Sujet : Algèbre linéaire, Endomorphismes cycliques

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Appplications linéaires. Espaces vectoriels de dimension finie.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: algebre-mpsi
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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

Endomorphismes cycliques

Soitun espace vectoriel surℝ.
On note Id l’application identique de.
Pour tout endomorphismede, on note0=Id , et pour tout entier naturel,+1=.
Soit∈ℕ∗. On dit qu’un endomorphismedeest cyclique d’ordres’il existe un élémentde
vérifiant les trois conditions suivantes :
 
· ()
=
· (la famille,(),...,−1( génératrice de)) est
· (la famille,(),...,−1( constituée d’éléments deux à deux distincts.)) est
La famille (,(),...,−1( alors appelée cycle de)) est.

1.

1.a
1.b

2.

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

Partie I Exemples

Dans cette question=ℝ2.
On considère:ℝ2→ℝ2l’application définie par: (,)֏(−,) .
Montrer queest en endomorphisme deℝ2.

En considérant=(1, 0) , observer queest cyclique d’ordre, l’entierétant à préciser.

Dans cette question= le sous-espace vectoriel deVect(sin, cos) désigneℝℝengendré par les
fonctions sin et cos .
Déterminer la dimension de.
Soit∈−{0,1, 2}. Pour∈, on noteτ() l’application définie parτ() :֏(+2π) .
Montrer queτ()∈.
Montrer queτ:֏τ( un endomorphisme de) est.
On pose=sin . Exprimer, pour∈ℕ,τ() .
Observer que, pour,ℓ∈on aτ()=τℓ()⇒=ℓ[] .
Montrer queτest cyclique d’ordre.

Partie II Etude générale

Dans cette partiedésigne unℝ-espace vectoriel de dimension∈ℕ∗.
On considèreun endomorphisme decyclique d’ordre.
Soit (,(),...,−1()) un cycle de.
1. Montrer≥.
2.a Observer que, pour tout∈,(())=() .
2.b En déduire que=Id .
L’endomorphismeest-il bijectif ?
2.c Par quel argument rapide pourrait-on justifier que ker(−Id) et ker(Id++...+−1 des sous-) sont
espaces vectoriels de? Etablir qu’ils sont supplémentaires.
3. On notele plus grand des entiers naturelstels que la famille (,(),...,−1()) soit libre.
3.a Montrer que( combinaison linéaire des) estvecteurs,(),...,−1() .

3.b

3.c

4.

4.a

4.b

4.c
4.d

Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel, supérieur ou égal à, le vecteur() est
combinaison linéaire desvecteurs,(),...,−1() .
En déduire que= (et que la famille,(),...,−1()) est une base de.

Soitun endomorphisme commutant aveci.e. tel que=.
 −
On noteα0,α1,...,α−1lesnombres réels tels que :()α0.+α1.()+...+α11() .
=
−
On considèrel’endomorphisme dedéfini par=α0.Id+α1.+...+α.1−1.
−

Montrer queetcommutent.
Montrer que∀∈ℕ,(())=(()) .

En déduire que=.
Quels sont les endomorphismes decommutant avec?