Analyse et contrôle des équations différentielles

Philippe Destuynder

Description

Analyse et contrôle des équations différentielles dresse un panorama des différents problèmes auxquels l’ingénieur doit faire face dans la modélisation et la résolution des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires.
Il présente un grand nombre d’aspects concrets, tels que les cycles limites, les instabilités paramétriques, la régulation et la commande optimale. Cette dernière est devenue incontournable dans les bureaux d’études, notamment avec l’émergence de la mécatronique, science nouvelle qui couple l'informatique embarquée, le traitement du signal, la métrologie, l'algorithmique haute performance, le contrôle, la mécanique et la rhéologie des matériaux.
L’extension des systèmes dynamiques aux modèles biologiques permet de poser le problème de dosage thérapeutique comme un problème de contrôle.
Les élèves de grandes écoles et les étudiants universitaires trouveront dans Analyse et contrôle des équations différentielles une approche simplifiée leur permettant d’apporter des solutions opérationnelles aux nombreuses questions concrètes des sciences de l’ingénieur. Enfin, plusieurs indications sur l'implémentation opérationnelle sont proposées, en particulier à travers des exercices corrigés.

Sujets

• Algèbre
• Arithmétique
• Mathématiques

Informations

• Publié par: Hermès - Editions Lavoisier
• Date de parution: 24 septembre 2010
• Nombre de lectures: 41
• EAN13: 9782746241213
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 5 Mo

Extrait

Analyse et contrôle des équations différentielles





















Photo de couverture : régulateur de James Watt monté sur la machine de Lenoir qui
se trouve au Musée des Arts et Métiers-Cnam, Paris.

© LAVOISIER, 2010
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462- 2989-1



Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part,
que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.
Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, September 2010.




Analyse et contrôle

des équations différentielles















Philippe Destuynder










Tabledesmatières
Avant -propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
PREMIÈRE PARTIE.INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chapitre1.Introductionauxéquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . . 15
1.1. Lessystèmesdifférentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Casoùf nedépendquedet:f(x,t)≡f(t) . . . . . . . . . . . . 16
∂f
1.1.2. Casoùf estaffineenxetA = indépendantedutemps . . . 17
∂x
∂f
1.1.3. Casoùf estaffineetA = dépenddutemps . . . . . . . . . . 17
∂x
1.1.4. Leséquationsnonlinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
DEUXIÈMEPARTIE.ANALYSENUMÉRIQUEDESÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES.................................. 27
Chapitre2.Intégrationnumérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Laproblématiqueetlesoutils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Méthoded’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Découpagedusegmentd’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Lelissagedefonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chapitre3.Equationsdifférentielleslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. CasoùAestdiagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. CasoùAn’estpas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Représentationmatricielledessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Dépendancedesdonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
56 AnalyseetcontrôledesEDO
Chapitre4.MéthodesnumériquespourlesEDOlinéaires . . . . . . . . . . 45
4.1. Lesméthodesmultipas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2. Etudeduschémaθ-Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1. Discussionsurlastabilitéd’unschéma . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.2.del’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3. Discussionsurlaconstantedetemps . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4. Convergenceduschémadeθ-Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. SchémadeRungeetKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.1. Descriptiondel’algorithmedeRungeetKutta . . . . . . . . . . . 52
4.3.2. StabilitéetordreduschémadeetKutta . . . . . . . . . . . 53
4.4. Etudegénéraled’unschémamultipaspouruneEDOlinéaire . . . . . . 56
4.5. Etudedestauxd’amortissementetdesvitessesdephases . . . . . . . . 59
4.6. Equationsdifférentiellesdusecondordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.1. Schématotalementcentré(implicite) . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.2.partiellementcentré(explicite) . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.3. SchémasdeNewmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Chapitre5.Equationslinéairesfonctiondutemps . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1. Unexempleconcret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2. Laméthodedelarésolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3. Casdevariationspériodiquesdesmatricestangentes . . . . . . . . . . 71
5.4. Unexempleanalytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5. L’approximationasymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chapitre6.Généralitéssurleséquationsdifférentielles . . . . . . . . . . . 77
6.1. Formulationdeshypothèsessurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. Existenceetunicitédesolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. Représentationgraphiquedessolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4. Exempled’uneéquationdontlasolutionn’estpasbornée. . . . . . . . 82
6.4.1. Unexempleavecoscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Chapitre7.Résolutiondeséquationsnonlinéaires . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1. Méthodedupointfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.1. Descriptiondel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.1.2. Convergencededupointfixe . . . . . . . . . . . . . 88
7.2. LaméthodedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2.1. Descriptiondel’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.2. Etudedelaconvergencedel’algorithmedeNewton . . . . . . . . 91
7.3. Laméthodedequasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4. Méthodedelarecherchesuruneligne,variantedutypeBFGS . . . . . 95Tabledesmatières 7
7.5. SchémaentempspouruneEDOnonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Chapitre8.Recherchedecycleslimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1. LethéorèmedePoincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.1.1. Critèrede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1.2.del’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.1.3. Commentconstruiredesensemblesinvariants? . . . . . . . . . . 105
8.2. Laméthodesdesformesnormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.1. Etape1:passagedanslabaseproprequidiagonaliseA . . . . . . 109
8.2.2. Etape2:tentatived’éliminationdestermesd’ordredeux . . . . . 110
8.2.3. Etape3:vedestrois . . . . . 112
8.3. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
TROISIÈME PARTIE.CONTRÔLE ET RÉGULATION . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapitre9.Régulationàgainconstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.1. Introductionetpositiondesproblèmesabordés . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2. CasoùN =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.3. CasoùN> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.4. Contrôlabilitéexactedesdonnéesinitiales . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5. DiscussionducritèrederégulationpourN =2 . . . . . . . . . . . . . 133
9.5.1. Critèrederégulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.5.2.decontrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6. Contrôlabilité pour un système du second ordre à plusieurs degrés
de .liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.7. Aspectsnumériquesdelarégulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.8. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Chapitre10.Contrôleoptimaldessystèmesdifférentiels . . . . . . . . . . . 141
10.1.Leproblèmedecontrôleoptimalestbienposé . . . . . . . . . . . . . . 142
10.2.Caractérisationduoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3.Algorithmesdecalculducontrôleoptimal . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.4.Unexemplemonodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5.Unexbidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.6.Aspectsnumériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.7.LecontrôledeRiccatipouruntempslong . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.8.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Chapitre11.Comportementasymptotiqueàcoûtévanescent . . . . . . . . 157
11.1.L’analyseasymptotiqueformelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.2.Concentrationdescontrôlesversl’origine . . . . . . . . . . . . . . . . 1658 AnalyseetcontrôledesEDO
11.3.Unexemplesimple:l’alunissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.4.Unmodèleantivibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.5.Unevarianteducritèrefinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.6.Contrôled’unsystèmecouplédutypegyroscopique . . . . . . . . . . 175
11.6.1.Uneversionduprogrammepourdeuxmodespropres . . . . . . 180
11.7.Casd’uncontrôledegain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.8.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Chapitre12.Priseencomptedecontraintessurlecontrôle . . . . . . . . . 193
12.1.Problèmedecontrôleavec . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.2.Lepremiermodèlelimiteformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2.1.Existencedesol