cartes du jeu sont toujours alignées sur une table de façon aléatoire. Mais cette
fois, le joueur n’a le droit de retourner au maximum que n cartes.
On note toujours l’événement R : « la k-ième carte retournée est un roi rouge ». k
Le joueur perd toujours 1 euro chaque fois qu’il retourne une carte et gagne toujours a
euros lorsqu’il obtient le premier roi rouge. On note Y le gain algébrique du joueur.
1) Quelle est la valeur prise par Y si le premier roi rouge obtenu est la k-ième carte
retournée ? Quelle est la valeur prise par Y si le joueur ne trouve pas un roi rouge ?
En déduire l’univers image Y (Ω) .
2) Pour tout k∈P1, nT, calculer P(Y = a− k) .
3) Calculer P(Y =−n) .
n
4) Vérifier que : P(Y =−n)+ P(Y = a− k)= 1. ∑
k=1
5) Calculer l’espérance de Y.
C – Comparaison des deux protocoles
Déterminer, selon les valeurs de a et de n, le protocole le plus favorable au joueur.
Exercice 3 (d’après Ecricome 2004 voie E)
Une personne envoie chaque jour un courrier électronique par l’intermédiaire de deux
serveurs : le serveur A ou le serveur B.
On constate que la probabilité que le serveur A soit choisi est 0,7 et donc que la
probabilité que le serveur B soit choisi est 0,3. Les choix des serveurs sont supposés
indépendants les uns des autres.
1) Dans cette question, on suppose que la probabilité d’une erreur de transmission
avec le serveur A est de 0,1 alors que la probabilité d’une erreur de transmission
avec le serveur B est de 0,05. On suppose les erreurs indépendantes.
a) Calculer la probabilité pour qu’il y ait une erreur de transmission lors de
l’envoi d’un courrier.
b) Si le courrier a subi une erreur de transmission, quelle est la probabilité pour
que le serveur utilisé soit le serveur A ?
c) Soit N le nombre d’erreurs de transmissions au cours d’une séquence de 100
jours. Déterminer la loi de N, son espérance et sa variance.
d) On admet que la loi de N peut être approchée par une loi de Poisson. Préciser
son paramètre. Préciser l’approximation de . P(N = k)
e) A l’aide de la table ci-jointe de la fonction de répartition de la loi de Poisson,
déterminer une valeur approchée des probabilités des événements E : « il y a 1
eu plus de 10 erreurs de transmission » et E : « le nombre d’erreurs de 2
transmissions est compris (au sens large) entre 5 et 15 ».

Exercices de Mathématiques ECS1 et ECE 1 - Catherine LAIDEBEURE - 2013Probabilités - 3 -

Fonction de répartition de la loi de Poisson
k 0 1 2 3 4 5 6 7
F(k) 0,00034 0,00302 0,01375 0,04238 0,09963 0,19124 0,31337 0,45296

k 8 9 10 11 12 13 14 15
F(k) 0,59255 0,71662 0,81589 0,88808 0,93620 0,96582 0,98274 0,99177

2) A partir d’un jour donné, que l’on appellera le jour 1, on note T le numéro du jour 1
où pour la première fois le serveur A est choisi et T le numéro du jour où pour la 2
deuxième fois le serveur A est choisi.
a) Déterminer la loi de T , son espérance mathématique et sa variance. 1
2 k−2b) Montrer que : ∀k ≥ 2 P(T = k)= (k−1)(0,7) (0,3) . 2
+∞
c) Vérifier par le calcul que P(T = k)= 1. ∑ 2
k=2
d) Montrer que T a une espérance et la calculer. 2
3) A partir d’un jour donné, que l’on appellera le jour 1, on note les différents
serveurs utilisés par l’ordinateur par une suite de lettres. Par exemple, la suite
AABBBA… signifie que les deux premiers jours l’ordinateur a choisi le serveur A,
les jours 3, 4 et 5 il a choisi le serveur B, et le jour 6 le serveur A. Dans cet
exemple, on dit que l’on a une première série de longueur 2 et une deuxième série
de longueur 3.
On note L la variable aléatoire représentant la longueur de la première série et 1
la variable aléatoire représentant la longueur de la deuxième série. L2
a) Pour tout entier k∈*, décrire l’événement (L = k) et calculer P(L = k) . 1 1
+∞
b) Vérifier par le calcul que . P(L = k)= 1∑ 1
k=1
c) Montrer que L a une espérance et la calculer. 1
d) Calculer, pour tout k ≥ 1 et j≥ 1, la probabilité P[(L = k)∩ (L = j)] après 1 2
avoir décrit l’événement.
e) En déduire la probabilité P(L = j) pour j≥ 1. 2
f) Montrer que L a