Sujet : Géométrie, Cubiques circulaires

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées cartésiennes. Courbes en coordonnées polaires.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Cubique circulaire

Dans tout le problèmedésigne un réel strictement positif et le plan est rapporté à un repère orthonormé direct d’origine (et d’axes) et () .

Partie I : Etude de la cissoïde droite

On désigne parla droite d’équation=2et parle cercle de centre(− de rayon, 0) et. Pour tout nombre réel, on désignera par :   la droite d’équation=, ( point d’intersection de) leet  , ( point d’intersection de) leet  autre que, () le milieu du segment d’extrémités() et() . 1.a Donner une équation cartésienne du cercle. 1.b Déterminer les coordonnées cartésiennes des points() ,() et() . Nous noterons() et( coordonnées du point) les() 2. On étudie ici la courbeΓformée par les() lorsquevarie. 2.a Justifier queΓprésente un axe de symétrie. Dresser le tableau des variations simultanées des fonctions֏() et֏() pour∈ℝ + . 2.b Préciser la nature du point de paramètre=0 et la tangente en ce point. 2.c Etablir que la tangente à la courbe֏() au point( 0 ) a pour équation 0 ( 02 +3)−2= 2.d Préciser la branche infinie deΓobtenue pour→ +∞. 3. Représenter sur une même figure : la droite, le cercleet la courbe étudiée ci-dessus. 4. Vérifier que( 2 + 2 )= 2 est une équation cartésienne de la courbeΓ.

Partie II : Etude de la strophoïde droite

.

On désigne parla droite d’équation=2et parle cercle de centre(−2 de rayon 2, 0) et. Pour tout réelθ, on désignera par :  θ la droite passant paret faisant un angleθavec l’axe des abscisses, (θ) le point d’intersection, lorsqu’il existe, de θ et, (θ) le point d’intersection de la droite θ et du cercleavec la convention que lorsqu’il y a deux points d’intersection,(θ) désigne le point d’intersection distinct de, (θ milieu du segment d’extrémités) le(θ) et(θ) . 1.a Donner une équation polaire de la droiteet du cercle. 1.b Déterminer des coordonnées polaires des points(θ) et(θ) . cos 2 − En déduire que lorsqueθvarie,(θ) décrit la courbe d’équation polaire(θ)= θ θ . cos 2. Dans cette question, on étudier la courbe Γ′ formé par les(θ) quandθvarie. 2.a Simplifier(θ+2π) ,(θ+π) et(−θ) . Interpréter géométriquement ces résultats et indiquer sur quelle intervalle deℝil suffit d’étudier la courbe. 2.b Dresser le tableau de variation desur l’intervalle en question. Préciser l’allure de la courbe autour du point de paramètreθ=π4 . − 2.c Préciser la branche infinie de la courbe obtenue quandθ→ π  . 2 3. Représenter sur une même figure : la droite, le cercleet la courbe étudiée ci-dessus.

4.  

Donner une équation cartésienne de la courbe Γ′ .