L'Equation de Pell-Fermat x²-dy²=1 revisitée

Serge Coquerand

Description

Destiné aux passionnés de mathématiques et de grands nombres, l'opuscule de S. Coquerand invite à se frotter à l'équation de Pell-Fermat et, corrélativement, au problème antique des boeufs d'Hélios. Double défi donc, auquel l'auteur apporte, avec concision, ses réponses et résolutions, et cela, au fil d'une réflexion minutieuse. Précis et exemplifié, voici donc un ouvrage aussi stimulant intellectuellement que méthodique!

Sujets

• Résolution
• Mathématiques
• Équation
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: publibook
• Date de parution: 12 février 2015
• Nombre de lectures: 75
• EAN13: 9782342034547
• Langue: Français

Extrait

L’Équation de Pell-Fermat
૛ ૛
࢞െࢊ࢟ൌ૚ revisitée

Du même auteur

À la (re)découverte de l’arithmétique de Diophante,
Publibook, 2010

Serge Coquerand









L’Équation de Pell-Fermat
૛ ૛
࢞െࢊ࢟ൌ૚ revisitée

Le problème des bœufs d’Hélios



















Publibook

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Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2015

Le but de cet ouvrage est d’aborder sous un angle
différent de celui qui fait appel aux fractions continues la
manière de résoudre en nombres entiersݔ etݕ l’équation
ଶ ଶ
de Pell-Fermat du typeȂݔͳൌݕ݀, dans laquelle݀est
un entier non carré donné.
Dans la première partie, une démarche complète de
résolutions sera indiquée avec quelques applications, ainsi
que toutes les solutions pour les valeurs de݀non carré de
2 à 209.
Dans la deuxième partie, la manière de résoudre le
problème des bœufs d’Hélios vous permettra de constater
qu’avec une certaine rigueur dans la démarche il est
possible de trouver des solutions en très peu de temps avec un
ordinateur et muni d’un logiciel comme par exemple
Mathematica.
Dans la littérature actuelle la résolution de l’équation de
Pell-Fermat est abordée par l’utilisation des fractions
continues et de racines carrées. Pour de petites valeurs de݀,
n’importe quel ordinateur acheté dans le commerce muni
d’un logiciel de mathématique du type Mathematica est en
mesure de fournir en peu de temps des solutions.
Cependant, lorsque݀grand, comme par devient
exempleʹͺ͸ Ͷʹ͵ ʹ͹ͺ ͶʹͶ݀ ൌͶͳͲ quiapparaît dans le
problème des bœufs d’Archimède, élever des expressions
contenant des irrationnels à des puissances de l’ordre du
millier fait que, d’une part l’ordinateur travaille pendant
des heures et très souvent se bloque, et d’autre part s’il
donne un résultat, il le donne avec des valeurs
approchées….
Dans la troisième partie, une méthode est présentée
pour tenter de décomposer des grands nombres.

9

Première partie.
L’équation de Pell-Fermat



Comme signalé en préambule, il s’agit de trouver des
valeurs entièresሺݔǡ ݕሻtelles que, pour tout entier݀non carré
ଶ ଶ
donné, la relationݕ ൅ͳݔ ൌ݀soit vérifiée.
Convention d’écriture :
ሺݔ ǡݕ ሺݔǡ
Le couple de nombres entiersଵ ଵሻque telଵݕ ሻൌ1
ଵ

correspondra aux valeurs les plus petites avecݕଵnon nulle
ଶ ଶ
ݔ ൌ݀൅ ͳ
vérifiantଵݕଵOn le désignera par le terme de .
solution élémentaire.

ሺݔ ǡݕ ሻݔ ൌൌͲ
଴ ଴désigne la solution banale଴ͳ ǡ ݕ଴.

Tout le problème consiste alors à trouver la solution
éléǡ ݕ
mentaireሺݔଵ ଵሻ, car une fois celle-ci connue, elle permet
ǡ
de générer toutes l௝ሻ.
es autres valeurs possiblesሺݔ௝ݕ

On peut démontrer par récurrence que si
ଶ ଶ
ǡ ݕ
൫ݔ௝ିଵ ௝ିଵൌ൯ǡͳque si c’est-à-direݔ ൌ݀ݕ ൅ͳ
௝ିଵ ௝ିଵ
alors൯ൌͳݔǡݕ൫.
௝ ௝

Posons :

࢞ ࢞
࢐࢞ ࢊ࢟࢐ି૚
૚ ૚
ൌ൬ ൰൬ ൰൬ ൰ relation (1 )
࢟ ࢟
࢐࢟ ࢞࢐ି૚
૚ ૚

Il vient :
ଶ ଶ
ݔ ൌሺݔݔ ൅݀ݕ ݕሻ
௝ ଵ௝ିଵ ଵ௝ିଵ
ଶ ଶଶ ଶ ଶ
ݔ ݕ൅ ݀ݕ ݕ
ൌݔ ݔ൅ ʹ݀ݔݕଵ ௝ିଵ ௝ିଵଵ
ଵ ௝ିଵଵ ௝ିଵ

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