PSI Septembre MATHEMATIQUES

Description

PSI Septembre 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Série Numériques Exercice 1 : Déterminer la nature de la série numérique de terme général un a) un = n? cos( 1 n ) b) un = n?ch( 1 n ) c) un = 1 √ n? 1 ? 2 √ n + 1 √ n + 1 d) un = ln(1 + (?1)n?1 n? ) pour ? > 0. e) un = √ n2 + n + 1? √ n2 + n? 1 f) un = (lnn)n n! g) u1 ? IR et un+1 = 1ne ?un h) u2n = 1 √ 2 + n? 1 et u2n+1 = ? 1 √ 2 + n + 1 Exercice 2 : Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes : 1. ∑ n≥1 1 n(n + 1)(n + 2) . 2. ∑ n≥2 nln 4n3 ? 3n? 1 4n3 ? 3n + 1 . (Utiliser la formule de Stirling) 3. ∑ n≥0 (?1)n 3n + 1 . 4. ∑ n≥0 (?1)n ∫ 1 0 tn √ 1? t2 dt.

• nature de la série ?un


• tn √


• feuille d'exercices série


• n3 ?


• convergence de ∑


• ln cos

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 septembre 2010
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Extrait

PSI MATHEMATIQUES

Septembre 2010

Feuille d’Exercices SÉrie NumÉriques

Exercice 1: DÉterminer la nature de la sÉrie numÉrique de terme gÉnÉralu n 1 −cos( ) a)u n =n n 1 −ch( ) b)u n =n n 1 2 1 c)u n = √ −√ + √ n−1 n n + 1 n−1 (−1) d)u n = ln(1 + α )pourα >0. n √ √ 2 2 e)u n =n+n+ 1−n+n−1 n (lnn) f)u n = n! 1 −u n g)u 1 ∈IRetu n+1 =e n 1 1 h)u 2n = √ etu 2n+1 = − √ 2 +n−1 2+n+ 1 Exercice 2: Montrer que les sÉries suivantes convergent et calculer leurs sommes : X 1 1. . n(n+ 1)(n+ 2) n≥1 X 3 4n−3n−1 2.nln. (Utiliser la formule de Stirling) 3 4n−3n+ 1 n≥2 n X (−1) 3. . 3n+ 1 n≥0 Z 1 X √ n n 2 4.(−1)t1−t dt. 0 n≥0   a X th n 2 5., a∈IR. n 2 n≥0   X a π 6.ln cos, a∈]0,[ n 2 2 n≥0 Exercice 3:(ENSAM 09) √ 2 Soit la sÉrie de terme gÉnÉralu n = sin(π n+ 1) Exprinersin(θ−nπ)en fonction denetsinθ. P DÉmontrer queu n est une sÉrie alternÉe et Étudier la convergence de cette sÉrie.

Exercice 4: +∞ X P 1 1e 1 Sachant quee=, montrer que≤n!≤. n! n+ 1k!n+ 1 k=n+1 Donner la nature de la sÉrie de terme gÉnÉralsin(2πn!e).

Exercice 5: n P 1 Etudier la suite de terme gÉnÉral :u n = ch √ − n. k=1 n+k

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