Sujet : Géométrie, Etude de l'astroïde

David Delaunay Http://Mpsiddl.Free.Fr

Description

Courbes en coordonnées cartésiennes.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
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• Langue: Français

Extrait

Etude de l’astroïde

affine euclidien rapporté à un repère orthonormédésigne un plan =(;,) .
On considère la courbedécrite par le point() de coordonnées(())==csonsi33pour∈ℝ.
Cette courbeest appelée astroïde.
1.Allure :
1.a Déterminer les axes de symétrie de la courbe.
1.b Etudier et construire.
Pour la représentation on prendra une unité égale à 4 cm.
1.c Calculer la longueurde la courbe.
2.Etude des centres de courbures :

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

3.
3.a

3.b

4.

4.a

4.b

 
En tout point régulier() deon note() et() les vecteurs tangents et normaux de la base de
Frénêt.
 
Donner les composantes des vecteurs() et() .
Déterminer le rayon de courbure( point) au() , pour tout≠0π2 .
On note( centre de courbure au point) le( celui-ci est régulier et on pose) lorsque()=()
lorsque le point() est singulier.
Exprimer les coordonnées de() pour∈ℝ.
On introduit le repère=′(,, par) déterminé=(21+) et=2(1−+) .
Déterminer les coordonnées, notées ((),( point du)) ,() dans le repère′.
En introduisant le paramètreτ=−4π, observer que la courbe′décrite par les points() se déduit
de la courbeà l’aide de transformations géométriques simples à préciser.
Propriété géométrique :
Ecrire une équation de la droite() tangente en() àpour∈ℝ.
Soit() et() les points d’intersection avec les axes de coordonnées de la tangente() àen un
point régulier() . Calculer la longueur()() .
Construction géométrique :
Soit∈ℝfixé. On noteau lieu de() .
Soitle point du cercle de centre déterminé paret de rayon 1 2 (,)=2π.
Montrer que la droite() tangente àenpasse par.
Indiquer une construction géométrique de() à partir du pointseul.
On notele projeté orthogonal desur() .
 
Donner les coordonnées depuis calculer+.
Faire une figure précisant comment, à partir du pointon peut construire.